青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关测试题2(附答案详解)

青岛版2020九年级数学1.3相似三角形的性质自主学习基础过关测试题2（附答案详解）
1．如图，已知△ADE ∽△ABC ，若AD ：AB =1：3，△ABC 的面积为9，则△ADE 的面积为
A ．1
B ．3
C ．27
D ．81
2．如图，在钝角三角形ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止.点D 运动的速度为1cm/秒，点E 运动的速度为2cm 秒.如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ ABC 相似时，运动的时间是( )
A ．3或2.8
B ．3或4.8
C ．1或4
D ．1或6
3．如图为一△ABC,其中D ．E 两点分别在AB 、AC 上,且AD=31,DB=29,AE=30,EC=32.若∠A=50°,则图中∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系,下列何者正确?()
A ．∠1>∠3
B ．∠2=∠4
C ．∠1>∠4
D ．∠2=∠3
4．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =.P 是AB 边上一动点，PD AC ⊥于点D ，点E 在P 的右侧，且1PE =，连结CE .P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面积12S S +的大小变化情况是（ ）.
A ．一直减小
B ．一直不变
C ．先减小后增大
D ．先增大后减小
5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点， CF ⊥BE 于点F ，则CF ＝( )
A ．2.8
B ．2.7
C ．2.1
D ．2.4
6．如图，先将矩形ABCD 沿三等分线折叠后得到折痕PQ ，再将纸片折叠，使得点A 落在折痕PQ 上E 点处，此时折痕为BF ，且AB ＝9．则AF 的长为（ ）
A ．4
B ．559
C ．955
D ．5
7．如图，A 、B 两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A 、B 间的距离：先在AB 外选一他点C ，然后测出AC ，BC 的中点M 、N ，并测量出MN 的长为18m ，由此他就知道了A 、B 间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( )
A ．A
B ＝36m B ．MN ∥AB
C ．MN ＝12CB
D ．CM ＝12
AC 8．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，:2:3DE EC =，连接AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若2DEF S ∆=，则ABE S ∆=（ ）
A ．15.5
B ．16.5
C ．17.5
D ．18.5
9．如图，⊙O 是正△ABC 的外接圆，点D 为圆上一点，连接AD ，分别过点B 和点C 作AD 延长线的垂线，垂足分别为点E 和点F ，连接BD 、CD ，已知EB =3，FC =2，现
在有如下4个结论：①∠CDF =60°；②△EDB ∽△FDC ；③BC =28；④35ADB EDB S S =，
其中正确的结论有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为（ ）
A ．4：9
B ．2：3
C ．8：18
D ．16：81
11．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′且S △ABC ：S △A ′B ′C ′＝1：2，则AB ：A ′B ′＝_____． 12．如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，1AD =，3BC =，AC 与BD 相交于点O ，AOD △的面积为3，则BOC 的面积是______．
13．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，且∠CAB ＝∠CBD ．已知AB ＝4，AC ＝6，BC ＝4.5，BD ＝5，则DE ＝_____．
14．已知两个相似三角形的相似比为2:3，面积之差为25cm 2，则较大三角形的面积为______ cm 2.
15．如图，已知 DE ∥BC ，AD =6cm ，BD =8cm ，AC =12cm ，则S △ADE :S 四边形DBCE =______.
16．如图，已知小华、小强的身高分别为1.8m ，1.6m ，小华、小强之间的水平距离为15.6m ，小华、小强在同一盏路灯下的影长分别为4m ，3.2m ，则这盏路灯的高度为___m ．
17．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），D，E分别是线段AO，AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把△ADE作轴对称变换得△A′DE，点A′恰好在x轴上，若△OA′D与△OAB相似，则OA′的长为________.（结果保留2个有效数字）
18．.如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，动点Q从B点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点Q，P 移动的时间为t秒．当t=____________ 秒时△APQ与△ABC相似.
19．如图，EF∥BC，若AE：EB＝2：1，EM＝1，MF＝2．则BN：NC＝_____．
20．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，且AB=5，BC=3，则CD
AD
的值为______．
21．（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，AE BF
⊥于点G，求证：AE BF
=；
（2）如图，矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E ，F 分别在边CD ，AD 上，AE BF ⊥于点M ，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的基础上，若AB m =，BC n =，其他条件不变，请直接写出AE 与BF 的数量关系.
22．如图1，矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ．
（1）求证：△OCP ∽△PDA ；
（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；
（3）如图2，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．探究：当点M 、N 在移动过程中，线段EF 与线段PB 有何数量关系？并说明理由．
23．如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 在边AD 上，连接BE ，在BE 上取点F ，连接AF 并延长交BD 于H ，且∠AFE ＝60°，过C 作CG ∥BD ，直线CG 、AF 交于G ．
(1)求证：∠F AE ＝∠EBA ；
(2)求证：AH ＝BE ；
(3)若AE ＝3，BH ＝5，求线段FG 的长．
24．如图，△ABC中，点D在边AC上，且∠ABD＝∠C．
（1）求证：△ADB∽△ABC；
（2）若AD＝4，AC＝9，求AB的长．
25．如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO=8，AO=6，CO=4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P.当M运动到点A时，点M、N同时停止运动.设点M运动时间为t.
(1)线段AN的取值范围是______.
(2)当0＜t＜2时，
①求证：MN：NP为定值.
②若△BNP与△MNA相似，求CM的长.
(3)当2＜t＜5时，若△BNP是等腰三角形，求CM的长.
26．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长CB至点F，使
CF CA
=，连结AF，ACF
∠的平分线分别交AF、AB、BD于点E、N、M.
（1）已知2
BD=，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段CM与AF的数量关系并加以证明.
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）求DE的长．
28．如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．(1)求证：∠BAC＝∠AED；
(2)在边AC取一点F，如果∠AFE＝∠D，求证：AD AF BC AC
=．
参考答案1．A
【解析】
【分析】
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算. 【详解】
解：∵△ADE∽△ABC，且AD：AB=1：3，
∴
2
1
3
ADE
ABC
S
S
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
∵△ABC的面积为9，
∴
1 99
ADE
S
=，
∴ADE
S=1.
故选A
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，即面积比等于相似比的平方.
2．B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和
△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．
【详解】
根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，①若△ADE∽△ABC，则AD：AB＝AE：AC，即x：6＝（12﹣2x）：12，解得：x＝3；
②若△ADE∽△ACB，则AD：AC＝AE：AB，即x：12＝（12﹣2x）：6，解得：x＝4.8．所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种情况，不要漏解；还要注意运用方程思想解题．
3．D
【解析】
【分析】
本题需先根据已知条件得出AD 与AC 的比值，AE 与AB 的比值，从而得出△ADE ∽△ACB ，
最后即可求出结果．
【详解】
∵AD=31，BD=29，
AE=30，EC=32，
∴AB=31+29=60，
AC=30+32=62， ∴3161==22
AD AC ， 3061==02
AE AB ， ∴=AD AE AC AB
， ∵∠A=∠A ，
∴△ADE ∽△ACB ，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
故选：D.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于得出AD 与AC 的比值
4．C
【解析】
【分析】
设PD=x ，AB 边上的高为h ，想办法求出AD 、h ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】
解：在Rt ABC ∆中，∵90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =，
∴AB ==
设PD x =，AB 边上的高为h ，则AC BC h AB ⋅=
= ∵PD BC ，
∴PD AD BC AC
=，则2AD x =，AP =， 当点E 到达点B 时， ∵PD BC ，
∴PD AE
BC AB =，即2PD =，解得25PD =-，
∴025x <≤-
.
∴()
12112122S S x x +=⋅⋅+-()213x =-+-. 故当01x <≤时，12S S +的值随x 的增大而减小；
当12x <≤12S S +的值随x 的增大而增大. 故选C.
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象、三角形面积，平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．
5．D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定与性质得出△ABE ∽△FCB ，得出
AB BE FC BC
=，进而得出答案． 【详解】
解：∵AD ∥BC ，
∴∠AEB=∠CBF ，
∵∠A=90°，∠CFB=90°，
∴△ABE ∽△FCB ，
∴AB BE FC BC
=，
∵AB=2，BC=3，E是AD的中点，∴BE=2.5，
∴
2 2.5
3 FC
=，
解得：FC=2.4．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，根据已知得出△ABE∽△FCB是解题关键．
6．C
【解析】
【分析】
作EM⊥AD于M，交BC于N．只要证明△EMB∽△BNE，可得BE：EF=BN：EM，由此即可解决问题.
【详解】
解：作EM⊥AD于M，交BC于N．
在Rt△BEN中，BE＝AB＝9，EN＝6，
∴BN22
9635
-=
∵∠FEM+∠BEN＝90°，∠BEN+∠EBN＝90°，
∴∠FEM＝∠EBN，∵∠FME＝∠ENB＝90°，
∴△EMB∽△BNE，
∴BE：EF＝BN：EM，
∴9：EF＝53，
∴EF ，
∴AF ＝EF ＝
5． 故选C ．
【点睛】
本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．C
【解析】
【分析】
通过构造相似三角形即可解答.
【详解】
解：根据题意可得在△ABC 中△ABC ∽△MNC ，
又因为M.N 是AC ，BC 的中点，
所以相似比为2:1，MN//AB,B 正确, CM=
12AC,D 正确. 即AB=2MN=36，A 正确; MN=12
AB ，C 错误. 故本题选C.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与运用，熟悉掌握是解题关键.
8．C
【解析】
【分析】
根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ABF ，再根据同高的三角形的面积之比等于底的比得出△BEF 的面积，则ABE S ∆= ABF S ∆+BEF S ∆即可求解.
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DE ∥AB ，
∴△DFE ∽△BFA ，
∵DE ：EC=2：3，
∴DE ：AB=2：5，DF ：FB=2：5，
∵DEF S ∆=2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴DEF S ∆：ABF S ∆ =4:25，即ABF S ∆=DEF S ∆254
⨯=12.5， ∵同高的三角形的面积之比等于底的比，△DEF 和△BEF 分别以DF 、FB 为底时高相同， ∴DEF S ∆：BEF S ∆= DF ：FB=2：5，即BEF S ∆=DEF S ∆52
⨯
=5， ∴ABE S ∆= ABF S ∆+BEF S ∆=12.5+5=17.5，
故选C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高的三角形的面积之比等于底的比，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
9．B
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识一一判断即可．
【详解】
解：∵△ABC 是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵A 、B 、C 、D 四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC=60°，故①正确．
∵∠BDE=∠ACB=60°，
∴∠BDE=∠CDF=60°，
∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，
∴∠E=∠F=90°，
∴△EDB∽△FDC，故②正确．
∵，DF=2，
∴
∴．过点C作CG⊥BE于点G．
∴四边形EGCF是矩形，
∴EG=FC=2，CG=EF=
3
，
∴BG=BE-EG=1．
在Rt△BGC中，由勾股定理可得：，故③错误．
在Rt△AEB中，由勾股定理可得：
∴
∴AD：DE=2：3．
∴S△ADB=2
3
S△EDB，故④错误．
故选B．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．D
【解析】
∵两个相似三角形的周长比为4：9，
∴这两个相似三角形的相似比为4：9，
∴面积比为16：81．
故选D．
点睛：相识三角形的周长比等于相识三角形的相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方.
11．1
【解析】
【分析】
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴S△ABC：S△A′B′C′＝AB2：A′B′2＝1：2，
∴AB：A′B′＝1
故答案为：1
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解本题的关键.
12．27
【解析】
【分析】
首先证明△AOD∽△COB，然后根据面积之比等于相似比的平方即可求出BOC的面积. 【详解】
解：∵AD BC
∥，
∴△AOD∽△COB，
∴
21
9 AOD
BOC
S AD
S BC
，
∵AOD
△的面积为3，
∴BOC的面积是27，
故答案为：27.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.
13．2
【解析】
先证明△ABC∽△BEC，根据相似三角形对应边成比例列出等比式，将AB＝4，AC＝6，BC＝4.5，BD＝5代入即可求得DE.
【详解】
解：∵∠CAB＝∠CBD，∠ACB＝∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，
∴AB AC BE BC
=，
∵AB＝4，AC＝6，BC＝4.5，BD＝5，
∴
46
5 4.5
DE
=
-
，
解得：DE＝2．
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，能结合图形以及题意判断△ABC与△BEC相似并加以证明是解决此题的关键.
14．45cm2
【解析】
【分析】
先根据两个相似三角形的相似比求出其面积比为4:9，再设较大三角形的面积为9x，则较小的三角形面积为4x,再列出方程即可求得.
【详解】
∵这两个相似三角形的相似比为2:3
∴面积比为4:9，
设设较大三角形的面积为9x，较小的三角形面积为4x,
根据题意可列方程：9x-4x=25,
解得x=5,∴较大三角形的面积为45 cm2.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是根据面积比设出较大三角形的面积. 15．9：40
【分析】
由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE:S△ABC=
2 AD AB ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
∵AD=6cm，AB=14cm，
∴S△ADE:S△ABC=36:196，
∴S△ADE:S四边形DBCE=36: (196-36)=9:40.
故答案为：9:40.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握相似三角形的性质. 16．9.5．
【解析】
【分析】
作出图形，得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列式计算即可求解．【详解】
如图，∵CD∥AB∥MN，
∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，
∴CD DE
AB BE
=，
FN MN
FB AB
=，
即
1.8 1.8
1.8BD AB
=
+
，
1.6 1.6
1.615.6BD AB
=
+-
，
解得：AB＝9.5m，故答案为9.5．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
17．2.0或3.3
【解析】
【分析】
由点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），可得OA=5，OB=7，AB=4，然后分别由△OA′D∽△OAB与△OA′D∽△OBA，根据相似三角形的对应边成比例，即可得答案．【详解】
∵点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），
∴OA==5，OB=7，AB==4，
若△OA′D∽△OAB，
则，
设AD=x，
则OD=5﹣x，A′D=x，
即，
解得：x≈2.2，
∴，
∴OA′=2.0；
若△OA′D∽△OBA，
则，
同理：可得：OA′≈3.3．
故答案为：2.0或3.3．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质与折叠的知识．注意数形结合与方程思想的应用，小心别漏解
是解题关键．
18．3011 或5013
【解析】
【分析】
分两种情况进行讨论：①当∠APQ=90°时，△APQ ∽△ABC ，求出t 的值；②当∠PQA=90°时，△APQ ∽△ABC ，求出t 的值即可.
【详解】
∵∠C=90°，BC=8，AC=6 ∴22226810AB AC BC
∴AP t =，102AQ t =-
①当∠APQ=90°时，△APQ ∽△ABC 则
AQ AP AB AC
= ∴102106
t t -= 解得：3011t = ②当∠PQA=90°时，△APQ ∽△ABC 则
AQ AP AC AB
= ∴102610
t t -= 解得：5013
t = 故填：3011或5013. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是进行分类讨论不要漏解.
19．1：2
【解析】
【分析】
由EF ∥BC 可得△AEM ∽△ABN ，△AMF ∽△ANC ，然后由相似三角形三边对应成比例可得到答案.
【详解】
∵EF∥BC
∴△AEM∽△ABN，△AMF∽△ANC
∴AE
AB
=
EM
BN
=
AM
AN
，
AM
AN
=
MF
NC
∵AE：EB＝2：1 ∴AE：AB =2：3
∴AE EM MF AB BN NC ==
即212 3BN NC ==
∴BN＝1.5，NC＝3，
∴BN：NC＝1：2．
故答案为1：2．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定方法和相似三角形的性质,掌握该知识点是解题的关键.
20．3 4
【解析】
【分析】
先求出AC，根据垂直，可以得出∠CDA=90°，∠ACB=90°，所以△ACD和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可求出．
【详解】
解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴4
AC=，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠CAD=∠BAC
∴△ACD∽△ABC，
∴
3
4 CD BC
AD AC
==．
故答案为3 4
．
【点睛】
本题主要考查相似三角形对应边成比例的性质，首先判定两三角形相似是解本题的关键．21．（1）见解析；（2）
3
2
AE
BF
=；（3）
AE n
BF m
=
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质，可得∠BAF=∠D，AB=AD，再根据同角的余角相等得到
∠ABF=∠DAE，由此可证明△ABF≌△DAE得到结果；
（2）根据矩形的性质得到∠BAF=∠D，由余角的性质得到∠ABF=∠DAE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
（3）结论：AE=
n
m
BF．证明方法类似（2）；
【详解】
（1）证明：连接CF，BE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠D，AB=AD．
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，
∵∠BAF+∠DAE=90°，
∴∠ABF=∠DAE．
在△ABF和△DAE中，
BAF D
AB AD
ABF DAE
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AE=BF；
（2）解：如图2中，结论：32
AE BF =，
理由：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAF=∠D ，
∵AE ⊥BF ，
∴∠AMB=∠BAM+∠FAM=90°，
∵∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠ABF=∠DAE ，
∴△ABF ∽△DAE ，
32
AE AD BF AB ∴==， 32
AE BF ∴=， （3）结论：AE m BF n
=． 理由：由（2）可知△ABF ∽△DAE ，
∴
AE AD n BF AB m
==， ∴n AE BF m =. 【点睛】
本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握全等三角形或相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）10；（3）PB=2EF ．
【解析】
【分析】
（1）根据折叠的性质可知得到∠APO=∠B=90°，根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据勾股定理计算即可；
（3）作MH ∥AB 交PB 于H ，根据相似三角形的性质得到BF=FH ，根据等腰三角形的性质得到PE=EH ，得到答案．
【详解】
（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO=∠B=90°，∴∠APD+∠CPO=90°，又∠APD+∠DAP=90°，
∴∠DAP=∠CPO，又∠D=∠C=90°，
∴△OCP∽△PDA；
（2）∵△OCP∽△PDA，面积比为1：4，
∴CP1 AD2
，
∴CP=4，
设AB=x，则AP=x，PD=x-4，
由勾股定理得，AD2+PD2=AP2，即82+（x-4）2=x2，解得，x=10，即AB=10；
（3）PB=2EF．
作MH∥AB交PB于H，
∴∠PHM=∠PBA，
∵AP=AB，
∴∠APB=∠PBA，
∴∠APB=∠PHM，
∴MP=MH，又BN=PM，
∴MH=BN，又∵MH∥AB，
∴BF=FH，
∵MP=MH，ME⊥BP，
∴PE=EH，
∴PB=2EF．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的面积比等于相似比的平方、翻转变换的性质是解题的关键．
23．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)FG＝74
7
．
【解析】
【分析】
（1）先证明两三角形相似，再根据性质得到结果（2）先证明两三角形相似，再根据性质得到边的关系（3）先作辅助线，再证明两三角形相似，再根据相似三角形性质得到结果. 【详解】
解：(1)∵∠AFE＝∠BAE＝60°、∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴∠F AE＝∠ABE；
(2)∵四边形
ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，
∴AB＝AD、∠BAE＝∠ADB＝60°，在△ABE和△DAH中，
∵
ABE DAH
AB DA
BAE ADB ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△ABE≌△DAH(ASA)，
∴AH＝BE；
(3)如图，连接AC交BD于点P，则AC⊥BD，且AC平分BD，
∵△ABE≌△DAH，
∴AE＝DH＝3，
∴BP＝PD＝4，PH＝BH﹣BP＝1，∵AB＝BD＝8，
∴AP＝22
AB BP
-＝43，
则AC＝2AP＝83，
∵CG∥BD，且P为AC中点，
∴∠ACG＝90°，CG＝2PH＝2，
∴AG＝22
AC CG
+＝14，BE＝AH＝1
2
AG＝7，
∵△AEF∽△BEA，
∴AF
AB
＝
AE
BE
，即
8
AF
＝
3
7
，
解得：AF＝24
7
，
∴FG＝AG﹣AF＝14﹣24
7
＝
74
7
．
【点睛】
此题重点考察学生对相似三角形判定和性质的理解，熟练掌握两三角形相似的判定方法和性质是解题的关键.
24．（1）证明见解析；（2）6.
【解析】
【分析】
1）根据相似三角形的判定即可得到结论；
（2）由（1）知△ABC∽△ADB，根据相似三角形的性质得到＝，即AB2＝AC•AD即可求得A B.
【详解】
（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC；
（2）解：∵△ADB∽△ABC，
∴＝，即AB2＝AC•AD，
∵AD＝4，AC＝9，
∴AB＝6．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25．(1)0<AN<25；(2)①证明见解析；定值为5
3
；②CM=
60
31
；(3)CM=
60
11
.
【解析】
【分析】
（1）首先求出点M运动时间，再求出点N运动的路程即可．
（2）如图1中，①过点N作NH⊥AC于点H，设AN=5k，CM=2k，用含k的代数式表示MH、OH即可解决问题；②只可能是∠MNB=∠MNA=90°，由△MHN∽△MNA∽△BOA，列出比例式即可解决问题．
（3）过点N作NH⊥AC于点H，设AN=5k，CM=2k，如图2中，当2＜t＜5时，点M在
OA上，由PO∥HN，得PO MO
NH MH
，求出PO=
8
5
k，根据BP=BN，列出方程即可解决问题．
【详解】
（1）∵AC=OC+AO=10，
点M运动的速度为2单位长度/秒，
∴t=10
2
=5，
∵5×5=25，
∴0＜AN＜25．
故答案为0＜AN＜25；
（2）如图1中，当0＜t＜2时，
①过点N作NH⊥AC于点H，设AN=5k，CM=2k，
∵NH∥BO，
∴AN NH AH AB BO AO
=
=，
∴AH=3k，
∴OH=6-3k，OM=4-2k，MH=10-5k，∵PO∥NH，
∴
1055
633 MN MH k
NP OH k
-
===
-
；
②只可能是∠MNB=∠MNA=90°，△MHN∽△MNA∽△BOA，
∴AM AB AN AO
=，
∴10210
56
k
k
-
=，
∴k=30
31
，
∴CM=60 31
；
（3）如图2中，当2＜t＜5时，
过点N作NH⊥AC于点H，设AN=5k，CM=2k，则BN=5k-10，同（2）可得AH=3k，NH=4k，OH=3k-6，MO=2k-4，
∵PO∥HN，
∴PO MO NH MH
=， ∵MH=AH-AM=3k-(10-2k)=5k-10，
∴PO=85
k ， 若BP=BN ，则8-
85k=5k-10， 解得：k=
3011
， ∴CM=6011， 若PB=PN 或BN=NP ，
∵∠PBN ＞90°，
∴不成立，
∴若△BNP 是等腰三角形，CM 的长为
6011． 【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用参数表示相应的线段，把几何问题转化为代数问题．
26．（1）1；（2）AF =
，见解析. 【解析】
【分析】
（1）根据BD =，利用勾股定理计算即可.
（2）根据已知条件可证COM ABF ∆~∆，利用相似比即可得到CM 与AF 的数量关系.
【详解】
根据BD =,因为正方形ABCD ，所以可得DC=BC
因为在Rt BCD ∆中，2222BD BC ==
因此可得BC=1
所以正方形ABCD 的边长为1.
（2）AF =
.
证明如下：
∵CF CA =，CE 是ACF ∠的平分线，
∴CE AF ⊥，即90AEN CBN ∠=∠=︒.
∵ANE CNB ∠=∠，
∴BAF BCN ∠=∠，
又ACN BCN ∠=∠，
∴BAF OCM ∠=∠.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC BD ⊥，90ABF COM ∠=∠=︒，
∴COM ABF ∆~∆，
∴CM OC AF AB ==，即AF =. 【点睛】
本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，应当熟练掌握，本题难度系数适中.
27．（1）见解析；（2）DE ＝
125
． 【解析】
【分析】
（1）要证△ADE ∽△MAB ，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意好矩形的性质可以证明△ADE ∽△MAB ；
（2）根据题意和（1）中△ADE ∽△MAB ，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答本题．
【详解】
证明：（1）∵在矩形ABCD 中，DE ⊥AM 于点E ，
∴∠B ＝90°，∠BAD ＝90°，∠DEA ＝90°，
∴∠BAM +∠EAD ＝90°，∠EDA +∠EAD ＝90°，
∴∠BAM ＝∠EDA ，
在△ADE 和△MAB 中，∵∠AED ＝∠B ，∠EDA ＝∠BAM ，
∴△ADE ∽△MAB ；
（2）∵在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，M 是BC 的中点，
∴BM＝3
2
，
∴AM
5
2 =，
由（1）知，△ADE∽△MAB，
∴AM AB DA DE
=，
∴5
2
2
3DE =，
解得，DE＝12
5
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和数形结合的思想解答．
28．见解析
【解析】
【分析】
（1）欲证明∠BAC＝∠AED，只要证明△CBA∽△DAE即可；
（2）由△DAE∽△CBA，可得AD DE
BC AC
＝，再证明四边形ADEF是平行四边形，推出DE＝
AF，即可解决问题；【详解】
证明（1）∵AD∥BC，∴∠B＝∠DAE，
∵AB·AD＝BC·AE，
∴AB BC AE AD
＝，
∴△CBA∽△DAE，
∴∠BAC＝∠AE D．
（2）由（1）得△DAE∽△CBA
∴∠D＝∠C，AD DE BC AC
＝，
∵∠AFE＝∠D，
∴∠AFE＝∠C，
∴EF∥BC，
∵AD∥BC，
∴EF∥AD，
∵∠BAC＝∠AED，
∴DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE＝AF，
∴AD AF BC AC
＝．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。