小学奥数讲义5年级-2-分数计算与比较大小-难版

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：
分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；
分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.根据倒数比较大小。

3.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个
假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

分数混合运算式，要注意分数小数之间的互化，已达到简算的目的，同时考虑
运算律的应用。

分数比较大小
典型例题
知识梳理
【例1】★比较777773777778 和888884888889
的大小。

【解析】这两个分数的分子与分母各不相同，不能直接比较大小，使用通分的方法又太麻烦。

由于这里的两个分数都接近1，所以我们可先用1分别减去以上分数，再比较所得差的大小，然后再判断原来分数的大小。

因为1－777773777778 =5777778 ，1－888884888889 =5888889
5777778 ＞5888889
所以777773777778 ＜888884888889。

【小试牛刀】比较77777757777777 和66666616666663
的大小。

【解析】77777757777777 ＞66666616666663
【例2】★比较1111111 和111111111
哪个分数大？ 【解析】可以先用1分别除以这两个分数，再比较所得商的大小，最后判断原分数的大小。

因为1÷1111111 ＝1111111 ＝101111
1÷111111111 ＝111111111 ＝1011111
101111 ＞1011111
所以1111111 ＜111111111
【小试牛刀】比较A ＝3331666 和B ＝33166
的大小 【解析】3331666 ＞33166
【例3】★★比较1234598761 和1234698765
的大小。

【解析】两个分数中的分子与分子、分母与分母都较为接近，可以根据通分的原理，用交叉相乘法比较分数的大小。

因为12345×98765
＝12345×98761+12345×4
＝12345×98761+49380
12346×98761
＝12345×98761+98760
而 98761＞49380
所以12346×98761＞12345×98765
则1234598761 ＜1234698765
【小试牛刀】比较176257 和177259
的大小。

【解析】176257 ＞177259
【例4】★把下列各数按照从小到大的顺序排成一列：
35915,,,7131628
【解析】我们可以用通分子的方法，可得：315455945954515345,,,7151051391171658028384
⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯⨯， 所以531591372816。

【小试牛刀】（幼苗杯数学邀请赛）把下列分数用“<”号连接起来：10121520601719233337
、、、、 . 【解析】这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦。

再看分子，60正好是10、12、15、20、60五个数的公倍数。

利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子都是60的分数。

我们称之为“通分子比大小”的方法。

10601260156020606060171021995239233993737====，=，，， ；可见60102<6099<6095<6092<6037
； 也就是1017<2033<1219<1523<6037
. 你若选择“通分母比大小”或“化成小数比大小”的方法也可以，但计算复杂，难免出错。

【例5】★★已知A ×15×1199 ＝B ×23 ÷34 ×15＝C ×15.2÷45 ＝D ×14.8×7374。

A 、B 、C 、D 四个数中最大的是_______.
【解析】求A 、B 、C 、D 四个数中最大的数，就要找15×1199 ，23 ÷34 ×15，15.2÷45
，14.8×7374
中最小的。

15×1199 ＞15 15.2÷45
＞15
23 ÷34 ×15＝1313
14.8×7374
＝14.6 【小试牛刀】已知A ×123 ＝B ×90％＝C ÷75％＝D ×45 ＝E ÷115。

把A 、B 、C 、D 、E 这5个数从小到大排列，第二个数是______.
【解析】C
分数计算
【例6】★12202100........203203203101⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭
【解析】原式12022201101102100()()()203203203203203203101
⎡⎤=++++++⨯⎢⎥⎣⎦L L 100101100101=⨯
=。

【小试牛刀】
1994199619982000200219951997199920012003++++++++ 【解析】原式519981998519991999
⨯=
=⨯ 【例7】★2011193411
3.00320919195÷⨯⨯ 【解析】2500193430032091191951000
=⨯⨯⨯原式 250019217371113111971735131000
⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ = 1 【小试牛刀】911110.2583 1.5514323⎡⎤⎛⎫⎛⎫-÷+÷+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
【解析】原式191108 1.554144
=-÷+（）（）
171
(0.25 1.55)28
455289
2528=÷+=⨯= 【例8】★★2004120042004
20052006
÷+ 【解析】 12006
⨯÷+20042006原式=20042005 12006
2005120062006
1⨯
+⨯=+=2005=200420042006
【小试牛刀】计算200720072007
2008÷ 【解析】2008/2009
【例9】★★131.87.9199
44.3 2.14
⨯+⨯+⨯ 【解析】 131.87.9199(31.812.5) 2.14⨯+⨯++⨯原式= 131.87.919931.8 2.112.5 2.14
131.8(7.9 2.1)19912.5 2.14
31819(8 1.25) 1.25 2.1
31819819 1.25 1.25 2.1
318152 1.25(1921)
31815250
520⨯+⨯+⨯+⨯=⨯++⨯+⨯=+⨯++⨯=+⨯+⨯+⨯=++⨯+=++==
【小试牛刀】计算
【解析】
【例10】 ★★4444499999999999999955555
++++
【解析】原式
4444499999999999999955555
=+
++++++++4444499999999999999955555=+++++++++ 410100100010000100000555
=++++-+⨯111109=
【例11】 ★★1111123102612110++++= ． 【解析】原式()1111123102612110⎛⎫=+++++++++ ⎪⎝⎭ 111111155122334
1011⎛⎫=+-+-+-++- ⎪⎝⎭ 155111⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
105511
= 【小试牛刀】11111119931992199119901232323-+-++- 【解析】本题需要先拆分在分组，然后在做简单的等差数列求和
11111119931992199119901232323111111199319921991199010232323111111199319921991199010232323
1111(199319921991199010)2323
-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭=+--++--+++--=-+-++-+-+-1994299711231997199711(111)9979972323÷=⎛⎫++- ⎪⎝⎭⨯⨯⎛⎫⎛⎫=++++-=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭个
997119979971661163666
=+=+= 【例12】★★★计算：7
44808333÷2193425909÷11855635255（北京市第十届小学生“迎春杯”数学竞赛决赛试题）
【解析】：原式= 628118333×2590921934×3525553811
=33799713199351164113641
2119973331993⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
=356 =55
6
【小试牛刀】 计算：14×（4.85÷518－3.6+6.15×3518）+［5.5-1.75×（123+1921）］ (小学数学奥林匹克决赛试题）
【解析】 原式= 14×（4.85×185－185＋6.15×185
）＋（5.5－1.75×5421） =14×185
×（4.85－1＋6.15）＋（5.5－4.5） =
14×185×10＋1 =10
1.将9876598766 ，98769877 ，987988 ，9899
按从小到大的顺序排列出来。

【解析】9899 ＜987988 ＜98769877 ＜9876598766
2.比较111111110222222221 和444444443888888887
的大小 【解析】111111110222222221 ＜444444443888888887
3.如果A ＝2222133332 ，B ＝4444366665
，那么A 与B 中较大的数是_______. 【解析】2222133332 ＜4444366665
4. 有八个数，0.5●1●
，23 ，59 ，0.51●，2447 ，1325 是其中的六个数，如果从小到大排列时，第四个数是0.5111…，那么从大到小排列时，第四个数是哪个？
【解析】六个已知的数的大到小排列是23 ＞59 ＞1325 ＞0.5●1● ＞0.51●＞2447
，因为0.51●是八个数从小到大排列的第四个，说明另外两个数一定比0.51●小，所以这八个数中第四个大的数
课后作业
是0.5●1●。

5．（华杯赛初赛）这里有五个分数：
,1912,1710,2315,85,32 如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数?
【解析】采用通分母法解答，显然比较麻烦。

对比之下，四个分数分子的最小公倍数比较容易求，因此我们可以用通分子的方法，分子的最小公倍数是60．给出的5个分数依次等于： ,9560,10260,9260,9660,9060比较分母的大小，居中的分数是,9560即19
12 .
6．（祖冲之杯数学邀请赛）如果A=3333222221，B=66665
44443，那么A 与B 中较大的数是______. 【解析】运用对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大，222212222124444244443,B 3333233332266664
66665A B ⨯====⨯即大。

7.14.4112.50.420.6125%14
⨯+⨯-⨯- 【解析】原式 4.4 1.25 1.25 4.20.6 1.251=⨯+⨯-⨯-
1.25(4.4 4.20.6)1
1.25811019=⨯+--=⨯-=-=
8.7573.956 1.456189618⎛⎫⨯-⨯--+⨯ ⎪⎝⎭
【解析】原式7573.956 1.4561818189618
=⨯-⨯-⨯+⨯-⨯ 6 3.95 1.4514157
1514157
9=⨯-+-=-+-=（）-
9.计算
1117213737372222⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【解析】原式222222721()7372222
=⨯-⨯⨯
222221(
)3722
734=-⨯=-=
10.计算（1）2255977979⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）71757894989⨯+⨯+÷（3）353221167⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）原式656555()655137
979⎛⎫=+÷+=÷= ⎪⎝⎭ （2）原式715177()1948899
=⨯++=⨯= （3）原式3532213221126480606167
=⨯⨯+⨯⨯=+= 11. 111112342346
+-+=_______ 【解析】原式111112342364=+-++
++- 1141444
=+-= 【12】计算:84
419×1.375＋105519
×0.9 【解析】 原式=（84＋419）×118＋（105＋519）×910
=（21＋119）×4×118＋（21＋119）×5×910
=（21＋119）×112＋（21＋119）×92
=21119×（112＋92
） =210119。