人教A版高中数学必修五高二年第一次月考试卷(理科卷).doc

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
南安六中08～09学年度高二年第一次月考试卷(理科卷)
时量：120分钟 满分：150分 组题人：陈荣凡2008-9-25
一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）
1．若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．2
2
a b > B ．ac bc > C ．2
2
ac bc > D ．a c b c ->-
2．(08广东)记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ）
Ａ．2 B ．3 C ．6 D ．7
3．（05福建）若3,,=+∈b a R b a ，则b
a 22+的最小值是（ ）
Ａ．22 B ．6 C ．24 D ．8
4．(08广东理)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
2
a =
，420S =，则6S =（ ） A ．16
B ．24
C ．36
D ．48
5．在ABC △中，2
60B b ac ==，˚，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
6．不等式02
<--b ax x 的解为32<<x ，则不等式012
>--ax bx 的解是（ ）
Ａ．23-<<-x B ．3121-<<-
x C ．2
1
31-<<-x D ．3,2-<->x x 或 7．若1)(2
-+=ax ax x f 在R 上恒满足0)(<x f ，则a 的取值范围是（ ）
Ａ．0≤a B ．4-<a C ．04<<-a D ．04≤<-a
密封线内不要答
题
________班级_______________姓名______________座号__________
8．(08广东理)若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪
+⎪⎨⎪⎪⎩
，，
，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）
A ．90
B ．80
C ．70
D ．40
9．若4,0,0≤+>>y x y x ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A ．411≤+y x
B ．11≥xy
C ．11
1≥+y
x D ．4≥xy 10．(07海南)已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，
则2
()a b cd
+的最小值是（ ）
Ａ．0
Ｂ．1
Ｃ．2
Ｄ．4
11．ABC ∆的三角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 成等比数列，则∠B 的取值范围是（ ） A ．03
B π
<≤
B ．06
B π
<≤
C ．
3
2
B π
π
≤<
D ．
23
B π
π≤< 12．（05全国Ⅰ）设0>b ，二次函数12
2
-++=a bx ax y 的图像为下列之一，则a 的值为（ ）
1
-1
o
y
x
1
-1
o
y
x
o y
x
o y
x
A ．1
B ．1-
C ．
2
5
1-- D ．
2
5
1+- 二、填空题（共4小题,每小题4分,共16分）
13. 在ABC ∆中，4a =，1b =，0
45C =则三角形ABC 的面积为 。

14. 已知,,x y z R +
∈，230x y z -+=，则2
y xz
的最小值 ．
15.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．
16. 将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本小题12分）在ABC △中，5cos 13B =-
，4
cos 5
C =． （Ⅰ）求sin A 的值；
（Ⅱ）设ABC △的面积33
2
ABC S =△，求BC 的长
18．（本小题12分）等差数列}{n a 的前三项分别是2a -，4，22a -。

（1）求a 的值；
（2）若3a ，9a 分别是等比数列{}n b 的第1项和第2项，求数列{}n b 的通项公式n b ； （3）从数列{}n a 中，依次取出第2项，第4项，第8项，……，第n
2项，……组成
一新的数列{}n c ，求数列{}n c 的前n 项和．
19．（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，23a =，
tan
tan 4,22
A B C
++=2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c
20．（本小题12分）设}{n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，且对所有的正整数n ，
n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，求数列}{n a 的通项公式。

21．（本小题12分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及
汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增．
（1）设使用n 年该车的总费用（包括购车费用）为()f n ，试写出()f n 的表达式； （2）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）。

22．（本小题14分）
将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a
记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}
n b
的前n 项和，且满足
2
21(2)n
n n n
b n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当814
91
a =-
时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和 南安六中08～09学年度高二年第一次月考试卷(理科卷)参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
B
C
D
D B
D
C
C
D
A
B
二、填空题
13、2； 14、(08江苏)3； 15、（06年天津）20；16、(08江苏)26
2
n n -+。

三．解答题 17、（08全国Ⅱ） 解：（Ⅰ）由5cos 13B =-
，得12sin 13B =，由4cos 5
C =，得3
sin 5C =．
所以33
sin sin()sin cos cos sin 65
A B C B C B C =+=+=．------6分
（Ⅱ）由332ABC S =
△得133sin 22
AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33
sin 65
A =， 故65A
B A
C ⨯=，-------8分 又sin 20
sin 13
AB B AC AB C ⨯==， 故
2206513AB =，132AB =．-----10分 所以sin 11
sin 2
AB A BC C ⨯==．---------12分
18、解：（1）
1322a a a +=，即348a -=，求得4a = ------2分
（2）由题意知：等比数列{}n b 中，132916,818b a b a a d ====+=，
公比2
1
3b q b =
= ----------4分 {}n b ∴等比数列的通项公式1
13236--⋅=⋅=n n n b ----------6分
（3）由（1）得：n d n a a n 2)1(1=-+=,∴12222+=⋅==n n n
n a c -----9分
2341
1232222
n n n S c c c c +=+++
+=+++
+
24(12)2412
n n +-==-- -------------------------12分
19、（08江西卷）解：由
tan
tan 422A B C ++=得cot tan 422
C C
+= ∴cos
sin
224sin cos
22
C C
C C
+= ∴14sin cos 22C C = ∴1sin 2C =，又(0,)C π∈ ∴566C C ππ
==，或--------6分
由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B C B C =+ 即sin()0B C -= ∴B C =∴6
B C π
==
2()3
A B C π
π=-+=
由正弦定理sin sin sin a b c
A B C ==
得22
3
21
32sin sin =⨯=⋅==A B a c b ----12分 20、解：∵n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，
n n S a 2)2(21=+∴，即2)2(8
1
+=n n a S 。

当1=n 时，2)2(8
112
11=⇒+=a a S ；
当2≥n 时，])2()2[(8
12
121+-+=-=--n n n n n a a S S a ， ------------------------------6分
即0)4)((11=--+--n n n n a a a a ，----------------------------------8分
又01>+-n n a a ，41=-∴-n n a a ，可知}{n a 是公差为4的等差数列。

-----------10分
244)1(2-=⨯-+=∴n n a n 。

-----------------------------------------------------------12分
21、解：（1）依题)(n f =14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n n n n 9.02
)
1(2.04.14+++
=
4.141.02++=n n
（2）设该车的年平均费用为S 万元，则有)4.141.0(1
)(12++==
n n n
n f n S 14.4
12 1.4412 1.21 3.410n n =
++≥+=⨯+= 仅当n n 4.1410=
，即12=n 时，等号成立. 答： 这种汽车使用12年报废最合算。

22、(08山东)（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，
2
21n
n n n
b b S S =-， 又12n n S b b b =+++，
所以
12
12()
1()n n n n n n
S S S S S S ---=--， 即
112()
1n n n n
S S S S ---=-，
所以
11112
n n S S --=， 又1111S b a ===． 所以数列1n S ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是首项为1，公差为1
2的等差数列． 由上可知
111
1(1)22
n n n S +=+-=， 即21
n S n =
+．
所以当2n ≥时，12221(1)
n n n b S S n n n n -=-=
-=-++． 因此112
2(1)n n b n n n =⎧⎪
=⎨-⎪+⎩
， ，
，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >． 因为1213
1212782
⨯++
+=
=， 所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列， 因此2
8113491
a b q ==-． 又132
1314
b =-
⨯，
所以2q =．
记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，
则(1)2(12)2
(12)(3)1(1)12(1)
k k k k b q S k q k k k k --=
=-=--+-+≥。