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第六章
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、曲面的参数方程
四、空间曲线在坐标面上的投影
五、小结与思考练习
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0 例如,方程组

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四、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线
C
的一般方程为
GF((xx,,
y,z) y,z)
0 0
消去 z 得投影柱面H (x,y)0,
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
x
y C
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
2y
14
o
2y
x
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x2z2a2 (3)
x2y2a2 z
a
oo a
y
x
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(4)
y5x1 yx3
z
y 5x1
o
y
y x3
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(5)
x2 y2 1 49 y 3
z
2 x
3y
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x(t)
例2 求空间曲线 : y(t) (t)绕 z 轴旋转
z(t)
时的旋转曲面方程 .
解: 任 M 1 ( 取 ( t ) ,( t ) ,( 点 t ) ) ,点 M1绕 z 轴旋转,
转过角度 后到点 M(x,y,z),则
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内容小结
• 空间曲线
一般方程（三元方程组）
或参数方程 (如, 圆柱螺线) • 曲面的参数方程
• 求投影曲线
课外练习
习题6－4 1；2；5；7；8；10
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思考与练习
1. 展示空间图形
x1 (1)
y2
z
z 4x2y2
(2)
yx0
z
oo
1
x
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(6) 上 半 球 0 za 2 x 2 y 2 与 圆 柱 体 x 2 y 2 a x (a 0 )
的 公 共 部 分 在 x o y 面 和 x o z 面 上 的 投 影 .
z
z
o ay
x xz20y2 ax
o ay
x
x2z2a2 (x0, z0) y0
S2 G (x,y,z)0L
S1
F(x,y,z)0
z
x2 y2 1 2x 3z 6
表示圆柱面与平面的交线 C.
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2
2C
o 1y
x
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上页Biblioteka 下页返回又如,方程组
z
z a2 x2 y2

x2
y2
ax0
o
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
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所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
C:z z
4x2 y2 3(x2 y2)
在 xoy 面上的投影曲线
x2
y2 1
z 0
所围圆域: x2y21,z0.
z
Co 1 y
x
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y
z b
当2时 ,上升高度 h2b, 称为螺距 .
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例1（补充题）将下列曲线化为参数方程表示:
(1)
x2

y2
1
2x 3z 6
(2)zx2ay22xa2xy02
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
xco t s
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
xx(t) yy(t) zz(t)
称它为空间曲线的 参数方程.
z
M
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
x yz a a vtsci o ntts令t,bv
o
x

xa cos


y a sin
x2(t)2(t)co s t
y2(t)2(t)sin
0


2

z(t)
这就是旋转曲面满足的参数方程 .
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x1 例如, 直线 yt 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
z2t
x 1t2cos
y 1t2sin 0t2
z
z2t
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
4(x2y2)z24
o
y
x
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xasin
又如, xoz 面上的半圆周 z y a 0co s(0)
绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
xasinco s
z y a ac sio n ssin002
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例如,
x2y2z2 1 C:x2(y1)2(z1)2 1
在xoy 面上的投影曲线方程为 x2 2y2 2y 0 z 0
z
C
o
1y
x
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又如,
上半球面 z 4x2y2 和锥面 z 3(x2y2)
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2. 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解： 旋转曲面方程为
,它与所给平面的
交线为
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
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谢谢
ysint
(0t2)
z1 3(62cot)s
(2) 将第二方程变形为 (xa 2)2y2a42,故所求为
xa2a2cots
ya2sint
(0t2)
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za 1212cots
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三、曲面的参数方程
一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
xx(s,t) yy(s,t) zz(s,t)