自动控制原理第三章

试分析阶跃响应的动态性能。
解：
18.75( s 3.2) G( s) ( s 3)(s 10)(s 1 j)(s 1 j)
零极点分布见下图。
Im 1 -3 -10 -3.2 -1 -1 Re
其中极点10是非主导极点，可以消去；极点3和 零点3.2相距很近，也可以消去。
它们的拉氏反变换分别为
y1 (t ) 1 2e t 3e 2t
y2 (t ) 1 0.5et 0.5e2t
对比两式可以看出，极点决定衰减项的时间常数，零点 决定衰减项的系数。 零极点的分布与响应曲线 G1(s)：
-2 y(t) 1 -1 -0.5 Im Re
0
0
t
Im
y(t)
2 n
1
0
t
例
G(s)
1 0.04s 2 0.2s 1
求阶跃响应的动态性能 和 ts 。
解：化标准型为
25 G ( s) 2 s 5s 25
则
n 5
5 /(2n ) 0.5
e
π / 1 2
100% e
π0.5 / 10.52
令上式中
3 j9 Ae j 10
得
32 9 2 A 0.95 10 9 arctan3 1.25rad
则响应为
2 3t y (t ) 1 e 0.95e j1.25e (1 j)t 0.95e j1.25 e (1 j)t 5 2 3t 1 e 0.95e t e j(t 1.25) e j(t 1.25) 5 2 3t 1 e 1.9e t cos(t 1.25) 5
注意：离虚轴很近的一对零、极点通常是不能消去的。
这是因为这一对零、极点各自对暂态分量的贡献都很大；
由于数学模型不可避免的误差，它们实际上也许不太符
合对消的条件，这时，对消带来的误差将给结论带来本
质性的影响。至于不稳定的极点，就更不允许对消了。
3.1.7 附加零极点的影响
增加一个极点会使系统快速性变慢，因为增加一个极点相 当于增加一个指数衰减的暂态项，加大了过渡过程时间。
2

2 1
2 2 1
e
( 2 1 ) n t
第一项为稳态分量；第二项和第三项为指数衰减的暂态分量。
调节时间：
ts
1
n
(6.45 1.7)
超调量：σ=0
Im
y(t)
1 ζ 小 ζ 大
S2
S1
0
Re 0
t
（a）ζ >1时的极点
（b）ζ >1时的阶跃响应
2．临界阻尼ζ =1 极点：s1,2=-ωn 单位阶跃响应为：
快速性
⑶ 单位斜坡函数
t 1(t )
r
跟随性
t
⑷ 单位加速度函数
1 2 t 1(t ) 2
跟随性
r
t
⑸ 正弦函数 cosωt
频率特性
3.1.2 动态性能指标 动态或过渡过程：当暂态分量较大而不能忽略时，系统所 处的状态称为动态或过渡过程。这时系统的特性叫动态特 性。 动态性能的一些指标是在输入为单位阶跃信号时定义的。 非零状态下的阶跃响应与零状态下的阶跃响应波形形状 完全相同，所以只讨论零状态下的阶跃响应。
G2(s)：
-2 y(t) 1 -4/3 -1 0
Re
0
t
本例告诉我们，即使极点相同情况下，零点不同， 输出差别也很大，零点越靠近虚轴，阻尼越小。
例2 系统的传递函数为
G( s)
6 ( s 3)(s 2 2s 2)
，求
零初始状态下的单位阶跃响应。
此例是在欠阻尼二阶系统基础上增加了一个极点。目的是 看增加极点对系统的影响。
y(t ) 1 (1 n t )e nt
调节时间：
ts
1
n
(6.45 1.7)
超调量：σ=0
Im y(t)
1
S2=S1
0
Re
0 t
（a）ζ =1时的极点
（b）ζ =1的阶跃响应
3．欠阻尼 0＜ζ ＜1
极点：系统极点为 为两个共轭虚数极点。 单位阶跃响应为
s1, 2 n j n 1 2
增加一个零点会使系统快速性变好，因为这相当于抵消了 一个或抵消掉一部分极点效应。
3.2 控制系统的稳态精度，性能指标 3.2.1 稳态精度与稳态误差
稳态精度：过渡过程结束后输出对输入的跟随精度。
稳态误差：稳态时，输入与反馈的差值，是稳态精度的 度量。（从输入侧定义） 也可以定义为：输出的希望值与实际值之差。（从输出 侧定义）
y (t ) 1
e nt 1 2
sin( 1 2 n t arccos )
第一项为稳态分量；第二项为振荡衰减的暂态分量。
Im
n 1 2
acccos
n
n
0
Re
0.2
y(t)
0.1
0.3
0.4
0.7
1
设零初始状态，y(0)=0 r (t)=1(t)时，y(t)的响应曲线为
y(t)
1.05 y(∞) y(∞) 0.95 y(∞)
ym
tr tp
ts
ym：单位阶跃响应的最大偏离量。
y(∞)：单位阶跃响应的稳态值。并非期望值。 ts：调节时间。y(t)进入0.5*y(∞)或0.2* y(∞)构成的误差带 后不再超出的时间。 tr：上升时间。 y(t) 第一次达到 y(∞)的时间。
单位反馈时结构图
R(s)
2 n s( s 2 n )
Y ()
-
1．过阻尼时，ζ ＞1 系统极点为
s1,2 n n 2 1 ( 2 1) n
为两个负实数极点。
单位阶跃响应为
y (t ) 1
2 1
2 2 1
e
( 1 ) n t
y(∞)的差值。
注意：输入信号为非单位阶跃信号时，依齐次性，响应
只是沿纵轴拉伸或压缩，基本形状不变。所以ts 、 tr、 tp 、
σ并不发生变化。
当t < ts时，称系统处于动态；当t > ts时，称系统处于稳态。
3.1.3 一阶系统的单位阶跃响应
1 一阶系统（惯性环节） G ( s ) Ts 1
1
0
ωnt 称为二阶振荡环节。由二阶振荡环节的单位阶跃响应解析式 和图形可以看出，参数 ωn 的变化只影响到曲线沿横轴方向的
拉伸或压缩；而峰值的大小取决于参数ζ 。
①超调量：
e

1
2
100%
σ随ζ减小
而增大
②峰值时间：
tp
n 1 2
③上升时间：
tr
arccos
传递函数的化简应在保持静态增益不变的前提下进行，即有
18.75 3.2( G( s)
1 s 1) 3.2
1 1 3 10( s 1)( s 1)(s 2 2s 2) 3 10

2 ( s 2 2s 2)
即近似成了欠阻尼二阶系统，阶跃响应是衰减振荡。
其参数和阶跃响应的性能指标为
其中，每一个( s-sj )包含一个实数特征根
2 每一个 (s 2 2 k nk s nk ) 包含一对共轭复数特征根
K(s)是 s 的多项式。
单位阶跃响应为
r G( s ) s jt y(t ) L A0 A j e Bk e knk t sin[Ck t Dk ] s j 1 k 1 1 q


最后一个等号利用了欧拉公式。其中第1项是稳态分量，
后2项是暂态分量。
增加一个极点，则增加一个暂态分量。
y(t) 1
0
t
小结：将高阶系统简化为二阶系统的原则：书 P93
例，系统传递函数为 G( s)
18.75( s 3.2) ( s 3)(s 10)(s 2 2s 2)
其中，A0、Aj、Bk、Ck、Dk为常系数，sj 、-ζkω nk为
特征根的实部。其中第1项是稳态分量，其余的部分是
暂态分量。
由上式可以看出，暂态项由衰减项构成，实数特征根对应
指数衰减项，共轭复数特征根对应振荡衰减项。
高阶系统的分析方法： 高阶系统的分析比较复杂和困难，一般将它与二阶系统作 比较分析，即把它看做是在二阶系统的基础上增加了零点 和极点后形成的系统。
100% 16.3%
3 ts s 1.2s n 0.5 5
3
3.1.5 高阶系统的单位阶跃响应 高于二阶的系统称为高阶系统
G(s) K (s)
2 (s s j ) ( s 2 2 k nk s nk ) j 1 k 1 q r
设高阶系统为
n 2 2 /(2 2 ) 0.707
e
ts
π / 1 2
e 3
π0.707 / 10.707 2
4.3%
3
n

0.707 2
s 3s
由本例可以体会到，把高阶系统近似为简单的一阶或二阶
系统将大大有利于对系统的分析。这种方法能看出响应的 性质（单调上升还是衰减振荡），又能很快计算出性能指 标，还能对改进系统提供依据。
单位阶跃响应为
t T
T >0
y (t ) 1 e
t≥0
对于一般的一阶系统
K G(s) Ts 1
t T
T >0
单位阶跃响应为
y (t ) K (1 e
)
t ≥0
y(t)
1.0 y(∞) 0.95y(∞)
0.865y(∞)
0.632y(∞)
0
T
2T
3T
t
特点：①无超调 σ=0 ②调节时间，ts=3T（单位为秒） ③y(t)的初始斜率为1/T
解：输出的拉氏变换分别为
4s 2 1 2 3 Y1 ( s) G1 ( s) R( s) s( s 1)(s 2) s s 1 s 2
Y2 ( s) G2 ( s) R( s) 1.5s 2 1 0.5 0.5 s( s 1)(s 2) s s 1 s 2
n 1 2
3 , 0 0.9
④调节时间：
ts
n
4．无阻尼ζ =0
极点：系统极点为s1,2=±jω n ；为两个纯虚数极点。
单位阶跃响应为
第一项为稳态分量；
y(t ) 1 cosnt
第二项为等幅振荡的暂态分量，振荡频率为ωn 。这也是称 ωn 为无阻尼自然振荡频率的原因。这时系统临界不稳定。
第三章 控制系统的时域分析
3.1 动态性能指标
3.1.1 典型输入信号 为了定量给出某个系统的抗扰性能和跟随性能指标，
需要讨论在某一典型输入或扰动输入下，系统的零状态
响应曲线。通常使用的输入信号有以下几种：
⑴ 单位脉冲函数
(t )
0 1(t ) 1 t0 t0
稳定性，抗干扰性
⑵ 单位阶跃函数
tp：峰值时间。
超调量：

y(t p ) y() y()
100%
重要的指标： ① ts 、 tr 、 tp表示快速性； tr 和tp表示初始快速性。 ts 表示 总体快速性。 ②σ表示系统的阻尼程度和平稳性。与稳定性有对应关系， 它不是稳定性指标。 ③稳态误差（它是一个稳态值指标），是期望值与稳态值
3.1.4 二阶系统的单位阶跃响应 二阶系统闭环传递函数为
2 def def 1 n 1 G( s) 2 , T 2 2 n s 2 n s n (Ts) 2 Ts 1
这里的ζ 和ωn都是正数。 ζ :阻尼系数； ω n:自然振荡频率（无阻尼ζ =0时的振荡频率）； T:时间常数；
例，两个系统为
G1 ( s)
4s 2 ( s 1)(s 2)
和
G 2 ( s)
1.5s 2 ( s 1)(s 2)
分别求它们在零初始状态下的单位阶跃响应。
此例并非高阶系统，是二阶系统，目的是看增加零点对系
统的影响。 此例的特点是极点相同，零点不同。两个系统具有实极点， 都是过阻尼二阶系统。
解：输出的拉氏变换为
Y ( s) 6
s( s 3)(s 2 2s 2) 1 2 3 j9 1 3 j9 1 s 5( s 3) 10 s 1 j 10 s 1 j
拉氏反变换：
2 3t 3 j9 (1 j)t 3 j9 (1 j)t y (t ) 1 e e e 5 10 10