湖南省永州市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)模拟(培优卷)完整试卷

湖南省永州市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）模拟(培优卷)完整试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)
第(1)题
已知集合，则
=（ ）
A
．B
．C
．
D
．
第(2)题
垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的
分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月.（参考数据：
）
A ．20
B ．27
C ．32
D ．40
第(3)题
已知函数，则对任意实数是
（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．不充分且不必要条件
第(4)
题
展开式中常数项为（ ）
A
．
B
．
C ．1
D ．481
第(5)题
若复数
，则
（ ）
A
．
B
．
C
．D ．0
第(6)题
在
△
中，角
的对边分别是，则
=（ ）A
．B
．
C
．
D
．
第(7)题
如图，网格纸上小正方形边长为
，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A
．
B
．
C
．
D
．
第(8)题
定义在
上的函数
的导函数是
，函数
为奇函数，则不等式
的解集
为（ ）A
．
B
．C
．D
．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)
第(1)题
下列化简正确的是（ ）A
．
B
．C
．D
．
第(2)题
直线
是曲线
的切线，则实数的值可以是（ ）
A ．3π
B ．π
C
．D
．
第(3)题
在棱长为1
的正方体
中，点为
的中点，点
，分别为线段，上的动点，则（ ）
A
．B ．平面
可能经过顶点
C
．
的最小值为
D ．
的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)
第(1)题
在边长为1的等边三角形ABC 中，设
，则
____
第(2)题
设抛物线
的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设
，AF 与BC 相交于点D ．若
，则△
ACD 的面积为______．
第(3)题
向量
.若
，则
___________.
四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)
第(1)题
已知椭圆
的左、右顶点分别是
，点在上，且的面积．
(1)求的标准方程；
(2)
过点作直线与交于另一点
，求直线的斜率．
第(2)题
如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为
，左、右顶点分别为A 、B ．曲线C 是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短
轴，且离心率为的椭圆，设P 在第一象限且在双曲线上，直线BP 交椭圆于点M ，直线AP 与椭圆交于另一点N ．
(1)求椭圆及双曲线的标准方程；
(2)设MN 与x 轴交于点T ，是否存在点P 使得
(
其中，为点P ，T 的横坐标)，若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请
说明理由．
第(3)题
对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩
数列”，其中、分别表示
中的最大项和最小项．已知数列的前
项和为
，数列是数列的“收缩数列”．（Ⅰ）写出数列的“收缩数列”；（Ⅱ）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（Ⅲ）若
，求所有满足该条件的数列
．
第(4)题
已知分别是轴，轴上的动点，且
，动点满足
，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)直线与曲线交于
两点，为线段
上任意一点（不与端点重合），斜率为的直线经过点，与曲线交
于
两点，若
的值与点的位置无关，求
的值.
第(5)题
如图，三棱柱
中，侧面底面，，，，点是棱的中点，
，
.
(1)证明：；(2)求直线
与平面
所成角的余弦值.。