黑龙江省哈尔滨市2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题(附答案)

2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（共30分）
1．﹣2的相反数是（）
A．2B．﹣2C．D．
2．下列运算正确的是（）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5
C．（a+b）2＝a2+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．如图的几何体其左视图是（）
A．B．
C．D．
5．如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝60°，则∠C的度数为（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
6．已知抛物线的解析式为，则该抛物线的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）
7．用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒，为使制成的盒身与盒底恰好配套，可设用x张铁皮制盒底，则可列方程为（）
A．2×15x＝45（150﹣x）B．15x＝2×45（150﹣x）
C．2×15（150﹣x）＝45x D．15（150﹣x）＝2×45x
8．方程的解为（）
A．x＝3B．x＝4C．x＝5D．x＝﹣5
9．已知反比例函数y＝（k≠0）经过点（2，5）和点（1，a），则a的值为（）A．2B．5C．10D．
10．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）
A．B．C．D．
二、填空题（共30分）
11．将59800000用科学记数法表示为．
12．函数y＝的自变量x的取值范围是．
13．分解因式：x3﹣2x2y+xy2＝．
14．不等式组的解集是．
15．计算：＝．
16．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝10，将△ABC绕点B顺时针旋转得
到△A1BC1（点A的对应点是点A1，点C的对应点是点C1），A1落在边BC上，连接AC1，则AC1的长为．
18．在△ABC中，AB＝AC，∠B的角平分线与AC边所夹锐角为60°，则∠A的度数为．19．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为．20．如图，矩形ABCD中，E为BC边上一点，DE交AC于点F，若∠BAC＝2∠DEC，CE ＝15，BE＝9，则线段ED的长为．
三、解答题（共60分）
21．先化简，再求代数式的值，其中．22．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A，B均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出一个以线段AB为一边的等腰△ABC，且△ABC为钝角三角形；
（2）在图中画一个△BCD，点D在小正方形的顶点上，tan∠CBD＝，且△BCD的面积等于14；
（3）连接AD，请直接写出AD的长．
23．为了解学生线上学习的需求，某校随机对本校的部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果，绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数．24．已知，在平行四边形ABCD中，点E、F在分别边BC、AD上，且BE＝DF，EH⊥CF 于点H，FG⊥AE于点G．
（1）求证：GE＝FH；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与∠AFG互余的所有角．
25．某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
26．如图，AB为⊙O直径，弦CD交AB于点E，G为上一点，连接CG交AB于点F，交AD于点H，连接DG，且∠AFH﹣∠GDH＝∠BAD．
（1）如图1，求证：AB⊥CD；
（2）如图2，若∠ADE＝2∠ADG，求证：＝；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝BF，AH＝10，求⊙O的半径．
27．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，连接AC，tan∠CAO＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，射线BP交y轴正半轴于点N，设点P的横坐标为t，线段ON的长为d，求d与t的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，过点F作直线FD⊥BP于点D，过点A作AH⊥x轴交直线DF于点H，连接PH交x轴于点E，点G为线段AC上一点，连接PG、GE，PG交y轴于点K，点M为PG延长线上一点，连接MH，延长HM、EG 交于点R，若PF＝AH，MR＝MG，HR＝，求K点的坐标．
参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故选：A．
2．解：A、原式＝a5，故A不符合题意．
B、原式＝a6，故B不符合题意．
C、原式＝a2+2ab+b2，故C不符合题意．
D、原式＝a2﹣b2，故D符合题意．
故选：D．
3．解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
4．解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：B．
5．解：∠A＝∠BOC＝×60°＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠A＝30°．
故选：B．
6．解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（2，1），故选：A．
7．解：设用x张铁皮制盒底，则把（150﹣x）张铁皮制盒身，根据题意得：2×15（150﹣x）＝45x．
故选：C．
8．解：，
方程两边都乘（3x﹣2）（x+1），得2（x+1）＝3x﹣2，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，（3x﹣2）（x+1）≠0，
所以x＝4是原方程的解，
即原方程的解是x＝4，
故选：B．
9．解：∵反比例函数y＝（k≠0）经过点（2，5）和点（1，a），∴k＝2×5＝a，
解得：a＝10．
故选：C．
10．解：A、∵AB∥CD，
∴＝，故本选项不符合题目要求；
B、∵AE∥DF，
∴△CEG∞△CDH，
∴＝，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，故本选项不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF＝DE，
∵AE∥DF，
∴，
∴＝，故本选项不符合题目要求；
D、∵AE∥DF，
∴△BFH∞△BAG，
∴，故本选项符合题目要求；
故选：D．
二、填空题（共30分）
11．解：59800000＝5.98×107．
故答案为：5.98×107．
12．解：由题意可知：x+2≠0，
解得：x≠﹣2；
所以，函数y＝的自变量x的取值范围是x≠﹣2．13．解：x3﹣2x2y+xy2，
＝x（x2﹣2xy+y2），
＝x（x﹣y）2．
故答案为：x（x﹣y）2．
14．解：解不等式≤1，得：x≥1，
解不等式3x+2≥1，得：x≥﹣，
∴不等式组的解集为x≥1．
故答案为：x≥1．
15．解：原式＝2×﹣2＝﹣2＝﹣．故答案为：﹣
16．解：设扇形的半径为Rcm，
∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，
∴＝3π，
解得：R＝4，
所以此扇形的面积为＝6π（cm2），
故答案为：6π．
17．解：过C1作AB的垂线交AB延长线于C1，
∵∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝10，
∵BD＝BC，
由旋转性质得：BC＝BC1，
∴BD＝5，AD＝BD+AB＝11，
∴CD＝＝5，
∴AC1＝＝14．
故答案为：14．
18．解：设∠B的角平分线交AC于点E，当∠BEC＝60°时，如图1，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A），
∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），∵∠ABE+∠A＝∠BEC，
∴（180°﹣∠A）+∠A＝60°，
∴∠A＝20°；
当∠AEB＝60°时，如图2，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A），
∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），
∵∠ABE+∠A+∠BEC＝180°，
∴（180°﹣∠A）+∠A+60°＝180°，
∴∠A＝100°，
综上所述，∠A的度数为20°或100°．
19．解：∵AD为BC边上的高，
∴△ABD为Rt△ABD，
在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，AD＝6，
∴BD＝＝＝6，
如图1所示，当点D在BC上时，
BC＝BD+CD＝6+1＝7，
如图2所示，当点D在BC的延长线上时，
BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，
故答案为：7或5．
20．解：延长DC至G，DC＝CG，连接EG，作DH⊥EG，如图，
，
设AB＝a，则DC＝CG＝a，
∵DC＝CG，CE⊥DG，
∴∠GEC＝∠DEC，EG＝ED，
∴∠BAC＝∠GED，
∵S，EG＝ED，
∴，
在Rt△ECD中，DE＝，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，
在Rt△EDH中，sin∠GED＝，
∵∠BAC＝∠GED，
∴sin∠BAC＝sin∠GED，
∴，
化简整理得：a4﹣800a2﹣90000＝0，
解得：a＝10，
在Rt△ECD中，DE＝＝5，
故答案为5．
三、解答题（共60分）
21．解：
＝
＝﹣
＝
＝﹣，
当＝2×﹣2×＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．
22．解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）如图，△BCD即为所求．
（3）AD＝＝4．
23．解：（1）18÷20%＝90（人），90﹣24﹣18﹣12＝36（人），
答：调查的学生总人数是90人，补全条形统计图如图所示：
（2）360°×＝48°，
答：扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数为48°；
（3）2100×＝560（人），
答：该校2100名学生中对“在线阅读”最感兴趣的大约有560人．
24．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD：DF＝BC：BE，
∴AF＝CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形
∴AE∥CF，
∴∠AEH+∠FHE＝180°，
∵EH⊥CF，FG⊥AE，
∴∠FGE＝∠FHE＝∠GEG＝90°，
∴四边形EHFG为矩形，
∴GE＝FH；
（2）∵GF⊥AE，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∵AD∥BC，AE∥FC，
∴∠AEB＝∠GAF，∠HCE＝∠CFD＝∠GAF，
与∠AFG互余的角有：∠F AG、∠AEB、∠DFC、∠FCB．
25．解：（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为（x+4）元，根据题意得：，
解得：x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，当x＝8时x+4＝12，
答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元．
（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得．
8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，
y≥140，
∴y最小值是140；
答：这所中学今年至少要购买140本文学书．
26．（1）证明：如图（1），连接AC、AG，
∵∠AFH﹣∠GDH＝∠BAD，即∠AFH＝∠BAD+∠GDH，
∴∠AFH+∠BAD＝2∠BAD+∠GDH，
∵∠AFH+∠F AH＝∠HGD+∠GDH，
∴∠HGD＝2∠BAD，
∵∠HGD＝∠CAD，
∴2∠BAD＝∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB，
∴，
∴AB⊥CD．
（2）证明：由（1）得：，
∴，
∴∠ADE＝∠ACD，
∵∠ADE＝2∠ADG，
∴∠ACD＝2∠ADG，
∵∠ADG＝∠ACG，∠ACD＝∠ACG+∠GCD，
∴∠ACD＝∠GCD，
∴．
（3）解：连接AC、BC、BG、BD、AG，作HN⊥AG于点N，
∵，，
∴∠GCD＝∠GBD＝∠ABG＝∠ADG，∠CGB＝∠CDB＝∠BAD＝∠BGD，
∴∠ABD＝∠ACD＝∠ADC＝∠AGC，
∵∠FCB＝∠GCD+∠BCD，∠F AG＝∠BAD+∠DAG，∠AFG＝∠CFB＝∠ABG+∠CGB，∴∠FCB＝∠F AG＝∠AFG＝∠CFB，
∴BF＝BC，AG＝FG，
∵AF＝BF，
设AF＝4k，BF＝6k，则：AB＝10k，BC＝BF＝BD＝6k，
∴AD＝，
∴tan∠ABD＝，
∴，
∵BD＝6k，ED2+EB2＝DB2，
∴ED＝EC＝，EB＝，
∴EF＝，
∴tan∠FCE＝，
∴tan∠NAH＝，tan∠NGH＝，
∵AH＝1，
解直角三角形ANH和直角三角形GNH，得，AN＝4，HN＝2，NG＝，∴AG＝AN+NG＝，
∵tan∠ABG＝tan∠FCE＝，
∴BG＝11，
∴AB2＝AG2+BG2＝（）2+（11）2＝，
∴AB＝，
∴⊙O的半径为．
27．解：（1）在y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）中，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），
∴OA＝1，
在直角△AOC中，tan∠CAO＝＝2，
∴OC＝2，由已知a＜0，
∴C（0，2），代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵点P的横坐标为t，
∴P纵坐标为﹣t2+t+2，
设直线BP的解析式为y＝mx+n，则，解得，
∴直线BP的解析式为y＝﹣x+2t+2，
令x＝0得y＝2t+2，
∴N（0，2t+2），
∵线段ON的长为d，N在y轴正半轴，
∴d＝2t+2，
（3）延长GE到G'，使EG'＝EG，连接HG'，如图：
设P（m，﹣m2+m+2），则F（m，0），
∴PF＝﹣m2+m+2，BF＝4﹣m，AF＝m+1，
∵PF⊥x轴，FD⊥BP，AH⊥x轴，
∴∠AFH＝∠DFB＝90°﹣∠PFD＝∠FPB，
∴tan∠AFH＝tan∠FPB，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝2，H（﹣1，﹣2），
∴PF＝AH＝2，即y P＝2，
在中，令y＝2得x＝0（与C重合，舍去）或x＝3，∴P（3，2），
∵∠AEH＝∠FEP，∠HAE＝∠PFE＝90°，AH＝PF，
∴△AEH≌△FEP（AAS），
∴PE＝HE，
∵∠GEP＝∠G'EH，GE＝G'E，
∴△GEP≌△G'EH（SAS），
∴PG＝G'H，∠G'＝∠PGE，
∵MR＝MG，
∴∠R＝∠MGR，
∴∠R＝∠MGR＝∠PGE＝∠G'，
∴HR＝G'H，
∴PG＝HR，
∵HR＝，
∴PG＝，
由A（﹣1，0），C（0，2）可得直线AC解析式为y＝2x+2，
设G（n，2n+2），而P（3，2），
∴（n﹣3）2+（2n+2﹣2）2＝（）2，
解得n＝﹣或n＝（G在二象限，舍去），
∴G（﹣，1），
由P（3，2），G（﹣，1）得直线PG的解析式为，∵点K是直线PG和y轴的交点，当x＝0时，y＝，
∴点K坐标为．。