2019_2020学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算课件新人教A版选修1_2

＝a－2＋（52a＋1）i是纯虚数，所以 a＝2.
2．计算： (1)（1＋2i）22＋＋i3（1－i）；(2)（1－4i）（3＋1＋4ii）＋2＋4i.
解：(1)（1＋2i）22＋＋i3（1－i）＝－3＋24＋i＋i 3－3i ＝2＋i i＝i（25－i） ＝15＋25i.
（1－4i）（1＋i）＋2＋4i
(2)
3＋4i
＝5－33i＋＋42i＋4i＝37＋＋4ii
＝（（37＋＋4ii））（（33－－44ii））＝21－282i5＋3i＋4＝25－2525i＝1－i.
3．计算：(1)（21＋－2i）i 2＋1＋2i2
016
；
(2)i＋i2＋…＋i2 017.
解：(1)原式＝2（－1＋2ii）＋22i1 008
纯虚数的是( A．i(1＋i)2 C．(1＋i)2
1.(2017·高考全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为 ) B．i2(1－i) D．i(1＋i)
解析：选 C.i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除 A；i2(1－ i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数，排除 B；(1＋i)2＝2i，2i 是纯虚数．故选 C.
－
若把本例(2)条件改为(1＋2i)z＝4＋3i，求
z z
.
解：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
则(1＋2i)(x＋yi)＝4＋3i，
得x2－x＋2yy＝＝43，，解得xy＝＝－2，1，
所以 z＝2－i.
所以－zz ＝22＋－ii＝35＋45i.
处理与共轭复数有关问题的思路 当已知条件为含有一个或多个复数 z(或其共轭复数)的等式时， 常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数 问题求解．
2 ． 设 复 数 a ＋ bi(a ， b ∈ R) 的 模 为 3 ， 则 (a ＋ bi)(a － bi) ＝ ________．
解析：因为复数 a＋bi(a，b∈R)的模为 3， 即 a2＋b2＝ 3， 所以(a＋bi)(a－bi)＝a2－b2i2 ＝a2＋b2＝3. 答案：3
3．计算：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)； (2)i＋2i2＋3i3＋…＋100i100.
①1i ＝－i；②11－ ＋ii＝i；③11－ ＋ii＝－i；④a＋bi＝i(b－ai)． [提醒] 除数是虚数的复数的除法是将分子、分母同乘以分母 的共轭复数，再按复数的乘法进行运算，最后化简．
1.若复数1a－＋2ii是纯虚数，则实数 a 的值为(
)
A．2
B．－12
C．15
D．－25
解析：选 A.因为1a－＋2ii＝（（1a－＋2ii））（（11＋＋22ii））
(2)复数乘法的运算律
对任意复数 z1、z2、z3∈C，有
交换律
z1·z2＝__z_2·_z_1 __
结合律
(z1·z2)·z3＝___z_1·_1(z2＋z3)＝__z_1_z_2＋__z_1_z3__
2．共轭复数 (1)如果两个复数满足实部_相__等___，虚部___互__为__相__反__数___时，称 这两个复数互为共轭复数．z 的共轭复数用－z 表示，即 z＝a＋ bi(a，b∈R)，则－z ＝a－bi. (2)复数与共轭复数的乘法性质 z－z ＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2. 3．复数的除法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)， 则zz12＝ac＋＋dbii＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－＋add2 i.
探究点 2 共轭复数
(1)已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若 a－i 与 2＋bi 互为
共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i
B．5＋4i
C．3－4i
D．3＋4i
(2)(2018·兰州高二检测)把复数 z 的共轭复数记作－z ，已知(1＋
2i) －z ＝4＋3i，求 z.
【解】 (1)选 D.因为 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数， 所以 a＝2，b＝1， 所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则－z ＝a－bi， 由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数 相等的定义知，a2＋ a－2bb＝ ＝43， . 得 a＝2，b＝1， 所以 z＝2＋i.
探究点 3 复数的除法
(1)在复平面内，复数－3－2＋4i3i(i 是虚数单位)所对应的点
位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)计算：①23－＋32ii－23＋－32ii；
②（11＋－ii）7＋（11－＋ii）7－（3－4i）4＋（32i ＋2i）3.
【解】 (1)选 B.因为－3－2＋4i3i＝（（－3－2＋4i3）i）（（3＋3＋4i4）i） ＝－1285＋i＝－1285＋215i， 所以该复数对应的点为－1285，215，位于第二象限．故选 B. (2)①32＋－23ii－32－＋23ii ＝（3＋2i）（（2＋2－3i3）i）－（（2＋3－3i2）i）（2－3i） ＝6＋13i－46－＋69＋13i＋6＝2163i＝2i.
2．已知 z∈C，－z 为 z 的共轭复数，若 z·－z －3i－z ＝1＋3i，求 z.
解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则－z ＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即 a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i， 则有a－2＋3ab＝2－3，3b＝1， 解得ab＝＝－0 1，或ab＝＝－3. 1， 所以 z＝－1 或 z＝－1＋3i.
＝i(1＋i)＋(－i)1 008
＝i＋i2＋(－1)1 008·i1 008
＝i－1＋i4×252
＝i－1＋1
＝i.
(2)法一：原式＝i（1－1－i2i017）＝i－1－i2 0i18 ＝i－（i14－）i504·i2＝1i＋－1i ＝（（11＋－ii））（（11＋＋ii））＝22i＝i. 法二：因为 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝in(1＋i＋i2＋i3)＝0(n∈N*)， 所以原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋ i2 015＋i2 016)＋i2 017 ＝i2 017＝(i4)504·i＝1504·i＝i.
1．对复数乘法的两点说明 (1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类 似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2 换成 －1)． (2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法 公式也适用．
2．对复数除法的两点说明 (1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数化简后即得结果， 这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有 理化”很类似． (2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． 3．共轭复数的注意点 (1)结构特点：实部相等，虚部互为相反数． (2)几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对 称．
②
原
式
＝
[(1
＋
i)2]3
·
1＋i 1－i
＋
[(1
－
i)2]3
·
1－i 1＋i
－
8（3－4i）（1＋i）2（1＋i） （3－4i）i
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i（i 1＋i）
＝8＋8－16－16i＝－16i.
复数除法运算法则的应用 (1)复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母 与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同 时乘以 i)． (2)对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简 单的算式要知道其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化， 达到快速、简捷、出错少的效果．比如下列结果，要记住：
【解析】 (1)因为(3i－1)i＝3i2－i＝－3－i， 所以复数(3i－1)i 的虚部为－1，故选 D. (2)由(2＋ai)(a－2i)＝－4i，得 4a＋a2i＝0， 即 a＝0，故选 B.
(3)－12＋
3
2
i

23＋12i(1＋i)

＝－

43－
43＋34－14i(1＋i)
答案：－1 1
探究点 1 复数代数形式的乘法运算
(1)复数(3i－1)i 的虚部是( )
A．1
B．－3
C．3
D．－1
(2)若 a 为实数且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则 a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
(3)－12＋
3
2
i

23＋12i(1＋i)＝________．
解：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.
(2)设 S＝i＋2i2＋3i3＋…＋100i100，① 所以 iS＝i2＋2i3＋…＋99i100＋100i101，② ①－②得 (1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i100－100i101 ＝i（11－－i1i00）－100i101＝0－100i＝－100i. 所以 S＝－1－100i i＝（－1－100i）i（（1＋1＋i）i）＝－100（2－1＋i）＝50－ 50i. 所以 i＋2i2＋3i3＋…＋100i100＝50－50i.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．( ) (2)两个共轭复数的和与积是实数．( ) (3)两个共轭复数在复平面上的对应点关于实轴对称．( ) (4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
(2017·高考全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝( )

＝－

23＋12i(1＋i)＝－
23－12＋12－
3
2
i

＝－1＋2
3＋1－2
3 i.
【答案】
(1)D
(2)B
(3)－1＋2
3＋1－2
3 i
复数乘法运算法则的应用 (1)复数的乘法运算可以把 i 看作字母，类比多项式的乘法进行， 注意要把 i2 化为－1，进行最后结果的化简． (2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式 更简便．例如平方差公式、完全平方公式等．
A．1－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．3＋3i
解析：选 B.依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i，选 B.
11＋－3ii＝(
)
A．1＋2i
B．－1＋2i
C．1－2i 答案：B
D．－1－2i
若 x－2＋yi 和 3x－i 互为共轭复数，则实数 x＝________，y
＝________．
第三章 数系的扩充与复数的引入
3．2.2 复数代数形式的乘除运算
第三章 数系的扩充与复数的引入
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2.理解复数乘 法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3.理解共轭复数的概念．
1．复数乘法的运算法则和运算律
(1)复数的乘法法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i__．
1.记复数 z 的共轭复数为－z ，若－z ·(1－i)＝2i(i
为虚数单位)，则复数 z 在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 C.设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则－z ＝x－yi， 又－z ·(1－i)＝2i， 所以(x－yi)·(1－i)＝2i， 即(x－y)－(x＋y＋2)i＝0， 所以xx－＋yy＝＋02，＝0，解之得 x＝y＝－1， 即 z＝－1－i， 故复数 z 在复平面内所对应的点位于第三象限．
1．复数 z＝i(1＋i)2(i 为虚数单位)的共轭复数是( )
A．－2
B．2
C．2i
D．－2i
解析：选 A.因为 z＝i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i·2i＝－2，所以 －z ＝－2.
2．已知复数1＋1 ai－1＋2a2i 是实数，则实数 a＝(
)
A．2
B．12
C．－2
D．－12
解析：选 C.1＋1 ai－1＋2a2i＝11＋－aa2i－1＋2a2i＝1＋1a2＋－1＋2－a2ai，因