高中数学 第一章 三角函数 1.2.1.2 单位圆与三角函数线课件

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4．如果π4<α<π2，那么 sinα，tanα，cosα 按从小到大的顺序排
列为 cosα<sinα<tanα
.
解析：如图所示，在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP、余 弦 线 OM 、 正 切 线 AT ， 很 容 易 地 观 察 出 OM<MP<AT ， 即 cosα<sinα<tanα.
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2．三角函数线的定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、 正切线，还给出了角 α 的三角函数线的画法，体现了数形结合思 想，以“形”说“数”．也就是在“数”的角度认识任意角的三 角函数的基础上，又从图形角度考察任意角的三角函数，即用向 量的长度表示三角函数的数值，这也是三角函数与其他基本初等 函数不同的地方．
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5．在单位圆中画出满足 cosα＝12的角 α 的终边，并写出 α 组成的集合．
解：如图所示，作直线 x＝12交单位圆于 M，N，连接 OM， ON，则 OM，ON 为 α 的终边．
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1．已知角 α 的正弦线的长度为单位长度，那么角 α 的终边
( B)
A．在 x 轴上
B．在 y 轴上
C．在直线 y＝x 上
D．在直线 y＝－x 上
2．已知116π的正弦线为 MP，正切线为 AT，则有( A )
A．MP 与 AT 的方向相同 B．|MP|＝|AT|
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[变式训练 1] 有三个命题：①π6和56π的正弦线相等；②π3和43π
的正切线相等；③π4和54π的余弦线相等．其中正确的说法有( B )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
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类型二
利用三角函数线比较三角函数值的大小
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[变式训练 3] 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 终边的 范围，并由此写出角 α 的集合．
(1)sinα≥ 23；(2)cosα≤－12. 解：(1)直线 y＝ 23交单位圆于 A，B 两点，连接 OA 与 OB， 则 OA 与 OB 围成的区域(图(1)的阴影部分)即为角 α 的终边范围． 故满足条件的角的集合为{α|π3＋2kπ≤α≤23π＋2kπ，k∈Z}．
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[目标] 1.了解三角函数线的意义． 2.会用三角函数线表示 一个角的正弦、余弦和正切． 3.掌握三角函数线的简单应用．
[重点] 三角函数的正弦线、余弦线、正切线． [难点] 三角函数线的应用．
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要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
1．有向线段 (1)定义：带有
[填一填] 方向 的线段．
(2)表示：用大写字母表示起点、终点，如有向线段 OM，
MP.
2．三角函数线：如图为角 α 的三种三角函数线，则：sinα ＝ MP ；cosα＝ OM ；tanα＝ AT .
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[答一答] 1．当角 α 的终边与 x 轴、y 轴重合时，正弦线、余弦线、 正切线如何？
[例 2] 比较下列各组数的大小．(1Fra bibliotekcos47π和
cos57π.(2)sinπ7和
π tan7.
[解] (1)如图所示，在单位圆中作出47π和57π的余弦线 OM2
和
OM1，因为
OM1<OM2，所以
4π 5π cos 7 >cos 7 .
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(2)如图所示，分别作出π7的正弦线和正切线．sinπ7＝MP，tanπ7
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利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法 1首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三 角函数线画出角 x 满足条件的终边范围. 2在应用三角函数线时，可根据这样一句话来理解：角的 终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵 坐标是该角的正弦值，写角的范围时，抓住边界值，然后再注意 角的范围的写法要求.
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类型三
利用三角函数线解简单三角不等式
[例 3] 求下列函数的定义域： (1)y＝ 2cosx－1；(2)y＝lg(3－4sin2x)． [分析] 首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用 三角函数线画出角 x 满足条件的终边范围．
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[解] (1)如图(1)． ∵2cosx－1≥0， ∴cosx≥12. ∴函数定义域为2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)．
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(2)如图(2)．
∵3－4sin2x>0，∴sin2x<34.∴－
3 2 <sinx<
3 2.
∴函数定义域为：
2kπ－π3，2kπ＋π3∪2kπ＋23π，2kπ＋43π(k∈Z)， 即kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)．
C．MP>0，AT<0
D．MP<0，AT>0
解析：三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP ＝sin116π<0，AT＝tan116π<0.
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3．若角 α 的正弦线的长度为12，且方向与 y 轴的正方向相反，
则 sinα 的值为 －12
.
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解析：(1)在同一单位圆中画出 10°和 160°的三角函数线，易 得 sin10°<sin160°<cos10°.故选 C.
(2)因为π4<1<π2， 如图所示：由三角函数线可得 sin1> 22>cos1， 故 sin1－cos1>0.
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——本课须掌握的四大问题 1．三角函数线的特征：①三角函数线的位置：正弦线为角 α 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段，余弦线在 x 轴上， 正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段 中有两条在单位圆内，一条在单位圆外．②三角函数线的方向： 正弦线由垂足指向角 α 的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指 向垂足，正切线由切点指向切线与角 α 的终边或其反向延长线的 交点．③三角函数线的正负：三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向 的，为正值，与 x 轴或 y 轴反向的，为负值．
第一章
三角函数(sānjiǎhánshù)
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第一页，共三十七页。
1．2 任意(rènyì)角的三角函数
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第二页，共三十七页。
1.2.1 任意(rènyì)角的三角函数
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第三页，共三十七页。
第2课时(kèshí) 单位圆与三角函数线
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第二十六页，共三十七页。
(2)作直线 x＝－12交单位圆于 C，D 两点，连接 OC 与 OD， 则 OC 与 OD 围成的区域(图(2)的阴影部分)即为角 α 的终边范围．
故满足条件的角 α 的集合为{α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z}.
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3．当角 α 的终边与 x 轴重合时，正弦线、正切线变成一个 点，此时角 α 的余弦值为 1 或－1，正弦值和正切值都为 0；当 角 α 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在， 此时角 α 的正弦值为－1 或 1，余弦值为 0，正切值不存在．
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[解] (1)作出－π3的正弦线如图①所示．
(2)作出43π 的正切线如图②所示．
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三角函数线的画法 1作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交 点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余 弦线. 2作正切线时，应从 A1，0点引 x 轴的垂线，交 α 的终边 α 为第一或第四象限角或 α 终边的反向延长线α 为第二或第三 象限角于点 T，即可得到正切线 AT.
提示：当角 α 的终边与 x 轴重合时，正弦线、正切线分别变 成一个点，余弦线不变；
当角 α 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不 存在，正弦线不变．
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2．如图为角 α，β 的三角函数线，请根据图中的三角函数线， 完成下列填空：(用“>”或“<”填空)
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知识点一 单位圆
[填一填] (1)一般地把半径为 1 的圆叫做单位圆． (2)角 α 的余弦和正弦分别等于角 α 终边与单位圆交点的 横坐标 和 纵坐标 ．
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知识点二 有向线段及三角函数线
(1)sinβ > sinα.(2)cosα > cosβ. (3)tanβ > tanα.
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类型一 任意角的三角函数线
[例 1] (1)作出－π3的正弦线； (2)作出43π的正切线． [分析] 作三角函数线时，应根据三角函数线的定义，先找 到 P，M，T 点，再画出 MP，OM，AT.
＝AT，因为
AT>MP，所以
ππ tan7>sin7.
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利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：① 角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有 向线段的正负.
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[变式训练 2] (1)下列关系式中正确的是( C ) A．sin10°<cos10°<sin160° B．sin160°<sin10°<cos10° C．sin10°<sin160°<cos10° D．sin160°<cos10°<sin10° (2)sin1－cos1 > 0(填“>”或“<”)．
4．在用字母表示三角函数线时注意方向，分清始点与终点， 书写时不能颠倒顺序．
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内容(nèiróng)总结
第一章
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