一轮复习直线平面平行的判定及其性质

∴MQ∥BC，∴MQ∥平面 BCE，
又 PM∩MQ＝M，BE∩BC＝B，
∴平面 PMQ∥平面 BCE，又 PQ⊂平面 PMQ.
∴PQ∥平面 BCE.
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判断或证明线面平行的常用方法有：
(1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；
接 NE,EC,AE,
因为 N,E 分别为 PA,PD 的中点,所以
1
2
NE� AD.
1
2
又在平行四边形 ABCD 中,CM� AD,
所以 NE�MC,即四边形 MCEN 是平行四
边形.所以 NM�EC.
又 EC⊂平面 ACE,NM⊄平面 ACE,
所以 MN∥平面 ACE,
即在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE.
方法二 如图，连结 AQ，并延长交 BC 延
长线于 K，连结 EK，
∵AE＝BD，AP＝DQ，
AP DQ
∴PE＝BQ，∴PE＝BQ，
DQ AQ
又 AD∥BK，∴BQ＝QK，
AP AQ
∴PE＝QK，∴PQ∥EK.
又 PQ⊄平面 BCE，EK⊂平面 BCE，
∴PQ∥平面 BCE.
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方法三
又 D1B∩QB＝B，D1B、QB⊂平面 D1BQ，
∴平面 D1BQ∥平面 PAO.
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如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是平行四边形,PA⊥平面 ABCD,点 M,N 分别
为 BC,PA 的中点.在线段 PD 的中点 E。
求证：NM∥平面 ACE
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解:证明如下:如图,取 PD 的中点 E,连
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互
转化．
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变式训练 2
如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，E，F，
G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中
点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面；
(2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
证明
(1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线，∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G 四点共面．
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(2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG，
∴EF∥平面 BCHG.
∵A1G 綊 EB，∴四边形 A1EBG 是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG.
∴A1E∥平面 BCHG.
∵A1E∩EF＝E，∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
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线面、面面平行的综合应用
如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为底
面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是
CC1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面
D1BQ∥平面 PAO?
FG⊂平面 EFG,EG∩FG=G,
∴平面 EFG∥平面 BDD1B1.
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证明面面平行的方法：
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都
平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
2． 平 行 问 题 的 转 化 方 向
如图所示：
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一、直线与平面平行
1．判定定理
文字语言
图形语言
平面外一条
判 直线与此平
定 面内的一条
定 直线平行，
理
_______










b a∥
_______
b∥a
_______
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
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变式训练 1
如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面
ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一
点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.
求证：AP∥GH.
证明 如图，连结 AC 交 BD 于点 O，连结 MO，∵四边形 ABCD
是平行四边形，
∴O 是 AC 中点，又 M 是 PC 的中点，
∴AP∥OM.
则有 PA∥平面 BMD.(根据直线和平面平行的判定定理)
∵平面 PAHG∩平面 BMD＝GH，
∴PA∥GH.(根据直线和平面平行的性质定理)
如图，在平面 ABEF 内，过点 P
作 PM∥BE，交 AB 于点 M，连结 QM.
∴PM∥平面 BCE，
又∵平面 ABEF∩平面 BCE＝BE，
AP AM
∴PM∥BE，∴PE＝MB，
又 AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，
AP DQ
AM DQ
∴PE＝ BQ，∴MB＝QB ，∴MQ∥AD，又 AD∥BC，
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2．性质定理
文字语言
性
质
定
理
图形语言
如果一条直线和
一个平面平行，
经过这条直线的
平面和这个平面
相交，那么这条
直线就和交线平
行.
符号语言
a∥
_______









a a∥b
_______
_______
b
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二、平面与平面平行
1．判定定理
AE、BD 上各有一点 P、Q，且 AP＝DQ.求证：PQ∥平面 BCE.
证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可
利用面面平行的性质．
证明 方法一
如图所示．
作 PM∥AB 交 BE 于 M，
作 QN∥AB 交 BC 于 N，
连结 MN.
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∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，
文字语言
性
质
定
理
图形语言
符号语言
a∥
_______

如果两个平行平
面同时和第三个
相交
平面_____，那
交线
么它们的_____
平行










a a∥b
_______

b
_______
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直线与平面平行的判定与
性质
例1
正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB，在
∴AE＝BD.
又 AP＝DQ，∴PE＝QB，
PM PE QB QN BQ
又 PM∥AB∥QN，∴ AB ＝AE＝BD，DC ＝BD，
PM QN
∴ AB ＝DC ，
∴PM 綊 QN，即四边形 PMNQ 为平行四边形，
∴PQ∥MN.
又 MN⊂平面 BCE，PQ⊄平面 BCE，
∴PQ∥平面 BCE.
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考点一
考点二
考点三
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Thanks！
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文字语言
判
定
定
理
图形语言
符号语言
a
_______
一个平面内有两
b
_______
相交直线
条___________



















a_______
b P a∥
与另一个平面平
a∥
_______
行，则这两个平
b∥
_______
面平行
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2.两平面平行的性质定理
解 当 Q 为 CC1 的中点时，平面 D1BQ∥平面 PAO.证明如下：
∵Q 为 CC1 的中点，P 为 DD1 的中点，
∴QB∥PA.
∵P、O 分别为 DD1、DB 的中点，∴D1B∥PO.
又∵D1B⊄平面 PAO，PO⊂平面 PAO，
QB⊄平面 PAO，PA⊂平面 PAO，
∴D1B∥平面 PAO，QB∥平面 PAO，
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考点二 平面与平面平行的判定与性质
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【例 2】 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,S 是 B1D1
的中点,E,F,G 分别是 BC,DC,SC 的中点,求证:
(1)直线 EG∥平面 BDD1B1;
(2)平面 EFG∥平面 BDD1B1.
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证明:(1)如图,连接 SB,
∵E,G 分别是 BC,SC 的中点,
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面 BDD1B1,EG⊄平面 BDD1B1,
∴直线 EG∥平面 BDD1B1.
(2)连接 SD,
∵F,G 分别是 DC,SC 的中点,∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面 BDD1B1,FG⊄平面 BDD1B1,
∴FG∥平面 BDD1B1,且 EG⊂平面 EFG,