广东普宁市-高二数学下学期期末考试试题新人教A版

广东普宁市2009-2010学年高二下学期期末考试数学试题
（120分钟，150分）
一、选择题
1.等差数列{}n a 中，155=a ，则8642a a a a +++的值为（ ）
A. 30
B. 45
C. 60
D. 120
2.等比数列{}n a 的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{}n a 的首项为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
3．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调 整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )
A ．2283C A
B ．2686
C A C ．2286C A
D ．2285C A
4．函数x x x f ln 2)(2-=的单调减区间是
A ．]1,0(
B ．),1[∞+
C ．]1,(--∞及]1,0(
D ．]1,0()0,1[及-
5．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角
坐标系中，不可能正确的是
6．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的
Ａ．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
7．对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '≥（
）0，则必有 A.f （0）＋f （2）<2 f （1）
B. f （0）＋f （2）≤2 f （1）
C. f （0）＋f （2）≥2 f （1）
D. f （0）＋f （2）>2 f （1）
8．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都
有()0f x ≥，则(1)'(0)
f f 的最小值为 A ．3 B ．52 C ．2 D ．32 9．2()f x ax bx c =++的图象开口向上，且顶点在第二象限，则()y f x '=的图象大
概是：
10．已知对任意实数x ，有(
)()
()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，
()0()0f x g x ''>>，，则0x <时 A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
10．(广西桂林十八中06级高三第二次月考)设i 为虚数单位，则41i i +⎛⎫= ⎪⎝⎭
A. 4-
B. 4
C. 4i
D. 4i -
12．用数学归纳法证明命题时，此命题左式为1111234
21n ++++-，则n=k+1与n=k 时相比，左边应添加
A ．11
21
k +- B ．111122121k k k ++++- C ．1111122122
21k k k k +++++++- D ．111221k k ++- 二、填空题
13．
用数学归纳法证)"(212111211214131211"*N n n
n n n n ∈+++++=--++-+- 的过程中，当n=k 到n=k+1时，左边所增加的项为
________________
B C D
14．设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，
,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且0)2
1(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是______
___________= 15．设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>，且(1)0f =，
则不等式()0xf x >的解集为
16．设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ=_____；
三、解答题
17．设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）.
（1）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（2）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.
18．已知函数2221()()1
ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；
（2）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．
19．设函数21321()e 3x f x x x x -=-- 设322()3
g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小．（
20．5．设集合A={2，4，6，8}，B={1，3，5，7，9}，今从A 中取一个数作为十位数字，从B 中取一个数作为个位数字，问：
（1）能组成多少个不同的两位数？
（2）能组成多少个十位数字小于个位数字的两位数？
（3）能组成多少个能被3整除的两位数？
21．如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴
长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ． （1）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；
（2）求面积S 的最大值．
22．设函数()x f 与数列{}n a 满足关系：(1) a 1.>a, 其中a 是方程()x x f =
的实根，A
(2) a n+1=()n a f ( n ∈N + ) ,如果()x f 的导数满足0<()x f '<1
（1）证明： a n >a （2）试判断a n 与a n+1的大小，并证明结论。

广东普宁市2009-2010学年高二下学期期末考试数学试题
答案解析
一、选择题
1．C 2．C 3．C 4．A 5．D 6．B 7．C 8．C 9．C 10．A 11．B 12．C
二、填空题
13．221121+-+k k 14．)21,0()21,( --∞ 15．（－1，0）∪（1，+∞） 16．．6
π 三、解答题
17．解：（1）根据求导法则有2ln 2()10x a f x x x x
'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22()10x F x x x x -'=-
=>，， 列表如下： 故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．
x
(02)， 2 (2)+，∞ ()F x '
- 0 + ()F x
极小值(2)F
（2）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．
18．（1）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5
f =， 又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25
f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525
y x -=--， 即62320x y +-=． （2）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)
a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．
（1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a =-
，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：
所以()f x 在区间a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，内为增函数．
函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
， 函数()f x 在21x a
=处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a
==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：
所以()f x 在区间()a -，∞，a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间a a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，内为减函数．
函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =．
函数()f x 在21x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 19．解∵21321()e 3x f x x x x -=-- 322()3g x x x =- 故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-，令1()e x h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-． 令()0h x '=，得1x =，因为(]1x ∈-∞，时，()0h x '≤，
所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减．故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥； 因为[)1x ∈+∞，时，(
)0h x '≥，所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增． 故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥．
所以对任意()x ∈-∞+∞，
，恒有()0h x ≥，又20x ≥，因此()()0f x g x -≥， 故对任意()x ∈-∞+∞，
，恒有()()f x g x ≥． 20．20 10 7
21．解：（1）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则
点C 的横坐标为x ．
点C 的纵坐标y 满足方程22
221(0)4x y y r r
+=≥， 解得
)y x r =<<
221(22)22
S x r r x =+- 222()x r r x =+-，
其定义域为{}0x x r <<．
（2）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，
， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-．
令()0f x '=，得12x r =．
因为当02r x <<时，()0f x '>；当2
r x r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x
的最大值．因此，当12x r =时，S 也取得最大值，22r =．
即梯形面积S 2． 22．证明：(1)当n=1时，由题设知a 1> a 成立。

假设n=k 时, a k > a 成立 (k +∈N )，
由()x f '>0知()x f 增函数，则()()a f a f k >， 又由已知:()1+=k k a a f ()a f =a ， 于是a k+1> a ，即对n=k+1时也成立，
故 对任意正整数n, a n > a 都成立。

解：(2)令()()x f x x g -=则()()x f x g ''1-= ()1<<x f 0 ' ()0'>x g 故()x g 为增函数 则 当x> a 时,有()()a g x g >
而()()0=-=-=a a a f a a g
() x g 0>∴ 即()x f x >
由(1)知a n > a ()1+=>∴n n n a a f a (+∈N n ) 故 对任意正整数n 都有a n > a n+1 .。