“杨辉三角”与二项式系数性质 课件

n＋1 增减性 当 k<___2___时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分
是逐渐减小的，且在中间取得最大值
最大值
n
当 n 是偶数时，中间一项_C__2n __取得最大值
n-1
n+1
当 n 是奇数时，中间两项__C__n2__，__C_n2___相等，同时取得最大值
各二项式 系数的和
C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝____2_n __. C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝_2_n_－_1_.
• (2)二项式系数仅指项的组合数，解决有关二项式系数的问 题时，往往运用组合数公式．
•
如图所示，在杨辉三角中，猜想第n条和第(n
＋1)条斜线上各数之和与第(n＋2)条斜线上各数之和的关
系，并证明你的结论．
[思路分析] 利用“先从特殊到一般，再由一般到特殊”的思想发现结论， 然后再证明它的一般性．
“杨辉三角”与二项式系数的性质
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数__相__等____． (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的___和___， 即 Cnr＋1＝__C_rn_－_1＋__C__rn___．
2．二项式系数的性质 对称性 与首末两端“___等__距__离___”的两个二项式系数相等(即 Cmn＝Cnn－m)．
∴A＝12(1－316)． 即 C2n＋C4n＋C6n＋…＋Cnn＝12(1－316)－1＝－12(1＋316)．
[辨析] 上述解答有两处错误，一是混淆了奇数项与奇次方项，偶数项与偶 次方项；二是没有弄清 C2n＋C4n＋…＋Cnn的准确含义．
[正解] 设 f(x)＝(2x－1)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，且奇次方项系数和为 A，偶次 方项系数和为 B，则依题意可得，A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，且 B －A＝316，
命题方向1 ⇨与杨辉三角有关的问题所指的数组成一个锯
齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这
个数列的前n项和为Sn，求S19．
[思路分析] 由数列的项在杨辉三角中的位置，将项还原为二项式系数，然 后结合组合数的性质求和．
[解析] 由杨辉三角可知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23； 第 4 项是 C13…第 17 项是 C210，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211．
[解析] T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有 C5n·25＝C6n·26⇒n＝8． ∴(1＋2x)8 的展开式中二项式系数最大的项为 T5＝C48(2x)4＝1120x4， 设第 r＋1 项系数最大， 则有CC88rr ··22rr≥≥CCrr88－ ＋11··22rr－＋11，
设(2－ 3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值． (1)a0； (2)a1＋a2＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2．
• [思路分析] 用赋值法求各系数的和．
[解析] (1)由(2－ 3x)100 展开式中的常数项为 C0100·2100，即 a0＝2100(或令 x＝
令 x＝－1 得，f(－1)＝(－3)n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan ＝(a0＋a2＋…)－(a1＋a3＋…) ＝B－A＝316＝(－3)16， ∴n＝16． 从而 C0n＋C2n＋C4n＋…＋Cnn＝C016＋C216＋C416＋…＋C1166＝216－1＝215． ∴C2n＋C4n＋…＋Cnn＝215－1．
3100－2＋ 2
3100．
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3 ＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100×(2＋ 3)100＝1．
• [点评] 在二项展开式中，要正确理解与区分：(一)第n项， 第n项的次数，第n项的二项式系数；(二)项数与项的次数 (如奇数项与奇次方项，偶数项与偶次方项)．
[错解] 设 f(x)＝(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项系数的和为 A， 偶次项系数的和为 B，则 A＝a0＋a2＋a4＋…，B＝a1＋a3＋a5＋…，由条件得 B－ A＝316，又 f(1)＝a0＋a1＋…＋an＝B＋A＝1，f(－1)＝a0－a1＋…＋(－1)nan＝A－B ＝－316，
杨辉三角的应用
• (1)二项式展开时，在指数不太大的情况下，直接利用杨辉 三角展开比较简便．由于杨辉三角仅仅反映了二项展开式 的各项系数的规律，因此还应该理解并掌握指数变化的规 律．如(a＋b)6的展开式中a的指数，由首项的6次逐项下降 为0次，b的指数由首项的0次逐项上升为6次，各项中a，b 的指数和为6，恰好等于二项式的指数．
故 S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211) ＝2＋120×9＋C312＝274．
命题方向2 ⇨求二项展开式中系数或二项式系数最大的项
• 典例 2 (1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等， 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
⇒rr！ ！8888！！－ －·2rr！ ！≥ ≥rr－ ＋11！ ！88！88！－ －·2rr＋ －11！ ！， ⇒2r＋8－1≥r＋218－≥rr， ⇒rr≤ ≥65，⇒5≤r≤6． 又∵r∈N， ∴r＝5 或 r＝6， ∴系数最大的项为 T6＝1792x5，T7＝1792x6．
命题方向3 ⇨有关二项式系数和展开式的系数和的问题
0，则展开式可化为 a0＝2100)．
(2)令 x＝1，可得 a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－ 3)100，
①
∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－ 3)100－2100．
(3)令 x＝－1，
可得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋ 3)100，
②
与①联立相减可得
a1＋a3＋…＋a99＝2－
• 『规律总结』 破解此类题的关键：一是归纳思想，即由 前面几行所得的结果猜想出一般的结论；二是性质的应用， 利用二项式系数的性质，证明所猜想的结论是正确的．
注意区分项数与项的次数
已知(2x－1)n 的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小 316，求 C2n＋C4n＋C6n＋…＋Cnn的值．
[解析] 第 n 条和第(n＋1)条斜线上各数之和等于第(n＋2)条斜线上各数之 和．证明如下：
第 n 条斜线上各数之和为 C0n－1＋C1n－2＋C2n－3＋C3n－4＋C4n－5＋…， 第(n＋1)条斜线上各数之和为 C0n＋C1n－1＋C2n－2＋…＋C3n－3＋C4n－4＋…， 第 n 条斜线上各数与第(n＋1)条斜线上各数之和为： (C0n－1＋C1n－2＋C2n－3＋C3n－4＋C4n－5＋…)＋(C0n＋C1n－1＋C2n－2＋C3n－3＋C4n－4＋C5n－5 ＋…)＝C0n＋(C0n－1＋C1n－1)＋(C1n－2＋C2n－2)＋(C2n－3＋C3n－3)＋(C3n－4＋C4n－4)＋…＝C0n＋1 ＋C1n＋C2n－1＋C3n－2＋C4n－3＋…． 这正好是第(n＋2)条斜线上各数之和．