上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试数学---精校解析Word版

2018年上海市崇明县高考
数学一模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1. 已知集合，若，则_____．
【答案】
【解析】因为集合，且，所以，故答案为.
2. 抛物线的焦点坐标为_____．
【答案】
【解析】抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为，故答案为.
3. 不等式的解是_____．
【答案】
【解析】由可得，，所以不等式的解是，故答案为. 4. 若复数满足为虚数单位），则_____．
【答案】
【解析】试题分析：因为，所以本题也可设，因为
由复数相等得：
考点：复数的四则运算．
5. 在代数式的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）
【答案】
【解析】展开式的通项为，令，得，
，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系
数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
6. 若函数的最小正周期是，则_____．
【答案】
【解析】因为函数的最小正周期是，所以，解得，故答案为.
7. 若函数的反函数的图象经过点，则_____．
【答案】
【解析】函数的反函数的图象经过点，所以，函数的图象经过点，
，，故答案为.
8. 将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为，则该几何体的侧面积为_____．
【答案】
【解析】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为，设正方体的边长为，则，解得该圆柱的侧面积为，故答案为.
9. 已知函数是奇函数，当时，，且，则_____．
【答案】
【解析】是奇函数，且当时，，，解得
，故答案为.
10. 若无穷等比数列的各项和为，首项，公比为，且，则_____．【答案】
【解析】无穷等比数列的前项和为，首项为，公比，且，
，或，或，，故答案为.
11. 从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_____种不同的选法．（用数字作答）
【答案】
12. 在中，边上的中垂线分别交于点．若，则_____．【答案】
【解析】设，则，
，又，即
，故答案为.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
13. 展开式为的行列式是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,错误；，正确; ，错误；，错误，故选B.
14. 设，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，当时，不成立，根据对数函数的定义，可知真数必需大于零，故不成立，由于正弦函数具有周期性和再某个区间上为单调函数，故不能比较，故不成立，根据指数函数的单调性可知，正确，故选D.
15. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】，，充分性成立，若“”则，必要性成立，所以“”是“”的充分必要条件，故选C.
【方法点睛】本题通过等差数列前项和的基本量运算，主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
16. 直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任一点，若
为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，双曲线渐近线方程为，联立直线，解得不妨设
，，，为双曲线上的任意一点，
，，时等号成立），可得，故选C.
【方法点睛】本题主要考查双曲线的的渐近线、向量相等的应用以及平面向量的坐标运算、不等式的性质，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，解答本题的关键是根据坐标运算．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 如图，长方体中，与底面所成的角为.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小．
【答案】(1) ；（2）.
【解析】试题分析：（1）先证明是与底面所成的角，可得
，利用棱锥的体积公式可得结果；（2）由，可得是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理可得结果．
试题解析：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，
∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，
∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，
∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，
∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，
∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4，
∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：
V===．
（2）∵BD∥B1D1，
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．
∵BD=，A1D=A1B==2，
∴cos∠A1BD===．
∴∠A1BD=arccos．
∴异面直线A1B与 B1D1所成角是arccos．
..................
18. 已知．
（1）求的最大值及该函数取得最大值时的值；
（2）在中，分别是角所对的边，若，且，求边的值．【答案】(1)，；（2）.
【解析】试题分析：（1）跟据二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的正弦公式可得
，根据正弦函数的图象与性质可得结果；（2）由，得，结合三角形内角的范围可得或，讨论两种情况分别利用余弦定理可求出边的值.
试题解析：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；
（2）由f（）=，即2sin（A+）=
可得sin（A+）=
∵0＜A＜π
∴＜A＜
∴A=或
∴A=或
当A=时，cosA==
∵a=，b=，
解得：c=4
当A=时，cosA==0
∵a=，b=，
解得：c=2．
19. 2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长．记 2016 年为
第 1 年，为第 1 年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计净
收入﹣累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为该项目赢利．
（1）试求的表达式；
（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
【答案】(1)；（2）.
【解析】试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第年的累计投入为（千万元），第年至此后第年的累计净收入为，利用等比数列数列的求和公式可得；（2）由，利用指数函数的单调性即可得出. 试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），
第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×
=（千万元）．
∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．
（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[
﹣4]，
∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；
当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．
又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2023年开始并持续赢利；
方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，
令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．
从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．
又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2023年开始并持续赢利．
20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点分别是，直线
与椭圆交于两点．
（1）若为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，求的值；
（2）若，且是以为直角顶点的直角三角形，求与满足的关系；
（3）若，且，求证：的面积为定值．
【答案】(1)或；（2）；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）根据为等腰直角三角形，可得，两种情况讨论，可得的值为或；（2）当时，，设，
由，即，由韦达定理及平面向量数量积公式可得结果；（3）由可得，结合韦达定理可得，根据以上结论，利用三角形面积公式化简即可得结论.
试题解析：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，
∴△MF1F2为等腰直角三角形，
∴OF1=OM，
当a＞1时，=1，解得a=，
当0＜a＜1时，=a，解得a=，
（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），
由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，
∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，
∴•=0，
∴x1x2+y1y2=0，
∴+=0，
∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0
∴m2（a2+1）=2a2，
（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，
设A（x1，y1），（x2，y2），
∵k OA•k OB=﹣，
∴•=﹣，
∴x1x2=﹣4y1y2，
由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．
∴x1+x2=，x1x2=，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=++m2=，
∴=﹣4×，
∴2m2﹣4k2=1，
∴|AB|=•=•
=2•=
∵O到直线y=kx+m的距离d==，
∴S△OAB=|AB|d==•==1.
【方法点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、韦达定理以及平面向量数量积公式、圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
21. 若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，
则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”．
（1）若函数是“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；
（2）判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（3）若是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数,都有
．
【答案】(1)；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）不妨设，则恒成
立．，从而可得结果；（2）令，则
，从而可得函数不是“利普希兹条件函数”；（3）设的最大值为，最小值为，在一个周期，内，利用基本不等式的性质可证明.
试题解析：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，
不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．
∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，
∴k的最小值为．
（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），
令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，
而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，
∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．
（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，
则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．
若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．
若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，
∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．。