实验二讲稿：MATLAB拟合

一室模型：将整个机体看作一个房室，称中心室，室内 血药浓度是均匀的。快速静脉注射后，浓度立即上升；然后 迅速下降。当浓度太低时，达不到预期的治疗效果；当浓度 太高，又可能导致药物中毒或副作用太强。临床上，每种药 物有一个最小有效浓度c1和一个最大有效浓度c2。设计给药方 案时，要使血药浓度保持在c1~c2之间。 本题设c1=10，c2=25(ug/ml).
16
t=0:0.1:1.2 s=polyval(p3,t) s1=polyval(p6,t) hold on plot(t,s,'r-','linewidth',2) plot(t,s1,'b--','linewidth',2) grid
14 12 10 8 6 4 2 0 -2
0
0.2
0.4
0.6
（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。 （2）建立人口数与年份的函数关系，并估算 2015年的人口数。
如何确定a,b?
y ax b
线性模型
1.2 拟合的基本原理
曲线拟合问题的提出：已知一组（二维）数据，即平面上n
个点（xi,yi) i=1,…n，寻求一个函数（曲线）y=f(x)，使f(x)在 某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 y + +
x=0:0.1:1 y=[-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2] plot(x,y,'k.','markersize',25) axis([0 1.3 -2 16]); % x的坐标范围是0到1.3，y的范围是-2到16 p3=polyfit(x,y,3) p6=polyfit(x,y,6)
工程应用数学B 创新实训课堂Ⅱ
——曲线拟合
合肥学院数理系 大学数学教研室
实训课堂目的
1、直观了解拟合基本内容
2、掌握用Matlab求解拟合问题
3、通过对实际问题的分析和研究，初步掌握
建立数据拟合数学模型的方法
实训课堂内容
1、拟合问题引例及基本理论
2、用数学软件求解拟合问题
3、应用实例
4、自主学习内容
J 0( k 1,2) 得到关 为此， 只需利用极值的必要条件 a k
i 1 i 1
n
n
于 a1 , a2 的线性方程组，
n 2[(a1 xi a2 ) yi ]xi 0 i 1 n 2[(a x a ) y ] 0 1 i 2 i i 1
MATLAB(zxec2)
plot(x,y,'k+',x,z,'r') %作出数据点和拟合曲线的图形 2）计算结果：Ａ=-9.8108 20.1293 -0.0317
f ( x) 9.8108x 2 20.1293x 0.0317
补充：对该观测数据点进一步拟合
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y -0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2 分别用3次和6次多项式曲线拟合这些数据点. 编写Matlab程序如下:
给药方案
t log c 近似直线关系, 即 c(t) 有按负指数规律减少的趋势.
给药方案
问题 1.在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度 （单位体积血液中的药物含量）的变化规律。 2.给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计 给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长。
分析 •实验：对血药浓 度数据作拟合，符 合负指数变化规律
要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随 时间变化的规律。从实验和理论两方面着手：
在实验方面,对某人用快速静脉注射方式一次注 入该药物300mg后,在一定时刻t(小时)采集血药,测得 血药浓度c(ug/ml)如下表:
t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
二、用MATLAB解拟合问题
线性最小二乘拟合
1.作多项式f(x)=a1xm+…+amx+am+1拟合,可利用已有程序: a=polyfit(x,y,m) 输出拟合多项式系数 a=[a1,…am,am+1](数组) 输入同长度 拟合多项
的数组X，Y
式次数
2.多项式在x处的值y可用以下命令计算： y=polyval（a，x）
9 10 11
12
13
14
15
16
刀具厚度 y/cm 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 24.0
解: 描出散点图, 在命令窗口输入:
t=[0:1:16] y=[30.0 29.1 28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 24.0] plot(t,y,'*')
中的 A (a1 , a2 , a3 ) 使得:
2 [ f ( x ) y ] i i i 1 11
最小
12 10
解：用多项式拟合的命令 1）输入以下命令：
8 6 4 2 0 -2
x=0:0.1:1;
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x);
c c2
•理论：用一室模型研 究血药浓度变化规律
c1 0 t
模型假设
1.机体看作一个房室，室内血药浓度均匀，
即为一室模型.
2.药物排除速率与血药浓度成正比，比例系数k(>0). 3.血液容积v,t=0注射剂量d,血药浓度立即为d/v.
模型建立
dc 由假设 2得： -kc d kt dt c(t ) e v 由假设3得： c(0) d/
在此，d=300mg，t及c（t）在某些点处的值见前表，需经
拟合求出参数k、v
用线性最小二乘法拟合c(t)
d kt c (t ) e ln c ln(d / v) kt y a1t a2 v a2 k a1 , v d / e y ln c, a1 k , a2 ln(d / v)
一、曲线拟合
1.1 拟合问题引例
据人口统计年鉴，知我国从1997年至2006年人 口数据资料如下： (人口数单位为：百万)
年份 人口数 年份 人口数 1997 1236.26 2002 1284.53 1998 1247.61 2003 1292.27 1999 2000 1257.86 1267.43 2004 2005 1299.88 1307.56 2001 1276.27 2006 1314.48
a1 , a2
n n n 2 xi a1 xi a2 xi yi 0 i 1 i 1 i 1 n n xi a1 na2 yi 0 i 1 i 1
n n 2 n xi a1 xi a2 xi yi i 1 i 1 i 1 n n xi a1 na2 yi i 1 i 1
程序： d=300; t=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8]; c=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01]; y=log(c); a=polyfit(t,y,1) MATLAB(lihe1) k=-a(1) v=d/exp(a(2)) 计算结果：k 0.2347 (1 / h), v 15.02(l )
+
+
+
i
(x+ i,yi) +
+
+ i为点（xi,yi)与曲线y=f(x)的距离
n n
y=f(x)
x
最小二乘法
确定f(x)使得
i2 [ f ( xi ) yi ]2 达到最小 i 1 i 1
用什么样的曲线拟合已知数据? １．通过理论分析建立数学模型来确定f(x)；
２．通过作图直观判断确定f(x).
MATLAB(4.m)
clear clc x=1949:5:1994 y=[541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1034.75 1106.76 1176.74] a11=sum(x.^2); a12=sum(x); a21=a12; a22=10; d1=sum(x.*y); d2=sum(y); A=[a11,a12;a21,a22] D=[d1;d2] a1a2=inv(A)*D
0.8
1
1.2
三、应用问题实例
例1 电阻问题
例. 由数据
温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R() 765 826 873 942 1032
拟合R=a1t+a2
解法：用命令 polyfit(x,y,m)
得到a1=3.3940,a2=702.4918
MATLAB(dianzu1)
y1=-0.3012*t+29.3804
plot(t, y1), hold off
拟合曲线为: y=-0.3012t+29.3804
例3 给药方案问题
一种新药用于临床之前，必须设计给药方案。
药物进入机体后血液输送到全身，在这个过程中不断地 被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在血液中的浓度， 即单位体积血液中的药物含量，称为血药浓度。
给药方案设计 •设每次注射剂量D,间隔时间 •血药浓度c(t)应c1c(t)c2
c2
c1 0
c

t
•初次剂量D0应加大
例2 用切削机床进行金属品加工时, 为了适当地调整 机床, 需要测定刀具的磨损速度. 在一定的时间测量刀 具的厚度, 得数据如表所示:
切削时间 t/h
0 1 2 3 4 5 6 7 8
刀具厚度 y/cm 30.0 29.1 28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 切削时间 t/h
常用的曲线函数系类型： 直线： 多项式：
y a1 x a2
y a1 x m am x am 1
a1 y a2 x
a2 x
双曲线（一支):
指数曲线：
y a1e
f=a1+a2x + + + + +
f=a1+a2x+a3x2 + + ƻa3x2
解: 描出散点图, 在命令窗口输入: t=[0:1:16] y=[30.0 29.1 28.4 28.1 28.0 27.7 27.5 27.2 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 24.0] plot(t,y,'*')
a=polyfit(t,y,1) a= -0.3012 29.3804 hold on
x=0:0.1:1 y=[-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2] plot(x,y,'k.','markersize',25) axis([0 1.3 -2 16]) p3=polyfit(x,y,3) p6=polyfit(x,y,6)
+ +
+ +
+
f=a1+a2/x + + + + +
f=aebx
+
+ + +
+
-bx f=ae + +
+
+ +
拟合函数组中系数的确定
以f ( x ) a1 x a2为例, 即确定a1，a2使得
J (a1 , a2 ) i2 [(a1 xi a2 ) yi ]2达到最小。
对下面一组数据作二次多项式拟合
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y -0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2
即要求出二次多项式:
f ( x) a1x 2 a2 x a3