2018届人教A版(文) 数列求和 检测卷

第4讲数列求和
一、选择题
1.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.25 解析
1524
2451,5551522a a a a a a S ++==⇒=
⨯=⨯=.
答案 B
2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )． A ．15
B ．12
C ．－12
D ．－15
解析 设b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以
a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－
b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15. 答案 A
3．在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 013
2 014，则项数n 为( )．
A ．2 011
B ．2 012
C ．2 013
D ．2 014
解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1
＝2 013
2 014，解得n ＝2
013. 答案 C
4．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )． A ．3 690
B ．3 660
C ．1 845
D ．1 830
解析 当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1， 当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3， ∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61.
∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30×(3＋119)
2
＝30×61＝1 830.
答案 D
5. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1
n
(a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }
的前10项和T 10＝( ) A ．70 B ．75 C ．80 D ．85
解析由已知a n ＝2n ＋1，得a 1＝3，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3＋2n ＋1
2
＝n(n ＋
2)，
则b n ＝n ＋2，T 10＝10 3＋12
2
＝75，故选B .
答案 B
6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1
2(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )． A.212
B ．6
C ．10
D ．11
解析 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝1
2，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×1
2＋1＝6，故选B. 答案 B 二、填空题
7．在等比数列{a n }中，若a 1＝1
2，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝1
2×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋
|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－1
2. 答案 －2 2
n －1
－12
8．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝________.
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，
又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4
n －1
. ∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列．
∴a 2
1
＋a 22
＋…＋a 2
n ＝1· 1－4n 1－4＝13
(4n －1)．
答案
13
(4n
－1) 9．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4
a 1
＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ， 所以
1
b n b n ＋1
＝
1n n ＋1 ＝1n －1
n ＋1
.
则S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n
n ＋1.
答案
n n ＋1
10．设f (x )＝4x 4x ＋2，利用倒序相加法，可求得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1011的值为
________． 解析
当
x 1＋x 2＝1
时，f (x 1)＋f (x 2)＝
4x 14x 1＋2＋4x 2
4x 2＋2
＝
2×4x 1＋x 2＋2×(4x 1＋4x 2)
4x 1＋x 2＋(4x 1＋4x 2)×2＋4
＝1.
设S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011，倒序相加有2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋
⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
111＝10，即S ＝5. 答案 5 三、解答题
11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1
＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.
(1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n
.
解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，
b n ＝q n －1.
依题意有⎩⎨⎧
S 2b 2＝ 6＋d q ＝64，
S 3b 3＝ 9＋3d q 2
＝960，
解得⎩⎨
⎧
d ＝2，q ＝8
或⎩⎪⎨
⎪⎧
d ＝－6
5，q ＝403.
(舍去)
故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，
所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1
n n ＋2
＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －
1n ＋2 ＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋12－
1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋3
2 n ＋1 n ＋2
. 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝1
2S n (n ＝1,2,3，…)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 3
2(3a n ＋1)时，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n . 解
(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
a n ＋
1＝1
2S n ，
a n ＝1
2S n －
1(n ≥2)，
得到a n ＋1＝3
2a n (n ≥2)．
∴数列{a n }是以a 2为首项，以3
2为公比的等比数列． 又a 2＝12S 1＝12a 1＝1
2，
∴a n ＝a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －
2(n ≥2)．
又a 1＝1不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，n ＝1，12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2
，n ≥2.
(2)b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32⎣⎢⎡⎦⎥⎤32·
⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝n . ∴
1b n b n ＋1＝1n (1＋n )＝1n －11＋n
. ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4
＋…＋1b n b n ＋1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －11＋n
＝1－
11＋n ＝n
n ＋1
. 13．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n
3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项；
(2)设b n ＝n
a n
，求数列{b n }的前n 项和S n .
思维启迪：(1)由已知写出前n －1项之和，两式相减．(2)b n ＝n ·3n 的特点是数列{n }与{3n }之积，可用错位相减法． 解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3， ①
∴当n ≥2时， a 1＋3a 2＋32
a 3＋…＋3
n －2
a n －1＝n －13，
②
①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝1
3n .
在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝1
3n .
(2)∵b n ＝n
a n
，∴b n ＝n ·3n .
∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ， ③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.
④
④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )， 即2S n ＝n ·3
n ＋1
－3(1－3n )1－3
，∴S n ＝(2n －1)3n ＋14＋3
4.
探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n －1a n }的前n 项和，从而利用a n 与S n 的关系求出通项3n －1a n ，进而求得a n ；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养． 14．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 …
已知表中的第一列数a 1，a 2，a 5，…构成一个等差数列，记为{b n }，且b 2＝4，b 5＝10.表中每一行正中间一个数a 1，a 3，a 7，…构成数列{c n }，其前n 项和为S n .
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a 13＝1. ①求S n ；
②记M ＝{n |(n ＋1)c n ≥λ，n ∈N *}，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围．
解 (1)设等差数列{b n }的公差为d ， 则⎩⎨⎧ b 1＋d ＝4，b 1＋4d ＝10，解得⎩⎨⎧
b 1＝2，
d ＝2， 所以b n ＝2n .
(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q .
由于前n 行共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，且32<13<42，a 10＝b 4＝8，
所以a 13＝a 10q 3
＝8q 3
，又a 13＝1，所以解得q ＝1
2.
由已知可得c n ＝b n q
n －1
，因此c n ＝2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1
＝n 2
n －2. 所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝
12－1＋220＋321＋…＋n 2
n －2， 12S n ＝120＋221＋…＋n －12n －2＋n
2
n －1， 因此12S n ＝12－1＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n
2n －1＝4－n ＋22n －1，
解得S n ＝8－n ＋2
2
n －2.
②由①知c n ＝n
2n －2，不等式(n ＋1)c n ≥λ，可化为n (n ＋1)
2
n －2≥λ.
设f (n )＝n (n ＋1)
2
n －2，
计算得f (1)＝4，f (2)＝f (3)＝6，f (4)＝5，f (5)＝15
4. 因为f (n ＋1)－f (n )＝
(n ＋1)(2－n )
2n －
1
， 所以当n ≥3时，f (n ＋1)<f (n )．
因为集合M 的元素个数为3，所以λ的取值范围是(4,5].。