2022年数学沪科版九年级下《弧长与扇形面积》教案

24.7 弧长与扇形面积
第1课时 弧长与扇形面积
1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程；
2．会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算(难点)．
一、情境导入
在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度应该怎么计算呢？
二、合作探究
探究点一：与弧长有关的计算 【类型一】 求弧长
如图，⊙O 的半径为6cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC ∥AO .若∠A ＝30°，则劣弧BC ︵
的长为________cm.
解析：连接OB 、OC ，∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BO .∵∠A ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵BC ∥AO ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°.在等腰△OBC 中，∠BOC ＝180°－2∠OBC ＝180°－2×60°＝60°.∴BC ︵
的长为60×π×6180
＝2π.
方法总结：根据弧长公式l ＝n πR
180
，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R 和它所对的圆心角n 的大小．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】 利用弧长求半径或圆心角
(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π
2，则该扇形的半径是________；
(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π
3，那么此扇形的圆心角的大小为________．
解析：(1)若设扇形的半径为R ，则根据题意，得45×π×R 180＝π
2，解得R ＝2.
(2)根据弧长公式得n ×π×1180＝π
3，解得n ＝60，故扇形圆心角的大小为60°.
方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型三】 求动点运行的弧形轨迹
如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC ＝3，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°.若
Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
解析：点A 第1次落在直线l 上所经历的路线的长为一个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长，此后每落在直线l 上一次，都会经历一个半径长为2，圆心角为120°的扇形弧长和一个半径为3，圆心角为90°的扇形弧长之和，故点A 第3次落在直线l 上所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为3，圆心角为90°的扇形弧长之和，即l ＝3×120π×2180＋2×90π×3
180
＝4π＋3π.故填(4＋3)π.
方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况的规律，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
探究点二：与扇形面积相关的计算 【类型一】 求扇形面积
一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留
π)．
解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S ＝n πr 2360＝120×32π
360
＝3π.
方法总结：扇形面积公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S ＝1
2
lr ，其中l 是弧长，r 是半径．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型二】 求运动形成的扇形面积
如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针
旋转90°到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( )
A ．π B. 3
C.3π4＋32
D.11π12＋34
解析：在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴BC ＝1
2ABBCB 1和扇形ACA 1，∴S 扇形BCB 1＝
90·π·12360＝π4，S 扇形ACA 1＝90·π·（3）2360＝3π4，∴S 总＝π4＋3π
4
＝π.故选A. 方法总结：此题考查了旋转的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系，利用数形结合思想把扫过的面积分成两个扇形的面积与一个三角形面积是解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 【类型三】 求阴影部分的面积
如图，半径为1cm 、圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，
则图中阴影部分的面积为( )
A ．πcm 2 B.2
3πcm 2
C.12cm 2
D.23
cm 2
解析：设两个半圆的交点为C ，连接OC ，AB ，根据题意可知点C 是半圆OA ︵，OB ︵
的中点，所以BC ︵＝OC ︵＝AC ︵
，所以BC ＝OC ＝AC ，即四个弓形的面积都相等，所以图中阴影部分的面积等于Rt △AOB 的面积，又OA ＝OB ＝1cm ，即图中阴影部分的面积为1
2cm 2，故选
C.
方法总结：求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 三、板书设计 1．弧长的计算 2．扇形面积的计算
教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵
活运用割补法和转换法等.
第1课时 平行投影与中心投影
1．了解平行投影与中心投影的含义，体会其在生活中的应用；
2．根据平行投影和中心投影的特点，能够进行相关的作图和计算(重点，难点)．
一、情境导入
太阳光下的影子是我们司空见惯的，物体在太阳光照射下形成的影子与在灯光照射下形成的影子有什么不同呢？
二、合作探究
探究点一：平行投影与中心投影 【类型一】 平行投影的作图
如图，在某一时刻垂直于地面的物体AB 在阳光下的投影是BC ，请你画出此时同
样垂直于地面的物体DE 在阳光下的投影，并指出这一时刻是在上午、中午还是下午？
解：如图，连接AC ，过点D 作DF ∥AC ，过点E 作EF ∥BC 交DF 于点F ，则EF 就
是DE的投影．由BC是北偏西方向，判断这一时刻是上午．
方法总结：(1)画物体的平行投影的方法：先根据物体的投影确定光线，然后利用两个物体的顶端和各自影子的末端的连线是一组平行线，过物体顶端作平行线与地面相交，从而确定其影子．(2)物体在阳光下的不同时刻，不仅影子的大小在变，而且影子的方向也在改变，就我们生活的北半球而言，上午的影子的方向是由西向北变化，影子越来越短，下午的影子方向由北向东变化，影子越来越长．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】中心投影的作图
如图所示，由两根直立的木杆在一路灯下的影子判断路灯灯泡的位置．解：如图所示，两条光线的交点O即为灯泡所在的位置．
方法总结：相交光线的交点即为点光源所在的位置．点光源下两个物体的影子可能在同一个方向，也可能不在同一个方向．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型三】中心投影的变化规律
如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子()
A．逐渐变短
B．先变短后变长
C．先变长后变短
D．逐渐变长
解析：在路灯下，路灯照人所形成的投影是中心投影．人的影子可以通过路灯和人的头
顶作直线，该直线和地面的交点到人的距离即为他的影子的长度．因此人离路灯越远，他的影子就越长．由A 到B 这一过程中，人在地上的影子先逐渐变短，当他走到路灯正下方时，影子为一点，然后又逐渐变长．故选B.
方法总结：在灯光下，垂直于地面的物体离点光源距离近时影子短，离点光源远时影子长．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 探究点二：投影与计算
【类型一】 平行投影的有关计算
一位同学想利用树影测树高AB ，m 的竹竿的影长为3m ，但当他马上测量树影时，
发现树的影子有一部分落在墙上(如图①)．经测量，留在墙上的影高CD m ，地面部分影长BD m ，求树高AB .
解：方法一：过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ，如图①.∵四边形AEDC 为平行四边形，∴AE ＝CD m.∵
EB BD ＝1.5
3
，∴EB m ，∴AB ＝AE ＋EB m. 方法二：延长AC 交BD 的延长线于点E ，如图②.∵CD m ，CD
DE
＝错误!，∴DE m.∴BE ＝BD ＋DE m.∵AB
BE
＝错误!，∴AB ＝3.9m.∴树高AB m.
方法总结：解决这类问题较为常见的方法有两种，一是画出树影在墙脚对应的树高；二是透过墙，补全树在平地上的影长．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 【类型二】 中心投影的有关计算
如图，，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长有2米，问此路灯有多高？
解：根据题意，易证，△CDE ∽△ABE ，则CD AB ＝DE
BE ，即错误!＝错误!，所以AB ＝4.8
米．
答：此路灯高4.8米．
方法总结：与中心投影有关的计算，一般的解题思路是运用三角形的相似寻求对应的等
量关系求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
三、板书设计
1．平行投影
由平行光线所形成的投影．
2．中心投影
由一点(点光源)发出的光线所形成的投影．
影子是生活中常见的现象，在探索物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念．通过在阳光、灯光下摆弄小棒、纸片，体会、观察影子大小和形状的变化情况，总结规律，培养学生观察问题、分析问题的能力.。