人教版高中数学必修第一册第3章函数的概念与性质综合检测基础卷(含详细解析)

第3章函数的概念与性质（原卷版）
本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1．函数()1
x
f x x =-A ．[1,)
+∞B ．[1,)-+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．()
1,+∞2．下列函数为幂函数的是A ．21y x =+B ．x y a =C ．2
2y x -=D ．1y x
=
3．已知函数2,
()3,2x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，
则((1))f f -等于
A ．4
B ．2-C
D ．2
4．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
，且(1)(3)f a f +<，则a 的取值范围为
A ．(,2)
-∞B ．(2,)+∞C ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞D ．(4,2)
-
6．已知函数)
22f x +=+，则()f x 的最小值是
A ．1-
B ．2
C ．1
D ．0
7．如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为
A ．y =
B ．y =
C ．y =
D ．y =8．已知()2243,0,
23,0,
x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩不等式()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立，则
实数a 的取值范围是A ．(),2-∞-B ．()
,0-∞C ．()
0,2D ．()
2,0-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()2
1m
m
y m x -=-为幂函数，则该函数为
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．区间()0,∞+上的增函数
D ．区间()0,∞+上的减函数
10．下列函数相等的是A ．函数y x =
与函数y =B ．函数4x y =与函数2
(2)x y =C ．函数21
1
x y x -=+与函数1y x =-D
．函数y =
与函数y =11．已知函数()1
x
f x x =-+，则函数具有下列性质
A ．函数()f x 的图象关于点()1,1--对称
B ．函数()f x 在定义域内是减函数
C ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称
D ．函数()f x 的值域为()
()
,11,-∞--+∞12．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，下列关于()f x 的性质，正确的是
A ．()f x 在[)1,0-上是增函数
B ．()f x 是偶函数
C ．()f x 的值域为[)
0,1D ．()f x 是奇函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数()f x 的定义域为[]1,1-，则()21f x +的定义域为_________．14．函数(
)f x =_________．15．已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()1
12
f =
，()()()22f x f x f +=+，则()5f =_________．
16．函数5
33()()f x x x x R =+∈，若2(1)(2)0f m f m m +++->，则实数m 的范围是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．
（10分）己知函数2
2,
1(),12
2,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
（1）画出该函数图象：
（2）若()3f a =，求实数a 的值．
18．
（12分）已知幂函数()()()2
234
321k k f x m m x
k -+=-+∈Z 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增．
（1）求函数()f x 的解析式；（2）解不等式()()3212f x f x +>-．19．
（12分）若对一切实数x ，y ，都有()()()f x y f x f y +=+．（1）求()0f ；
（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（3）若()13f =，求()3f -．20．
（12分）已知函数()f x 是定义在()0,+¥上的增函数，
对一切正数上y 都有()()()f xy f x f y =+成立，且()31f =．
（1）求()1f 和()81f 的值；
（2）若()()82f x f x +-≤，求x 的取值范围．21．
（12分）设函数()22,0,0x x x f x x mx x ⎧+<=⎨-+≥⎩
；
（1）若1m =，判断函数()f x 的奇偶性；
（2）若0m =，且()()2f f a ≤，求实数a 的取值范围．22．
（12分）已知函数21y x mx m =-+-．
（1）若函数的最小值为0，求实数m 的值．
（2）若当11x -≤≤时，y 随x 的增大而减小，求实数m 的取值范围．
（3）是否存在实数m ，使得当01x ≤≤时，y 的取值范围是{}30y y -≤≤？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由．
第3章函数的概念与性质（解析版）
本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1．函数()1
x
f x x =-A ．[1,)+∞B ．[1,)-+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．()
1,+∞【答案】D
【分析】根据解析式有意义可得关于x 的不等式组，其解集为函数的定义域．
【解析】由解析式有意义可得10
10x x -≥⎧⎨-≠⎩
，故1x >，故函数的定义域为(1,)+∞，故选D ．
2．下列函数为幂函数的是A ．21y x =+B ．x y a =C ．22y x -=D ．1y x
=
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义逐项分析即可求解．
【解析】幂函数是形如y x α=的函数，故ABC 不符合，D 符合，故选D
3．已知函数2,()3,2x f x x x ⎧≥⎪
=⎨-<⎪⎩
，则((1))f f -等于
A ．4
B ．2-C
D ．2
【答案】D
【分析】根据分段函数的定义域，先求得(1)f -，再求((1))f f -即可．
【解析】因为函数2,()3,2x f x x x ⎧≥⎪
=⎨-<⎪⎩，
所以()(1)314f -=--=，
所以()((1))42f f f -==，故选D.
4．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】根据壶的结构即可得出选项．
【解析】水壶的结构：低端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下：开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水上升的速度又变快，由图可知选项A 符合，故选A
5．已知幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
，且(1)(3)f a f +<，则a 的取值范围为
A ．(,2)
-∞B ．(2,)+∞C ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞D ．(4,2)
-【答案】C
【分析】首先根据已知条件求出()f x 的解析式，再根据()f x 的单调性和奇偶性求解即可．【解析】由题意可知，11()()422
f α
==，解得，2α=-，
故2()f x x -=，易知，()f x 为偶函数且在(0,)+∞上单调递减，因为(1)(3)f a f +<，所以|1|3a +>，解得，4a <-或2a >．故a 的取值范围为(,4)(2,)-∞-⋃+∞．故选C ．6．已知函数)
22f x x x +=+，则()f x 的最小值是
A ．1
-B ．2
C ．1
D ．0
【答案】B
【分析】利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可．
2t +=，则2t ≥，且()2
2x t =-，所以()()()2
2222222f t t t t t =-+-+=-+，()
2t ≥所以()()22
22(1)12f x x x x x =-+=-+≥，当2x =时，()()22min f x f ==．故选B
7．如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为
A ．y =
B ．y =
C ．y =
D ．y =【答案】C
【分析】根据图象的对称性可排除BD ，再根据1x =时函数值可排除A ．
【解析】由图可知，“心形”关于y 轴对称，所以上部分的函数为偶函数，排除B ，D ．
又“心形”函数的最大值为11>，排除A ．故选C ．
8．已知()2243,0,
23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩
不等式()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立，则
实数a 的取值范围是A ．(),2-∞-B ．(),0-∞C ．()0,2D ．()
2,0-【答案】A
【分析】由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得()f x 在R 上是减函数，化恒成立问题为2x a a x +<-在[a ，1]a +上恒成立；从而化为最值问题即可．
【解析】由2243,0
()23,0
x x x f x x x x ⎧-+=⎨--+>⎩ ，知
①当0x 时，22()43(2)1f x x x x =-+=--，故()f x 在(-∞，0]上是减函数；
②当0x >时，22()23(1)4f x x x x =--+=-++，故()f x 在(0,)+∞上是减函数；又22(02)1(01)4--=-++，()f x ∴在R 上是减函数，
∴不等式()(2)f x a f a x +>-在[a ，1]a +上恒成立可化为2x a a x +<-在[a ，1]a +上恒成立；
即2x a <在[a ，1]a +上恒成立，故2(1)a a +<，解得，2a <-，即(),2a ∈-∞-；故选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()2
1m m
y m x -=-为幂函数，则该函数为
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．区间()0,∞+上的增函数
D ．区间()0,∞+上的减函数
【答案】BC
【分析】由幂函数的概念可得m 的值，根据幂函数的性质可得结果．【解析】由()21m
m
y m x -=-为幂函数，得11m -=，即m =2，
则该函数为2y x =，故该函数为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数，故选BC ．10．下列函数相等的是
A ．函数y x =与函数y =
B ．函数4x y =与函数2
(2)x y =
C ．函数21
1
x y x -=
+与函数1y x =-D ．函数y =与函数y =【答案】AB
【分析】根据函数的三要素逐一判断选项，得出答案．
【解析】选项A ，函数y x =与函数y =定义域均为R ，且解析式相同，正确；选项B ，函数4x y =与函数2(2)4x x y ==定义域均为R ，且解析式相同，正确；选项C ，函数21
1
x y x -=+的定义域为{}|1x x ≠-，函数1y x =-定义域为R ，错误；
选项D ，函数y =的定义域为{}|1x x ≥，函数y ={|1x x ≥或
}1x ≤-，错误；故选AB
11．已知函数()1
x
f x x =-
+，则函数具有下列性质A ．函数()f x 的图象关于点()1,1--对称B ．函数()f x 在定义域内是减函数C ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称D ．函数()f x 的值域为()
()
,11,-∞--+∞【答案】AD
【分析】先利用分离常数法将()f x 进行化简，对A ，B ，C 通过图象的平移以及1y x
=的性
质即可判断；对D ，通过1
01
x ≠+以及函数的定义域即可求解．【解析】()1111111
x x f x x x x +-=-=-=-++++，故()1
x f x x =-+的图象是由1
y x =的图象向左平移一个单位再向下平移一个单位得到；
对A ，
1
y x
=
的对称中心为()0,0，∴函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，故A 正确；
对B ，()1
x
f x x =-
+的定义域为()(),11,-∞--+∞，
1
y x
=
在(),0-∞上单调递减，()0,∞+上单调递减，故()1
x
f x x =-
+在(),1-∞-上单调递减，()1,-+∞上单调递减，在定义域内不单调，故B 错误；对C ，()1
x
f x x =-+的图象关于点()1,1--中心对称，故C 错误；对D ，
1
01
x ≠+且定义域为()(),11,-∞--+∞，
即()11111111
x x f x x x x +-=-
=-=-+≠-+++，即函数()f x 的值域为()(),11,-∞--+∞，故D 正确．故选AD ．
12．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，下列关于()f x 的性质，正确的是
A ．()f x 在[)1,0-上是增函数
B ．()f x 是偶函数
C ．()f x 的值域为[)0,1
D ．()f x 是奇函数
【答案】AC
【分析】由[]x 表示不大于x 的最大整数，化简()f x ，作出()f x 的图象，利用图象判断四个选项即可得到结论．
【解析】当21x -≤<-时，[]2x =-，此时()[]2f x x x x =-=+；当10x -≤<时，[]1x =-，此时()[]1f x x x x =-=+；当01x ≤<时，[]0x =，此时()[]f x x x x =-=；当12x ≤<时，[]1x =，此时()[]1f x x x x =-=-；……所以作出()[]f x x x =-的图象如图所示：
对照图象可以看出：对于A ：()f x 在[)1,0-上是增函数是正确的；故A 正确．对于B ：()f x 是非奇非偶函数；故B 错误．对于C ：()f x 的值域为[)0,1；故C 正确．对于D ：()f x 是非奇非偶函数；故D 错误．故选AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数()f x 的定义域为[]1,1-，则()21f x +的定义域为_________．【答案】[]
1,0-【分析】根据函数()f x 的定义域即21y x =+的值域，求出函数21x +的定义域即可．【解析】由题可知1211x -+ ，10x ∴- ，所以函数定义域为[]1,0-，故答案为[]1,0-．
14．函数()223f x x x =--+_________．【答案】[]
1,1-【分析】首先求出函数()f x 的定义域，令223t x x =--+，分别求出223t x x =--+和y t 的单调区间，再利用符合函数单调性的性质即可求出()f x 的单调减区间．【解析】由2230x x --+≥，解得31x -≤≤，所以函数()f x 的定义域为[]3,1-，令223t x x =--+，y t [0,)+∞单调递增，
因为函数223t x x =--+在[]3,1--单调递增，在[]1,1-单调递减，
由复合函数的单调性知2()23f x x x =--[]1,1-单调递减．故答案为[]1,1-15．已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()1
12
f =
，()()()22f x f x f +=+，则()5f =_________．
【答案】
52
【分析】先由奇函数求出()112
f -=-
，对()()()22f x f x f +=+，利用赋值法求出()21f =，得到()()21f x f x +=+，再用赋值法分别求出()()35f f 、．【解析】因为已知奇函数()f x 的定义域为R ，且()112f =
，所以()1
12
f -=-
因为()()()22f x f x f +=+，所以()()()1212f f f -+=-+，
所以()21f =，即()()21f x f x +=+．对于()()21f x f x +=+，
当x =1时，有()()33112f f =+=
，当x =3时，有()()55312f f =+=．故答案为52．16．函数533()()f x x x x R =+∈，若2(1)(2)0f m f m m +++->，则实数m 的范围是_________．
【答案】()
1,3-【分析】根据解析式可判断()f x 是定义在R 上的奇函数且在R 上单调递增，转化不等式即可求解．
【解析】5
333()f x x x x =+=()()
(()33f x x x f x ∴-=-=-=-，
()f x ∴是定义在R 上的奇函数，且显然在R 上单调递增，
由2(1)(2)0f m f m m +++->可得()
22(1)(2)2f m f m m f m m +>-+-=--，212m m m ∴+>--，解得13m -<<．故答案为()1,3-．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．
（10分）己知函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
（1）画出该函数图象：
（2）若()3f a =，求实数a 的值．
【答案】（1）图象见解析；
（2）a =【分析】（1）利用分段函数各区间的函数解析式画出图象即可，注意端点值．
（2）由（1）的图象可得2312
a a ⎧=⎨-<<⎩，即可求a 的值．【解析】（1）由函数解析式，可得图象如下：
（2）由（1）图知2()312f a a a ⎧==⎨-<<⎩，可得3a =18．
（12分）已知幂函数()()()2234321k k f x m m x k -+=-+∈Z 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）解不等式()()3212f x f x +>-．
【答案】（1）()4f x x =或()6f x x =；（2）()1,3,5⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭
．【分析】（1）根据()f x 是幂函数，得到23211m m -+=，再由()f x 是偶函数和()f x 在()0,∞+上单调递增，由2340k k -+>，且为偶函数求解．
（2）根据（1）偶函数()f x 在()0,∞+上递增，转化为()()3212f x f x +>-求解．
【解析】（1）因为()f x 是幂函数，则23211m m -+=，解得0m =或23
m =
，又()f x 是偶函数，所以234k k -+是偶数，
又()f x 在()0,∞+上单调递增，所以2340k k -+>，
解得14k -<<，所以0k =、1、2或3．
所以()4f x x =或()6f x x =；（2）由（1）偶函数()f x 在()0,∞+上递增，
()()3212f x f x +>-，可化为()()3212f x f x +>-，即3212x x +>-，所以15x >-或3x <-．所以x 的范围是()1,3,5⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭
．
19．
（12分）若对一切实数x ，y ，都有()()()f x y f x f y +=+．
（1）求()0f ；
（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若()13f =，求()3f -．
【答案】（1）0；（2）奇函数，证明见解析；（3）9-．
【分析】（1）令0x y ==，得到()()020f f =，即可求解；
（2）函数()f x 是奇函数，令y x =-，得到()()()0f f x f x =+-，结合（1）中的结论，得到()()f x f x -=-，即可证得()f x 为奇函数；
（3）令1x y ==，得到()()2216f f ==，进而求得()39f =，结合()f x 为奇函数，即可求解．
【解析】（1）由对一切实数x ，y ，都有()()()f x y f x f y +=+，
令0x y ==，可得()()()0000f f f +=+，即()()020f f =，解得()00f =．
（2）函数()f x 是奇函数．
证明如下：由题意，函数()f x 的定义域为R 关于原点对称，
令y x =-，可得()()()f x x f x f x -=+-，即()()()0f f x f x =+-，
由（1）知()00f =，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数．
（3）令1x y ==，可得()()221f f =，
因为()13f =，所以()26f =，则()()()()211932f f f f =+==+，
因为()f x 为奇函数，所以()()339f f -=-=-．
20．（12分）
已知函数()f x 是定义在()0,+¥
上的增函数，
对一切正数上y 都有()()()f xy f x f y =+成立，且()31f =．
（1）求()1f 和()81f 的值；
（2）若()()82f x f x +-≤，求x 的取值范围．
【答案】（1）(1)0f =，(81)4f =；（2）89x <≤．
【分析】（1）利用()31f =及递推关系，可得(3)(1)(3)f f f =+、(81)4(3)f f =，即可求值；（2）题设不等式可转化为[(8)](9)f x x f -≤，利用()f x 的定义域及单调性求解集即可．
【解析】（1）由题意，(3)(1)(3)f f f =+，则(1)0f =，
(81)(3)(27)2(3)(9)4(3)4f f f f f f =+=+==．
（2）由[(8)]()(8)2f x x f x f x -=+-≤，而(9)2(3)2f f ==，
所以[(8)](9)080f x x f x x -≤⎧⎪>⎨⎪->⎩
，又()f x 在()0,+¥上为增函数，
所以(8)98x x x -≤⎧⎨>⎩，解得89x <≤．所以x 的取值范围89x <≤．
21．（12分）
设函数()22,0,0
x x x f x x mx x ⎧+<=⎨-+≥⎩；（1）若1m =，判断函数()f x 的奇偶性；
（2）若0m =，且()()2f f a ≤，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）奇函数；（2
）a ≤【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断分段函数的奇偶性即可；
（2）分类讨论求解不等式可得出结果．
【解析】（1）函数的定义域关于原点对称，且()00=f ，
所以当0x >时，0x -<，则()()()22f x x x x x f x -=-=--+=-，
当0x <时，0x ->，则()()
()22f x x x x x f x -=--=-+=-，故恒有()()f x f x -=-，
所以函数()f x 为奇函数．
（2）由题意得()()()20,2,f a f a f a ⎧<⎪⎨+≤⎪⎩
或()()20,2,f a f a ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩解得()2f a ≥-．由20,2a a a <⎧⎨+≥-⎩或20,2a a ≥⎧⎨-≥-⎩
，解得a ≤22．
（12分）已知函数21y x mx m =-+-．
（1）若函数的最小值为0，求实数m 的值．
（2）若当11x -≤≤时，y 随x 的增大而减小，求实数m 的取值范围．（3）是否存在实数m ，使得当01x ≤≤时，y 的取值范围是{}30y y -≤≤？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）2m =；（2）{}2m m ≥；（3）存在，2m =-．
【分析】（1）根据最小值列出等式求解m ；
（2）根据题意[]–1,1位于二次函数的对称轴的右侧；
（3）对函数在区间[]2,3上的单调性进行分类讨论，根据值域列方程组求解m ．
【解析】（1）2
221124m m y x mx m x m ⎛⎫=-+-=--+- ⎪⎝⎭，当2m x =时，函数取得最小值2
14m m -+-，由2104
m m -+-=，解得2m =．（2）函数21y x mx m =-+-的图象的对称轴为2m x =
，开口向上，因为当11x -≤≤时，y 随x 的增大而减小，所以
12m ≥，即2m ≥，所以m 的取值范围是{}2m m ≥．
（3）函数21y x mx m =-+-的图象的对称轴为2m x =
，开口向上，①若02
m ≤，即0m ≤，当01x ≤≤时，y 随x 的增大而增大，则220013,1110,m m m m ⎧-⨯+-=-⎨-⨯+-=⎩
解得2m =-．②若012m <<，即02m <<，则当2m x =时，y 取得最小值2
14
m m -+-，
令2
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m m -+-=-，解得2m =±02m <<矛盾．③若12
m ≥，即2m ≥，当01x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，则220010,1113,m m m m ⎧-⨯+-=⎨-⨯+-=-⎩
，整理得1,03,m =⎧⎨=-⎩不成立．综上所述，2m =-．。