上海市金山区高三数学上学期期末考试试题沪教版

金山区2012学年第一学期期末考试
高三数学试卷（一模）
(满分：150分，完卷时间：120分钟)
（答题请写在答题纸上）
一、填空题(本大题共有14小题，满分56分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数f (x )=3x –2的反函数f
–1
(x )=________．
2．若全集U =R ，集合A ={x | –2≤x ≤2}，B ={x | 0<x <1}，则A ∩U B = ． 3．函数)3
2sin(π
+
=x y 的最小正周期是_________．
4．计算极限：22
22
lim()1
n n n n →∞-++= ． 5．已知),1(x =，)2,4(=，若⊥，则实数=x _______．
6．若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是 ． 7．在6
2()x x
-的二项展开式中，常数项等于 ．(用数值表示) 8．已知矩阵A =1234⎛⎫
⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫
⎪⎝⎭
，计算：AB = ． 9．若直线l ：y=kx 经过点)3
2cos ,32(sin
π
πP ，则直线l 的倾斜角为α = ． 10．A 、B 、C 三所学校共有高三学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取_________人．
11．双曲线C ：x 2
– y 2
= a 2
的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2
=16x 的准线交于
A 、
B 两点，34||=AB ，则双曲线
C 的方程为__________．
12．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m ，第二次出现的点数记为n ，方程组
⎩
⎨
⎧=+=+2323
y x ny mx 只有一组解的概率是_________．（用最简分数表示） 13．若函数y=f (x ) (x ∈R )满足：f (x +2)=f (x )，且x ∈[–1, 1]时，f (x ) = | x |，函数
y=g (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0, +∞)时，g (x ) = log 3 x ，则函数y=f (x )的图像
与函数y=g (x )的图像的交点个数为_______．
14．若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，点
N (0, 3)，则线段MN 长度的最小值是 ．
二、选择题(本大题有4题，满分20分) 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律的零分． 15．若
11
0a b
<<，则下列结论不正确的是 （ ） (A) 2
2
a b < (B) 2
ab b < (C)
2b a a b +> (D) 1<a
b
16．右图是某程序的流程图，则其输出结果为( )
(A) 20112010 (B) 20111
(C) 20122011 (D) 2012
1
17．已知f (x )=x 2
–2x +3，g (x )=kx –1，则“| k |≤2”是“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”的 （ ）
(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
18．给定方程：1
()sin 102
x
x +-=，下列命题中：(1) 该方程没有小于0的实数解；(2) 该方程有无数个实数解；(3) 该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解；(4) 若x 0是该方程的实数解，则x 0>–1．则正确命题的个数是 （ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
三、解答题（本大题共有5个小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）
已知集合A ={x | | x –a | < 2，x ∈R }，B ={x |21
2
x x -+<1，x ∈R }． (1) 求A 、B ；
(2) 若B A ⊆，求实数a 的取值范围．
20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数()sin(2)sin(2)233
f x x x x m π
π
=+
+--，x ∈R ，且f (x )的最大值为1．
(1) 求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；
(2) 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ，若()1f B =a b c =+，试判断
△ABC 的形状．
21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数]2,0(,2)(2∈+-=
x x
a
x x x f ，其中常数a > 0． (1) 当a = 4时，证明函数f (x )在]2,0(上是减函数； (2) 求函数f (x )的最小值．
22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、
OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q
两点．
(1) 求该椭圆的标准方程；
(2) 若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；
(3) 设直线l 与圆O ：x 2
+y 2
=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈[4,，求△
B 2PQ 的面积S 的取值范围．
23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知数列{a n }满足7
6
1-
=a ，12110n n a a a a +++++-λ=L (其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N*)，n S 为数列{a n }的前n 项和．
(1) 若312
2a a a ⋅=，求λ的值；
(2) 求数列{a n }的通项公式n a ； (3) 当1
3
λ=
时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．
金山区2012学年第一学期高三期末考试试题评分标准
一、填空题 1．
2
3x +(定义域不写不扣分) 2．{x |–2≤x ≤0或1≤x ≤2} 3．π 4．2 5．–2 6．2
1
7．–160 8．1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭
9．
56π
10．40 11．14422=-y x 12．
18
17
13．4 14．24- 二、选择题
15．D 16．C 17．A 18．C 三、简答题
19．解：(1) 由| x –a | < 2，得a –2<x <a +2，所以A ={x | a –2<x <a +2}………………………3分 由
212x x -+<1，得3
2
x x -+<0，即 –2<x <3，所以B ={x |–2<x <3}．…………………………6分 (2) 若A ⊆B ，所以22
23
a a -≥⎧⎨
+≤⎩，…………………………………………………………10分
所以0≤a ≤1．………………………………………………………………………………12分 20．解：(1)=)(x f m x x -+2cos 32sin 2sin(2)3
x m π
=+
- ……………………3分
因为max ()2,f x m =-所以1m =，…………………………………………………………4分 令–2π+2k π≤2x +3π≤2
π
+2k π得到：单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+(k ∈Z ) (6)
分
( 无(k ∈Z )扣1分 )
(2) 因为()1f B =
，则2sin(2)113
B π+-=，所以6B π
=………………8分
b c =+sin sin A B C =+15sin(
)26
A A π
=+- 化简得1sin()62
A π-=，所以3A π
=，…………………………………………………12分
所以2
C π
=
，故△ABC 为直角三角形．…………………………………………………14分
21．解：(1) 当4=a 时，24
)(-+
=x
x x f ，…………………………………………1分 任取0<x 1<x 2≤2，则f (x 1)–f (x 2)=1212
44x x x x +--212121)
4)((x x x x x x --= (3)
分
因为0<x 1<x 2≤2，所以f (x 1)–f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)………………………………………5分
所以函数f (x )在]2,0(上是减函数；………………………………………………………6分 (2)2)(-+=x
a
x x f 22-≥a ，……………………………………………………7分 当且仅当a x =时等号成立，…………………………………………………………8分
当20≤<
a ，即40≤<a 时，)(x f 的最小值为22-a ，………………………10分
当2>a ，即4>a 时，)(x f 在]2,0(上单调递减，…………………………………11分 所以当2=x 时，)(x f 取得最小值为
2a
，………………………………………………13分 综上所述：⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-=.
42
,
4022)(min
a a a a x f ………………………………………14分
22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ,右焦点为)0,(2c F .
因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b …………1分
在Rt △AB 1B 2中，122
4AB B S b ∆==，从而202
2
2
=+=c b a .………………3分
因此所求椭圆的标准方程为：
22
1204
x y += …………………………………………4分 (2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：
2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,…………………………6分
设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245
m
y y m +=
+，
5
16
221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-u u u u r u u u u r ，所以
212122)2)(2(y y x x B B +--=⋅221664
5
m m -=-
+………………………………8分 由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅u u u u r u u u u r =0，即2
16640m -=，解得2m =±；
所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0……………………10分 (3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5
5
16=
S ………………11分 当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1
|2|2
+=
k k d ，
因此t=721
482||22
≤+-=k k MN ，得312≥k ………………………………………13分
联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+
+=,14
20),
2(2
2y x x k y 得0164)51(2
22=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514k k y y k k y y +-=+=+，所以2
22
421)51(454||k k k y y ++=-，
因此1214||2S y y =⋅⋅-=设2
8
153
u k u =+≥
，
，所以S =，所以)5516,35[∈S …15分 综上所述：△B 2PQ 的面积]5
5
16,35[∈S ……………………………………………16分 23．解：(1) 令1=n ，得到λ712=
a ，令2=n ，得到237171λλ+=a 。

…………2分 由312
2a a a ⋅=，计算得6
7-=λ．……………………………………………………4分
(2) 由题意01121=-+⋅⋅⋅++++n n a a a a λ，可得： )2(01121≥=-+⋅⋅⋅+++-n a a a a n n λ，所以有
0)1(1=-++n n a a λλ)2(≥n ，又1,0-≠≠λλ，……………………5分
得到：)2(11≥+=
+n a a n n λ
λ
，故数列}{n a 从第二项起是等比数列。

……………7分
又因为λ712=
a ，所以n ≥2时，2
)1(71-+=n n a λ
λλ……………………………8分 所以数列{a n }的通项⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=-=-.2)1(71,17
62n n a n n λ
λλ…………………………………10分
(3) 因为31=λ 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅=-=-.
247
3,17
6
2n n a n n ……………………………………11分
假设数列{a n }中存在三项a m 、a k 、a p 成等差数列，
①不防设m >k >p ≥2，因为当n ≥2时，数列{a n }单调递增，所以2a k =a m +a p 即：2⨯(37)⨯4k –2 = 37⨯4m –2 + 37
⨯4p –2，化简得：2⨯4k - p = 4m –p
+1 即2
2k –2p +1
=2
2m –2p
+1，若此式成立，必有：2m –2p =0且2k –2p +1=1，
故有：m=p=k ，和题设矛盾………………………………………………………………14分 ②假设存在成等差数列的三项中包含a 1时， 不妨设m =1，k >p ≥2且a k >a p ，所以2a p = a 1+a k ， 2⨯(
37)⨯4p –2 = –67 + (37
)⨯4k –2，所以2⨯4p –2= –2+4k –2，即22p –4 = 22k –5 – 1 因为k > p ≥ 2，所以当且仅当k =3且p =2时成立………………………………………16分 因此，数列{a n }中存在a 1、a 2、a 3或a 3、a 2、a 1成等差数列……………………………18分。