2024版高考数学大一轮第四章三角函数与解三角形单元检测
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第四章 三角函数与解三角形
单元检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.角 的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解：因为 ，所以角 与角 是终边相同的角，又 ，所以象可得 ，该函数的最小正周期 满足 ，可得 ，所以 ，设 ，又 ，可得 ，所以 ，所以 ，B，D正确，A错误；对于C， ，C正确.故选BCD.
11. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，且 ，则下列结论正确的是( )
√
4.（2023届福建百校一联）已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
解：由 ，则 ，所以 ， .故选D.
√
5.（2023届贵州六校联盟一联）若 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
解： .
故选B.
√
6.函数 的最小正周期为( )
9.下列各式的值计算正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
解：对于A，因为 ，所以A错误；对于B，因为 ，所以B错误；对于C，因为 ，所以 ，所以 ，所以C正确；对于D，因为 ，所以D正确.故选CD.
10.如图所示是函数 的部分图象，则( )
A. B. C. D.
[答案] 由（1）知 ，得 .因为 的对称中心为 ， .令 ，解得 ， .由于函数 的图象关于点 成中心对称，令 ，解得 ， .由 可知，当 时， 取得最小值 .
21.（12分）设 .
（1） 求 的单调区间；
解：由题意知 .由 ， ，可得 , ;由 ， ，可得 , .所以函数 的单调递增区间是 （ ）;单调递减区间是 .
（2） 在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 , , 若 ， ，求 面积的最大值.
[答案] 由 ，得 ，由题意知 为锐角，所以 .由余弦定理得 ,可得 ，即 ，当且仅当 时等号成立.所以 .所以 面积的最大值为 .
22.（12分）如图，有两条相交成 角的直路 ， ，交点是 ，警务岗 , 分别在 , 上，警务岗 离 点 ，警务岗 离 点 .若警员甲从 出发沿 方向，警员乙从 出发沿 方向，同时以 的速度沿途巡逻.
1200
解：因为 , ，所以 ，则 .又因为 ，所以 ， 在 中，由 ，得 ，所以 .故填1 200.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（2023届安徽江淮名校9月质检）（10分）已知 .
（1） 求 的值；
解： .
（2） 求 的值.
A. B. C. 的周长为 D. 的面积为
√
√
√
解：由正弦定理得 ，整理得 ，即 ，A正确.由 可得 ，则 ，B正确.由余弦定理得 ，又 ，可得 ，整理得 ，则 , 的周长为 ，C错误.由上知 ,则 ，所以 的面积为 ，D正确.故选
12.下列说法正确的是( )
对于D， ，当 时， ，由 ，得 ，当 时， 为函数的零点，故D错误.故选BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（2023届浙江10月联考）已知 ，则 _____.
解：因为 ，又因为 ，所以 .故填 .
14.（2023届豫湘名校10月联考）已知函数 图象的一条对称轴为 ．若 ,则 的最大值为_____．
A.函数 的最小正周期为 B.函数 的最大值是1C.若函数 ，对任意 ，都有 ，并且 在区间 上不单调，则 的最小值是4D.若函数 在区间 内没有零点，则 的取值可以是
√
√
解：对于A，函数的最小正周期为 ，A错误.对于B， ，当 时，函数取得最大值1，故B正确.对于C，由 知，函数 的一条对称轴为 ，所以 ，解得 ，由 知，当 时， ，当 时, ，故函数 在 上单调递增，不符合题意；当 时， ，当 时, ，故函数 在 上不单调，故 的最小值为4，故C正确.
[答案] .
18.（2022年北京卷）（12分）在 中， .
（1） 求 ;
解：由 得 ,即 ，则 .
（2） 若 ，且 的面积为 ，求 的周长.
[答案] 因为 ，所以 ，解得 ，由余弦定理得 ,所以 ，所以 的周长为 .
19.（2022年天津卷）（12分）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 , , .
（1） 求 的值；
解：由余弦定理有 ，即 ，而 ，代入得 ，解得 .
（2） 求 的值；
[答案] 由（1）可求出 ，而 ，所以 .又 ，所以 .
（3） 求 的值.
[答案] 由题可知 ，故 .又 ，所以 ， .而 ，所以 .故 .
20.（12分）某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
8. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，则 的形状一定是( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
解：因为 ，所以 ，所以 ,即 ，所以 .因为 ，所以 ，因为 ,所以 ，即 是直角三角形.故选B.
√
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
A. B. C. D.
解：函数 ，其最小正周期为 ．故选C.
√
7.函数 的最小正周期是 ，若将该函数的图象向左平移 个单位长度后得到的函数图象关于点 对称，则函数 的解析式是( )
A. B. C. D.
√
解：因为最小正周期 且 ，所以 ，所以 ，将 的图象向左平移 个单位长度后得 的图象，因为该函数的图象关于点 对称，所以 ，所以 ， ，即 ， ，又 ，所以 ，所以 .故选A.
√
2.角 的终边过点 ，若 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
解： , , ，由 得 ，解得 .故选B.
√
3.若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为( )
A. B. C. D.
解：由题意得扇形的半径为 ，则扇形的面积为 .故选A.
解：由题知 .所以 .因为 ,所以当 时, 取最大值 .故填 .
15.（2022年浙江卷）若 , ，则 _ ____， _ _.
解：因为 ，所以 ，即 ，即 .令 ， ，则 ，所以 ， ，即 ，所以 ，则 .故填 ； .
16.如图，在离地面高 的热气球上，观测到山顶 处的仰角为 ，山脚 处的俯角为 ，已知 ，则山的高度 为______ .
图2
当 时，如图3，乙走到 点，由余弦定理得
图3
，由于 ，所以 无最小值.综上所述，当 时，两人相距 ；当 或 时， 后两人相距 .在 时,两人的距离最短.
（1） 当警员甲行至点 处时， ，求 的距离；
图1
解：如图1，在 中， ， ,
由正弦定理得 ， 所以 . 所以当警员甲行至点 处时， 的距离为 .
（2） 后甲乙两人的距离是多少？什么时候两人的距离最短？
[答案] 当 时，乙走到 点，此时甲行驶的距离为 ，甲距离 点 ；当 时，如图2，设甲走到 点，乙走到 点，则 ,连接 ,由余弦定理得 ，当 时， 有最小值 .
0
0
5
-5
0
（1） 请将上表数据补充完整，写出函数 的解析式，并画出 的简图；
解:根据表中已知数据，得 , , .数据补全如下表：
0
0
5
0
-5
0
则函数表达式为 . 图略.
（2） 将 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象.若 图象的一个对称中心为 ，求 的最小值.
单元检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.角 的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解：因为 ，所以角 与角 是终边相同的角，又 ，所以象可得 ，该函数的最小正周期 满足 ，可得 ，所以 ，设 ，又 ，可得 ，所以 ，所以 ，B，D正确，A错误；对于C， ，C正确.故选BCD.
11. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，且 ，则下列结论正确的是( )
√
4.（2023届福建百校一联）已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
解：由 ，则 ，所以 ， .故选D.
√
5.（2023届贵州六校联盟一联）若 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
解： .
故选B.
√
6.函数 的最小正周期为( )
9.下列各式的值计算正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
解：对于A，因为 ，所以A错误；对于B，因为 ，所以B错误；对于C，因为 ，所以 ，所以 ，所以C正确；对于D，因为 ，所以D正确.故选CD.
10.如图所示是函数 的部分图象，则( )
A. B. C. D.
[答案] 由（1）知 ，得 .因为 的对称中心为 ， .令 ，解得 ， .由于函数 的图象关于点 成中心对称，令 ，解得 ， .由 可知，当 时， 取得最小值 .
21.（12分）设 .
（1） 求 的单调区间；
解：由题意知 .由 ， ，可得 , ;由 ， ，可得 , .所以函数 的单调递增区间是 （ ）;单调递减区间是 .
（2） 在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 , , 若 ， ，求 面积的最大值.
[答案] 由 ，得 ，由题意知 为锐角，所以 .由余弦定理得 ,可得 ，即 ，当且仅当 时等号成立.所以 .所以 面积的最大值为 .
22.（12分）如图，有两条相交成 角的直路 ， ，交点是 ，警务岗 , 分别在 , 上，警务岗 离 点 ，警务岗 离 点 .若警员甲从 出发沿 方向，警员乙从 出发沿 方向，同时以 的速度沿途巡逻.
1200
解：因为 , ，所以 ，则 .又因为 ，所以 ， 在 中，由 ，得 ，所以 .故填1 200.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（2023届安徽江淮名校9月质检）（10分）已知 .
（1） 求 的值；
解： .
（2） 求 的值.
A. B. C. 的周长为 D. 的面积为
√
√
√
解：由正弦定理得 ，整理得 ，即 ，A正确.由 可得 ，则 ，B正确.由余弦定理得 ，又 ，可得 ，整理得 ，则 , 的周长为 ，C错误.由上知 ,则 ，所以 的面积为 ，D正确.故选
12.下列说法正确的是( )
对于D， ，当 时， ，由 ，得 ，当 时， 为函数的零点，故D错误.故选BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（2023届浙江10月联考）已知 ，则 _____.
解：因为 ，又因为 ，所以 .故填 .
14.（2023届豫湘名校10月联考）已知函数 图象的一条对称轴为 ．若 ,则 的最大值为_____．
A.函数 的最小正周期为 B.函数 的最大值是1C.若函数 ，对任意 ，都有 ，并且 在区间 上不单调，则 的最小值是4D.若函数 在区间 内没有零点，则 的取值可以是
√
√
解：对于A，函数的最小正周期为 ，A错误.对于B， ，当 时，函数取得最大值1，故B正确.对于C，由 知，函数 的一条对称轴为 ，所以 ，解得 ，由 知，当 时， ，当 时, ，故函数 在 上单调递增，不符合题意；当 时， ，当 时, ，故函数 在 上不单调，故 的最小值为4，故C正确.
[答案] .
18.（2022年北京卷）（12分）在 中， .
（1） 求 ;
解：由 得 ,即 ，则 .
（2） 若 ，且 的面积为 ，求 的周长.
[答案] 因为 ，所以 ，解得 ，由余弦定理得 ,所以 ，所以 的周长为 .
19.（2022年天津卷）（12分）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 , , .
（1） 求 的值；
解：由余弦定理有 ，即 ，而 ，代入得 ，解得 .
（2） 求 的值；
[答案] 由（1）可求出 ，而 ，所以 .又 ，所以 .
（3） 求 的值.
[答案] 由题可知 ，故 .又 ，所以 ， .而 ，所以 .故 .
20.（12分）某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
8. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，则 的形状一定是( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
解：因为 ，所以 ，所以 ,即 ，所以 .因为 ，所以 ，因为 ,所以 ，即 是直角三角形.故选B.
√
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
A. B. C. D.
解：函数 ，其最小正周期为 ．故选C.
√
7.函数 的最小正周期是 ，若将该函数的图象向左平移 个单位长度后得到的函数图象关于点 对称，则函数 的解析式是( )
A. B. C. D.
√
解：因为最小正周期 且 ，所以 ，所以 ，将 的图象向左平移 个单位长度后得 的图象，因为该函数的图象关于点 对称，所以 ，所以 ， ，即 ， ，又 ，所以 ，所以 .故选A.
√
2.角 的终边过点 ，若 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
解： , , ，由 得 ，解得 .故选B.
√
3.若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为( )
A. B. C. D.
解：由题意得扇形的半径为 ，则扇形的面积为 .故选A.
解：由题知 .所以 .因为 ,所以当 时, 取最大值 .故填 .
15.（2022年浙江卷）若 , ，则 _ ____， _ _.
解：因为 ，所以 ，即 ，即 .令 ， ，则 ，所以 ， ，即 ，所以 ，则 .故填 ； .
16.如图，在离地面高 的热气球上，观测到山顶 处的仰角为 ，山脚 处的俯角为 ，已知 ，则山的高度 为______ .
图2
当 时，如图3，乙走到 点，由余弦定理得
图3
，由于 ，所以 无最小值.综上所述，当 时，两人相距 ；当 或 时， 后两人相距 .在 时,两人的距离最短.
（1） 当警员甲行至点 处时， ，求 的距离；
图1
解：如图1，在 中， ， ,
由正弦定理得 ， 所以 . 所以当警员甲行至点 处时， 的距离为 .
（2） 后甲乙两人的距离是多少？什么时候两人的距离最短？
[答案] 当 时，乙走到 点，此时甲行驶的距离为 ，甲距离 点 ；当 时，如图2，设甲走到 点，乙走到 点，则 ,连接 ,由余弦定理得 ，当 时， 有最小值 .
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（1） 请将上表数据补充完整，写出函数 的解析式，并画出 的简图；
解:根据表中已知数据，得 , , .数据补全如下表：
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则函数表达式为 . 图略.
（2） 将 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象.若 图象的一个对称中心为 ，求 的最小值.