郑州中学数学几何图形初步单元练习(Word版 含答案)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．
（1）如图①，已知：Rt△ABC中，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE=BD+CE；
（2）如图②，将(1)中的条件改为：△ABC中，AB=AC，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．
【答案】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）解：结论DE=BD+CE成立；理由如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）解：∵∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ABD和△CEA中，
∴△ABD≌△CEA(AAS)，
∴S△ABD=S△CEA，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h，
∴S△ABC= BC•h=12，S△ACF= CF•h，
∵BC=2CF，
∴S△ACF=6，
∵S△ACF=S△CEF+S△CEA=S△CEF+S△ABD=6，
∴△ABD与△CEF的面积之和为6．
【解析】【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，即可得出结论；（2）由∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA即可得出答案；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠CAE=∠ABD，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，得出S△ABD=S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF即可得出结果．
2．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图①），其中，， .
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）若，求的度数；
（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角，试探究等于多少度时，并简要说明理由.
【答案】（1）解：，理由如下：
，
（2）解：如图①，设，则，
由（1）可得，
，
，
（3）解：分两种情况：
①如图1所示，当时，，
又，
；
②如图2所示，当时，，
又，
.
综上所述，等于或时， .
【解析】【分析】（1）由∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可求出∠BCD+∠ACE的度数.
（2）如图①，设∠ACE=a，可得∠BCD=3a，结合（1）可得3a+a=180°，求出a的度数，即得∠BCD的度数.
（3）分两种情况讨论，①如图1所示，当AB∥CE时，∠BCE=180°-∠B=120°，②如图2所示，当AB∥CE时，∠BCE=∠B=60°，分别求出∠BCD的度数即可.
3．如图（1），将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
（1）试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
（2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（4）若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？（不需说明理由）
【答案】（1）解：∠ACE=∠BCD，理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°，∠ACE+∠ECD=∠ECB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD
（2）解：若∠DCE=30°，∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ACD﹣∠DCE=90°﹣30°=60°，
∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE，
∠ACB=90°+60°=150°
（3）解：猜想∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：
∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，
∴∠ECD+∠ACB=360°﹣（∠ACD+∠ECB）=360°﹣180°=180°
（4）解：成立
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等即可求证；
（2）根据余角的定义可先求得∠ACE=∠ACD-∠DCE，再由图可得∠ACB=∠ACE+∠BCE，把∠ACE和∠BCE 的度数代入计算即可求解；
（3）由图知，∠ACB=∠ACD+∠BCE-∠ECD，则∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCE，把∠ACD和∠BCE的度数代入计算即可求解；
（4）根据重叠的部分实质是两个角的重叠可得。

4．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周．在旋转的过程中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求此时t的值为多少？
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转图2，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM 与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转，
∴第t秒时，三角板转过的角度为10°t，
当三角板转到如图①所示时，∠AON=∠CON
∵∠AON=90°+10°t，∠CON=∠BOC+∠BON=120°+90°﹣10°t=210°﹣10°t
∴90°+10°t=210°﹣10°t
即t=6；
当三角板转到如图②所示时，∠AOC=∠CON=180°﹣120°=60°
∵∠CON=∠BOC﹣∠BON=120°﹣（10°t﹣90°）=210°﹣10°t
∴210°﹣10°t=60°
即t=15；
当三角板转到如图③所示时，∠AON=∠CON= ，
∵∠CON=∠BON﹣∠BOC=（10°t﹣90°）﹣120°=10°t﹣210°
∴10°t﹣210°=30°
即t=24；
当三角板转到如图④所示时，∠AON=∠AOC=60°
∵∠AON=10°t﹣180°﹣90°=10°t﹣270°
∴10°t﹣270°=60°
即t=33．
故t的值为6、15、24、33．
（2）解：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°﹣∠AON，∠NOC=60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知，在第t秒时，三角板转过的角度为10°t，然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论，即可求出t的值；
（2）根据三角板∠MON=90°可求出∠AOM、∠NOC和∠AON的关系，然后两角相加即可求出二者之间的数量关系．
5．如图1，点A、B分别在数轴原点O的左右两侧，且 OA+50=OB，点B对应数是90．
（1）求A点对应的数；
（2）如图2，动点M、N、P分别从原点O、A、B同时出发，其中M、N均向右运动，速度分别为2个单位长度/秒，7个单位长度/秒，点P向左运动，速度为8个单位长度/秒，设它们运动时间为t秒，问当t为何值时，点M、N之间的距离等于P、M之间的距离；
（3）如图3，将（2）中的三动点M、N、P的运动方向改为与原来相反的方向，其余条件不变，设Q为线段MN的中点，R为线段OP的中点，求22RQ﹣28RO﹣5PN的值．
【答案】（1）解：如图1，∵点B对应数是90，
∴OB=90．
又∵ OA+50=OB，即 OA+50=90，
∴OA=120．
∴点A所对应的数是﹣120
（2）解：依题意得，MN=|（﹣120+7t）﹣2t|=|﹣120+5t|，
PM=|2t﹣（90﹣8t）|=|10t﹣90|，
又∵MN=PM，
∴|﹣120+5t|=|10t﹣90|，
∴﹣120+5t=10t﹣90或﹣120+5t=﹣（10t﹣90）
解得t=﹣6或t=14，
∵t≥0，
∴t=14，点M、N之间的距离等于点P、M之间的距离
（3）解：依题意得RQ=（ 45+4t）﹣（﹣60﹣4.5t）=105+8.5t，
RO=45+4t，
PN=（90+8t）﹣（﹣120﹣7t）=210+15t，
则22RQ﹣28RO﹣5PN=22（105+8.5t）﹣28（45+4t）﹣5（210+15t）=0
【解析】【分析】（1）根据点B对应的数求得OB的长度，结合已知条件和图形来求点A 所对应的数；（2）由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为，列方程求出t；
（3）由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为，列方程求出t，并求出RQ，RO 及PN，再求出22RQ﹣28RO﹣5PN的值．
6．将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒
（1）当t=________秒时，OM平分∠AOC？如图2，此时∠NOC﹣∠AOM=________°；
（2）继续旋转三角板MON，如图3，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系？并说明理由；
（3）若在三角板MON开始旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止，（自行画图分析）
①当t=________秒时，OM平分∠AOC？
（4）②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．
【答案】（1）2.25；45
（2）解：∠NOC﹣∠AOM=45°，
∵∠AON=90°+10t，
∴∠NOC=90°+10t﹣45°
=45°+10t，
∵∠AOM=10t，
∴∠NOC﹣∠AOM=45°
（3）3
（4）解：②∠NOC﹣∠AOM=45°．
∵∠AOB=5t，∠AOM=10t，∠MON=90°，∠BOC=45°，
∵∠AON=90°+∠AOM=90°+10t，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+5t，
∴∠NOC=∠AON﹣∠AOC=90°+10t﹣45°﹣5t=45°+5t，
∴∠NOC﹣∠AOM=45°．
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC=45°，OM平分∠AOC，
∴∠AOM= =22.5°，
∴t=2.25秒，
∵∠MON=90°，∠MOC=22.5°，
∴∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；
故答案为：2.25，45；
·（3）①∵∠AOB=5t，∠AOM=10t，
∴∠AOC=45°+5t，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM= AOC，
∴10t= （45°+5t），
∴t=3秒，
故答案为：3．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOM= =22.5°，于是得到t=2.25秒，由
于∠MON=90°，∠MOC=22.5°，即可得到∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；（2）根据题意得∠AON=90°+10t，求得∠NOC=90°+10t﹣45°=45°+10t，即可得到结论；（3）①根据题意得∠AOB=5t，∠AOM=10t，求得∠AOC=45°+5t，根据角平分线的定义得到∠AOM= AOC，列方程即可得到结论；（4）②根据角的和差即可得到结论．
7．如图
（1）如图1，AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°。

求∠EPF的度数。

小明想到了以下方法(不完整)，请填写以下结论的依据：
如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠1=∠AEP=40°(________)
∵AB∥CD，(已知)
∴PM∥CD，(________)
∠2+∠PFD=180°(________)
∵∠PFD=130°，∴∠2=180°-130°=50°
∴∠1+∠2=40°+50°=90°
即∠EPF=90°
（2）如图2，AB∥CD，点P在AB，CD外，问∠PEA，∠PFC，∠P之间有何数量关系?请说明理由；
（3）如图3所示，在(2)的条件下，已知∠P=α，∠PEA的平分线和ZPFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数是________。

(直接写出答案，不需要写出过程)
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补
（2）解：
理由如下：过点作，则
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即 .
（3）
【解析】【解答】（3）如图：
∵EG平分∠PEA，FG平分∠PFC，
∴∠1=∠PFC，∠2=∠PEA，
∴∠1-∠2=∠PFC-∠PEA=（∠PFC-∠PEA），
∵∠PFC=∠PEA+∠P，
∴∠PFC-∠PEA=∠P，
∴∠1-∠2=∠P，
∵∠3=∠P+∠2，
∴∠G=∠3-∠1=∠P+∠2-∠1=∠P=α.
【分析】（1）根据平行线的性质及平行公理，即可求解；
（2）过点P作PN∥AB，根据平行公理得PN∥CD，得出∠PFC=∠FPN，由AB∥CD得出∠PEA=∠NPE，
从而得出∠FPN=∠PEA+∠FPE，即可求出∠PFC=∠PEA+∠FPE，即可求解；
（3）根据角平分线的定义得出∠1=∠PFC，∠2=-∠PEA，由∠PFC=∠PEA+∠P，得出∠1-∠2=
∠P，由三角形的外角性质得出∠G=∠3-∠1，∠3=∠P+∠2，从而求出∠G=α.
8．如图，已知，在的右侧，平分，平分，，所在直线交于点.
（1）求的度数.
（2）若，求的度数(用含的代数式表示).
（3）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，在图中画出平移后的图形，并判断的度数是否发生改变?若改变，求出它的度数(用含的式子表示)；若不改变，请说明理由.
【答案】（1）解：∵平分，，
.
（2）解：如图，过点作
∵，
，， .
∵平分，平分，，，
，，
..
（3）解：如图2为平移后的图形.
的度数发生了改变.
过点作，平分，平分，，，
， .
∵，
，
，，
.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义即可求∠EDC的度数；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥EF，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
（3）∠BED的度数改变.过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE=∠ABC，
∠CDE=∠ADC，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：
，进而可由求得答案.
9．已知：直线EF//MN，点A、B分别为EF，MN上的动点，且∠ACB= a，BD平分∠CBN交EF于D．
（1）若∠FDB=120°，a=90°．如图1，求∠MBC与∠EAC的度数？
（2）延长AC交直线MN于G，这时a =80°，如图2，GH平分∠AGB交DB于点H，问∠GHB是否为定值，若是，请求值．若不是，请说明理由？
【答案】（1）解：如图1，过C作CP∥EF．
∵EF∥MN，∴EF∥MN∥CP．
∵EF∥MN，∴∠NBD=180°－∠FDB=180°－120°=60°．
∵BD平分∠CBN，∴∠CBD=∠NBD=60°，∴∠MBC=180°－∠CBD－∠NBD=180°－60°－60°=60°．
∵CP∥MN，∴∠PCB=∠MBC=60°，∴∠ACP=∠ACB－∠BCP=90°－60°=30°．
∵EF∥CP，∴∠EAC=∠ACP=30°
（2）解：∠GHB为定值50°．理由如下：
∵∠CBN是△CBG的外角，∴∠BCG=∠CBN﹣∠AGB．
∵GH平分∠AGB，BD平分∠CBN，∴∠HGB∠AGB，∠DBN∠CBN．
∵∠DBN是△HGB的外角，∴∠GHB=∠DBN﹣∠HGB∠CBN∠AGB（∠CBN ﹣∠AGB）∠BCG（180°－80°）=50°，故∠GHB是定值50°．
【解析】【分析】（1）过C作CP∥EF，进而得到EF∥MN∥CP，根据平行线的性质，求出∠DBN的度数，进而求出∠MBC、∠EAC的度数；（2）根据∠CBN是△CBG的外角，
得到∠BCG=∠CBN﹣∠AGB．根据角平分线的定义得到∠HGB∠AGB，∠DBN
∠CBN．由三角形外角的性质得到∠GHB=∠DBN﹣∠HGB∠CBN∠AGB
（∠CBN﹣∠AGB）∠BCG，即可得出结论．
10．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝________；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD＝∠AOE，求∠BOD的度数？
【答案】（1）30
（2）解：∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOE＝∠COA，
∵∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线
（3）解：设∠COD＝x，则∠AOE＝5x．
∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，
∴5x+90°+x+60°＝180°，
解得x＝5°，
即∠COD＝5°．
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝5°+60°＝65°
∴∠BOD的度数为65°
【解析】【解答】（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，
又∵∠COB＝60°，
∴∠COE＝30°，
故答案为：30；
【分析】（1）根据角的和差，由∠COE=∠BOE-∠COB即可算出答案；
（2）根据角平分线的定义得出∠COE＝∠AOE＝∠COA，根据角的和差及平角的定义得出∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，根据等角的余角相等得出∠COD＝∠DOB，故 OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）设∠COD＝x，则∠AOE＝5x ，根据平角的定义得出5x+90°+x+60°＝180°，求解算出x的值，从而求出∠COD的度数，进而根据∠BOD＝∠COD+∠BOC 即可算出答案。

11．学习千万条，思考第一条。

请你用本学期所学知识探究以下问题：
（1）已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，并在
内部作射线．
①如图1，三角板的一边与射线重合，且，若以点为观察中心，射线表示正北方向，求射线表示的方向；
②如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且
，求的度数.
（2）已知点不在同一条直线上，，平分，平分，用含的式子表示的大小.
【答案】（1）解：①∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，
∴射线OC表示的方向为北偏东60°
②∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴4∠NOC＝90°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON
＝180°﹣90°﹣45°
＝45°
（2）解：①如图1：
∵∠AOB＝α，∠BOC＝β
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB＝α，∠CON＝∠BON＝∠COB＝β，
∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝；
②如图2，
∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝；
③如图3，
∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝．…
∴∠MON为或或．
【解析】【分析】（1）①根据∠MOC=∠AOC-∠AOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向；②根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（2）分射线OC在∠AOB 内部和外部两种情况讨论即可．
12．如图，∠AOB是平角，OD是∠AOC的角平分线，∠COE＝∠BOE．
（1）若∠AOC＝ 50 ，则∠DOE＝________ ；
（2）若∠AOC＝ 50 ，则图中与∠COD互补的角为________；
（3）当∠AOC的大小发生改变时，∠DOE的大小是否发生改变？为什么？
【答案】（1）
（2）∠BOD
（3）解：不发生改变，
设∠AOC＝2x .
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD ＝∠COD＝x，
∴∠BOC＝180 ̶2x，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE＝＝90 +x，
∴∠DOE＝90 +x ̶x＝90
【解析】【解答】（1）解：∵∠AOC=50 ，
∴∠BOC=180 130 ，
∵OD是∠AOC的角平分线，
∴∠AOD=∠COD=25 ，
∴∠COE＝∠BOE= ，
∴∠DOE=115 ；
故答案为：90
（ 2 ）解：由（1）知∠AOD=∠COD=25 ，
∴∠BOD=155 ，
∴图中与∠COD互补的角为∠BOD；
故答案为：∠BOD
【分析】（1）由∠AOC=50 ，得到∠AOD=∠COD=25 ，∠BOC=130 ，求得∠COE＝∠BOE=115 ．即可求出∠DOE；（2）由（1）得∠AOD=∠COD=25 ，则∠BOD=155 ，即可得到答案；（3）设∠AOC＝2x，则∠AOD ＝∠COD ＝x，得到∠COE=90 +x，即可得到∠DOE＝90 .。