云南省玉溪市一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题(含答案)

玉溪一中2018-2019学年上学期高二年级期中考试
文科数学试卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M ={x |2x ≤1}，N ={x |-2≤x ≤2}，则=N M C R （ ）
A ．[-2，1]
B ．[0，2]
C ．（0，2]
D ．[-2，2]
2．“x >2”是“062>-+x x ”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知3.0log 2=a ，b =20.3，c =0.32，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）
A ．b >c >a
B ．b >a >c
C ．a >b >c
D ．c >b >a
4．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的
概率是（ ）
A ．
25
B ．
35
C ．
23
D ．
15
5．已知高一（1）班有48名学生，班主任将学生随机编号为01，02，……，48，用系统抽样方法，从中抽8人.若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（ ） A ．16 B ．22 C ．29 D ．33 6．直线2x +3y -9=0与直线6x +my +12=0平行，则两直线间的距离为（ ）
A ．
2113
13
B 13
C ．21
D ．13
7．某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为
正方形，且
边长为1，则该几何体的体积为（ ）
A ．8π
B ．
323
π
C ．
283
π
D ．12π
8．在△ABC 中，2,0CM MB AN CN =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r
，则（ ）
A ．2136MN A
B A
C =+uuu r uu u r uuu r
B ．2736MN AB A
C =+uuu r uu u r uuu r
C ．1263MN AC AB =-uuu r uuu r uu u r
D ．7263
MN AC AB =-uuu r uuu r uu u r
9．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内
可填入的条件是( )
A ．s ≤2524？
B ．s ≤56？
C ．s ≤1112？
D ．s ≤3
4？
10.已知a ，b ∈R ，且063=+-b a ，则1
28a b
+
的最小值为（ ） A ．
14 B ．4
C ．52
D ．3
11．已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是边长为2的正方形，且P A ⊥面
ABCD ，若四棱锥的体积为
16
3
，则该球的体积为（ ） A ．6π B ．6π
C ．24π
D ．6π
12．定义在R 上的奇函数f （x ）满足：[)[)⎪⎩
⎪⎨⎧+∞∈--∈-=,1,131,0,12)(x x x x f x ，则函数）（1
0)()(<<-=a a x f x g 的所有零点之和为（ ） A ．12-a
B ．)1(log 2-a
C ．)1(log 2+a
D ．12
--a
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．在等比数列{a n }中，已知246a a a =8，则35a a =__________
14． 已知变量x,y 满足约束条件1
330x y x y x +≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数z=2x -y 的最大值是________
15．将函数f （x ）=sin (-2x )的图象向左平移
6
π
个长度单位，得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）的单调递减区间是__________
16．由直线x +2y -7=0上一点P 引圆x 2+y 2-2x +4y +2=0的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为
__________
二．解答题:共6小题,共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17．(本小题满分10分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2acosC =bcosC +ccosB ． （1）求角C 的大小； （2）若c
，a 2+b 2=10，求△ABC 的面积．
18．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样
本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的
统计表和频率分布直方图如下： （1）求出表中M ，p 及图中a 的值；
（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有基本事件，并求至多1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．
19．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC C B A '''-中,⊥AD 平面BC A ',其垂足D 在直线
B A '上.
（1）求证:B A BC '⊥；
（2）若,2,3===AB BC AD P 为AC 的中点,求P 到平面BC A '的距离.
20．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝n a 2-1a ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）记数列{1
a n
}的前n 项和为T n ，求证：≤2
1T n ＜1．
21．(本小题满分12分)已知圆C 经过原点O （0，0）且与直线y =2x -8相切于点P （4，0）．
（1）求圆C 的方程；
（2）已知直线l 经过点（4, 5），且与圆C 相交于M ，N 两点，若|MN|=2，求出直线l 的方程．
22．(本小题满分12分)已知)22(log 2)(,log )(-+==t x x g x x f a a ,(0,1,)a a t R >≠∈. （1）若)2()1(g f =，求t 的值；
（2）当[]4,1,2t x =∈，且)()()(x f x g x F -=有最小值2时，求a 的值； （3）当[]01,1,2a x <<∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围.
玉溪一中2018-2019学年上学期高二年级期中考试
文科数学试卷答案
二、填空题
13． 4 14．2
15．5,1212k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
Z k ∈ 16．17
二．解答题（共6小题）
17．解：（1）∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2acosC =bcosC +ccosB ， ∴2sinAcosC =sinBcosC +sinCcosB ，
∵A +B +C =π，∴2sinAcosC =sin （B +C ）=sinA ， ∴cosC =，∵0＜C ＜π，∴∠C =．（5分） （2）∵c =
，a 2+b 2=10，
，
∴由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，
即7=10﹣ab ，解得ab =3，
∴△ABC 的面积S =
=
=
．（10分）
18． 解：（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，所以M =40．
因为频数之和为40，所以
．
因为a 是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以
．（4分）
（2）因为该校高三学生有360人，分组[15，20）内的频率是0.625，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.625=225人．（7分）
（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+2=5人
设在区间[20，25）内的人为{a 1，a 2，a 3}，在区间[25，30）内的人为{b 1，b 2}．
A'
B'
C
P
D
则任选2人共有（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）10种情况，（9分） 而两人都在[20，25）内共有（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3）3种情况， 至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率为．（12分）
19.解：
（4分）
则P 到平面BC
A '距离为2
3
3d =
=
'∆'-BC
A BC A p S V （12分） 20．解： (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.
又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.
所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n .（6分）
(2)由(1)得1a n
＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12[1－（
12）n ]1－12
＝1－1
2n .
由1－12n .在自然数集上递增，可得n =1时取得最小值2
1，
且1－1
2n ＜1， 则2
1
≤T n ＜1．（12分） 21．解：（1）由已知，得圆心在经过点P （4，0）且与y =2x ﹣8垂直的直线上，
它又在线段OP 的中垂线x =2上， 所以求得圆心C （2，1），半径为．
所以圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=5．（6分） （2）①当直线l 的斜率存在时，
设直线l 的方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=.
因为|MN|=2，圆C 的半径为
，所以圆心到直线的距离
d=2
2=,解得34k =
，所以直线3
24
y x =-, ②当斜率不存在时，即直线l:x=4，符合题意 综上直线l 为3
24
y x =-或x=4（12分）
23．解：（1）)2(log 20)2()1(t g f a +=∴=
12=+∴t 即1-=t （2分）
（2）
4t =，
24(1)1()()()2log (22)log log log 4(2)a a a a x F x g x f x x x x x x
+=-=+-==++
又
1
y x x
=+
在[]1,2x ∈单调递增， ∴当时1>a []216log )(2,1)(min ==∴∈a x F x x F 也单调递增在，解得4=a
当时1
0<<a []
218log )(2,1)(min ==∴∈a x F x x F 也单调递减在， 解得2318==a （舍去） 所以4=a
（7分）
(3）)()(x g x f ≥，即)22(log 2log -+≥t x x a a 2
)22(log log -+≥∴t x x a a
[]2,1,10∈<<x a ，2)22(-+≤∴t x x ，22-+≤∴t x x ，t x x ≤+-∴22，
t x x ≤+-∴22，依题意有t x x ≤+-max )22(
而函数8
17
)41(2222+--=+-=
x x x y
因为[]
[]
2,1,
2,1∈∈x x ，1max =y ，所以1≥t .（12分）。