(完整word)必修四向量减法运算及其几何意义(附答案)

向量减法运算及其几何意义
［学习目标］1。

掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.2.明确相反向量的意义，能用相反向量说出向量相减的意义.3。

能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．
知识点一相反向量
与a长度相等,方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(1）规定：零向量的相反向量仍是零向量;
(2)－(－a)＝a；
(3）a＋(－a)＝0。

(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0。

思考若a＋b＝c＋d,则a－c＝d－b成立吗？
答案成立．
知识点二向量的减法
（1)定义:a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)法则：向量的减法运算也有平行四边行法则和三角形法则，这也正是向量运算的几何意义．作差向量时,一定要注意差向量的箭头指向被减向量．
思考如图，已知a,b，请你用平行四边形法则和三角形法则分别作出向量a,b的差向量a－b.
答案(1）利用平行四边形法则．
如图,在平面内任取一点O，作OA→＝a,错误!＝b，作错误!＝－b，以错误!，错误!为邻边作平
行四边形OAEC，
则OE→＝a－b.
(2）利用三角形法则．
如图，在平面内任取一点O，作错误!＝a,
错误!＝b，则错误!＝a－b。

知识点三向量的模与向量加、减运算间的关系
根据向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则可以解释｜a|、｜b|与｜a＋b｜、｜a－b｜之间的关系，请你把下列结论补充完整：
对于任意的两个非零向量a、b，都有：
（1)当且仅当a、b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋｜b|，｜a－b｜＝||a｜－｜b｜｜。

（2)当且仅当a、b共线反向时,|a＋b|＝|｜a|－|b｜｜，
|a－b｜＝｜a｜＋｜b｜.
（3）当a与b不共线时，向量a、b、a＋b或a、b、a－b分别能围成三角形．由三角形中任意两边之和(差）大于(小于)第三边知:｜｜a｜－|b||<｜a±b|<|a｜＋|b|。

所以,对任意两个非零向量a、b总有||a|－|b||≤|a±b｜≤|a|＋｜b｜.可以检验a或b为零向量时，上式中的等号成立．经常利用该不等式判断向量模的范围．
思考若｜a|＝1，|b｜＝2，则|a＋b|的取值范围是________；｜a－b｜的取值范围是________．
答案［1,3］［1，3]
题型一向量的减法
例1 如图所示,已知向量a、b、c、d，求作向量a－b,c－d。

解如图所示，在平面内任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，错误!＝d.
则a－b＝错误!，c－d＝错误!.
跟踪训练1 如图，已知向量a,b,c不共线，求作向量a＋b－c。

解如图所示,在平面内任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝a＋b，再作错误!＝c,则错误!＝a＋b－c.
题型二向量减法法则的运用
例2 化简下列式子：
（1）错误!－错误!－错误!－错误!；
(2）(错误!－错误!)－（错误!－错误!)．
解(1）原式＝错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＝错误!－错误!＝0.
(2）原式＝错误!－错误!－错误!＋错误!
＝（错误!－错误!)＋(错误!－错误!)＝错误!＋错误!＝0.
跟踪训练2 化简：（1)(错误!－错误!)－（错误!－错误!)；
(2）（错误!＋错误!＋错误!)－（错误!－错误!－错误!)．
解(1)(错误!－错误!）－(错误!－错误!)
＝错误!－错误!＝错误!.
(2）（错误!＋错误!＋错误!）－(错误!－错误!－错误!）
＝错误!＋错误!－错误!＋(错误!＋错误!）
＝错误!＋错误!－错误!＋错误!
＝错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!
＝错误!＋错误!＝0.
题型三向量减法的应用
例3 如图所示，已知OA→＝a,错误!＝b,错误!＝c，错误!＝e，错误!＝d，错误!＝f，试用a，b，c，d,e,f表示错误!，错误!，错误!－错误!,
错误!＋错误!,错误!－错误!，错误!＋错误!＋错误!.
解错误!＝错误!－错误!＝c－a，
错误!＝错误!－错误!＝d－a，
AD→－错误!＝错误!＝错误!－错误!＝d－b，
AB，→＋错误!＝错误!－错误!＋错误!－错误!＝b－a＋f－c,
错误!－错误!＝错误!＝错误!－错误!＝f－d，
错误!＋错误!＋错误!＝0.
跟踪训练3 如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，试用a，b，c表示向量错误!,错误!，错误!，错误!及错误!。

解∵四边形ACDE是平行四边形,
∴错误!＝错误!＝c,
错误!＝错误!－错误!＝b－a，
错误!＝错误!－错误!＝c－a，
错误!＝错误!－错误!＝c－b,
∴错误!＝错误!＋错误!＝b－a＋c.
利用向量证明平面几何问题
例4 如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心,求证：错误!＝错误!＋错误!＋错误!。

证明作直径BD,连接DA、DC，
则错误!＝－错误!，
DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，
CD⊥BC.
∴CH∥DA，AH∥DC，
故四边形AHCD是平行四边形．
∴错误!＝错误!，
又错误!＝错误!－错误!＝错误!＋错误!，
∴错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!
＝错误!＋错误!＋错误!。

1．化简错误!－错误!＋错误!＋错误!的结果等于（)
A.QP→
B.错误!
C.错误!
D.错误!
2．如图所示，在▱ABCD中，AB，→＝a，错误!＝b,则用a，b表示向量错误!和错误!分别是（）
A．a＋b和a－b
B．a＋b和b－a
C．a－b和b－a
D．b－a和b＋a
3．若菱形ABCD的边长为2，则｜错误!－错误!＋错误!|＝________.
4．在平行四边形ABCD中，错误!－错误!＋错误!－错误!＝________.
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，错误!－错误!等于（）
A.AB，→
B.错误! C。

错误! D.错误!
2．下列等式中，正确的个数为（）
①0－a＝－a；②－（－a）＝a；③a＋(－a）＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋（－b);⑥a－(－a）＝0。

A．3 B．4 C．5 D．6
3．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( ）
A.错误!－错误!＝0 B。

错误!－错误!＝错误!
C.错误!－错误!＝错误!
D.错误!＋错误!＝0。