《函数的最大最小值》PPT课件

一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值
的步骤如下：
①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);
②:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念.
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是
m,若M=m,则f′(x) ( ) A
A.等于0
B.大于0 C.小于0
D.以上都有
可能
3.函数 y 1 x4， 1在x3［ 1－x21，1］上的最小值为( )
二、新课—最大值与最小值
观察右边一个定义
y
在区间[a,b]上的函数
y=f(x)的图象，你能找
出函数y=f（x）在区
间[a，b]上的最大值、
最小值吗？
a x1 o X2
X3
bx
发现图中___f(_x_1)_、__f_(x_3_)_是极小值，____f_(x_2_)__是极大 值，在区间上的函数的最大值是_____f(_b，) 最小值是 _____f(_x_3)。
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.
(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一 个2，021/4而/24 函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。10
课堂练习
1．下列说法正确的是( D)
A.函数的极大值就是函数的最大值
y，
-
0
+
y8
-1
3
故函数f(x) 在区间[-1，4]内的最大值为8，
最小值为-1. 2021/4/24
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例1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内 的最大值和最小值
另解: 将二次函数f(x)=x2-4x+3配方，利用二 次函数单调性处理
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么么么么方面
• Sds绝对是假的
2.导数为零的点是该点为极值点的必要不充分条件.极 值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数 异号时取到.
3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,
哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.
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求可导函数f(x)极值的 步骤：
(1) 确定函数的定义域； (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格
检查f ’(x)在方程根左右的符号—— •如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；
•如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
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函数最值问题
求函数最值的一般方法：
一是利用函数性质 二是利用不等式 三今天学习利用导数
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15 2
(2)当 x [ 2 ,1]时，
3
f
(x)
为减函数，所以
f (x)max
f
( 2) 3
1
(3)当 x [1,2] 时， f (x) 为增函数，所以 f (x)max f (2) 7 ；
因为 7 157 ，从而 m 7
27
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4、设f (x) x 3 1 x2 2x 5，当x [2,2]时， 2
f (x) m 0恒成立，求实数m的取值范围。
解： f / (x) 3x2 x 2 ，由 f / (x) 0 得 3x2 x 2 0 ，
即 x 2 或 x 1；
3
由 f / (x) 0 得 3x2 x 2 0 即 2 x 1，
432
A A.0 B.－2 C.－1 D.
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练习 求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。
(1) f (x) 2x3 6x2 18x 7 , x 2, 4
最大值 f (－1)=3，最小值 f (3)= －61
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2、求函数y 1 x sin x在区间[0,2 ]上的最大值与最小值.
函数的最大 值与最小值
数f(x)在x0处可导时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是:
①如果在x0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧f/(x)<0 ,那 么,f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧f/(x)>0 ,那 么,f(x0) 是极小值.
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(3)、直线y a与f (x) x3 3x函数的图像有相异 三个交点，求a的取值范围。
解：f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1) 由f (x) 0及f (x) 0可得单调区间和极值点， f (1) 2是极大值，f (1) 2是极小值 所以当 2 a 2时，y a与y x3 3x的图像有三个相异交点。
2
解: f ( x) 1 cos x.
2
令
f ( x) 0 ,解得
2
4
x1 3 , x2 3 .
当x变化时, y, y 的变化情况如下表:
x
0
f ( x)
2
(0, )
2
33
+0
( 2 , 4 ) 4
33
3
-
0
(4 ,2 ) 2 3 +
f(x) 0
3
2 3
32
32
从上表可知,最大值是∏,最小值是0.
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎
样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
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f(x)在闭区间[a,b]上的最值：
(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么它必有最大值和最小值) (1)(找极值点)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)(和端点比较)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值.
表格法
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例1 求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的最值。
解: f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
x -1 （-1，2） 2 （2，4） 4
3
所以函数单调增区间是 (, 2) ， (1,) ；
3
2021/4/2函4 数的单调减区间是 ( 2 ,1) 。由 f (x) m 恒成立， 15
3
m 大于 f (x) 的最大值。当 x [2, 2]时，
(1)当 x [2, 2]时，
3
f
(x) 为增函数，所以
f (x)max
f ( 2) 3