中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附答案

中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附答案
一、圆的综合
1．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．
（1）求证：AE=BE；
（2）求证：FE是⊙O的切线；
（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.
【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示：
∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；
又∵AC=BC，∴AE=BE．
（2）证明：连接OE，如图2所示：
∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．
又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．
（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC•FB．
设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．
∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG=．
点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；
（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据
AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．
试题解析：（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC为直角三角形，AE=3，
∴AC=2，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA=AB，
在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．
考点：切线的性质．
3．如图，AB 为O e 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠． ()1DE 是O e 的切线吗？请说明理由；
()2求证：2AC CD BE =⋅．
【答案】（1）结论：DE 是O e 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；
（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE V V ∽即可解决问题.
【详解】
()1解：结论：DE 是O e 的切线．
理由：连接OD ．
CDB ADE ∠=∠Q ，
ADC EDB ∴∠=∠，
//CD AB Q ，
CDA DAB ∴∠=∠，
OA OD =Q ，
OAD ODA ∴∠=∠，
ADO EDB ∴∠=∠，
AB Q 是直径，
90ADB ∴∠=o ，
90ADB ODE ∴∠=∠=o ，
DE OD ∴⊥，
DE
∴是O
e的切线．
()2//
CD AB
Q，
ADC DAB
∴∠=∠，CDB DBE
∠=∠，
AC BD
∴=
n n，
AC BD
∴=，
DCB DAB
∠=∠
Q，EDB DAB
∠=∠，
EDB DCB
∴∠=∠，
CDB
∴V∽DBE
V，
CD DB
BD BE
∴=，
2
BD CD BE
∴=⋅，
2
AC CD BE
∴=⋅．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.
4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)见解析;(2) 25-50
4
π
.
【解析】
分析：（1）根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°，即可得到AE是⊙O的切线；（2）连接OD，用扇形ODA的面积减去△AOD的面积即可.
详解：证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠BAC+∠ABC=90°，
∵∠EAC=∠ADC，∠ADC=∠ABC，
∴∠EAC=∠ABC
∴∠BAC+∠EAC =90°，
即∠BAE= 90°
∴直线AE是⊙O的切线；
（2）连接OD
∵ BC=6 AC=8
∴ 226810AB =+=
∴ OA = 5
又∵ OD = OA
∴∠ADO =∠BAD = 45°
∴∠AOD = 90°
∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形＝
=90155553602
π⨯⨯-⨯⨯ 25504
π-= （2cm ）
点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.
5．已知：AB 是⊙0直径,C 是⊙0外一点,连接BC 交⊙0于点D ，BD=CD,连接AD 、AC ．
(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD
(2)如图2,过点C 作CF ⊥AB 于点F,交⊙0于点E,延长CF 交⊙0于点G.过点作EH ⊥AG 于点H ，交AB 于点K,求证AK=2OF ；
(3)如图3,在(2)的条件下,EH 交AD 于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL 的长.
图1 图2 图3
【答案】(1)见解析(2)见解析12105
【解析】
试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°，得到∠ADB =90°，再证明△ABD ≌△ACD 即可得到结论；
（2）连接BE ．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB =∠BEG ．再证△KFE ≌△BFE ，得到
BF =KF =BK ．由OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，即可得到结论．
（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．先证CM 垂直平分AG ，得到AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．再证∠GAF =∠GCM =α．通过证明△AGB ≌△CMG ，得到BG =GM =12AG ．再证明∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 可得GF =2a ，AF =4a ． 由OK =1，得到OF =a +1，AK =2（a +1），AF = 3a +2，得到3a +2=4a ，解出a 的值，得到AF ，AB ，GF ，FC 的值．由tanα=tan ∠HAK =12
HK AH =， AK =6，可以求出 AH 的长．再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD
∠+∠-∠⋅∠，得到∠GAD =45°，则AL =2AH ，即可得到结论．
试题解析：解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠ADC =90°．
∵BD =CD ，∠BDA =∠CDA ，AD =AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD =∠CAD ．
（2）连接BE ．∵BG =BG ，∴∠GAB =∠BEG ．
∵CF ⊥AB ，∴∠KFE =90°．
∵EH ⊥AG ，∴∠AHE =∠KFE =90°，∠AKH =∠EKF ，∴∠HAK =∠KEF =∠BEF ．
∵FE =FE ，∠KFE =∠BFE =90°，∴△KFE ≌△BFE ，∴BF =KF =
BK ．
∵ OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，∴AK =2OF ．
（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．
∵AC =CG ， ∴点C 在AG 的垂直平分线上．∵ OA =OG ，∴点O 在AG 的垂直平分线上， ∴CM 垂直平分AG ，∴AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．
∵AF ⊥CG ，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF =∠GCM =α．
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AGB = 90°，∴∠AGB =∠CMG =90°．
∵AB =AC =CG ，∴△AGB ≌△CMG ，∴BG =GM =12
AG ．
在Rt △AGB 中， 1tan tan 2GB GAB AG α∠=== ． ∵∠AMC =∠AGB = 90°
，∴BG ∥CM ， ∴∠BGC =∠MCG =α．
设BF =KF =a ， 1tan tan 2BF BGF GF α∠==
=，∴GF =2a ，1tan tan 2GF GAF AF α∠=== ，AF =4a ．
∵OK =1，∴OF =a +1，AK =2OF =2（a +1），∴AF =AK +KF =a +2（a +1）=3a +2，∴3a +2=4a ，∴a =2， AK =6，∴AF =4a =8，AB =AC =CG =10，GF =2a =4，FC =CG -GF =6．
∵tanα=tan ∠HAK =
12HK AH =，设KH =m ，则AH =2m ，∴AK =22(2)m m +=6，解得：m =655，∴AH =2m =1255
．在Rt △BFC 中，1tan 3
BF BCF FC ∠== ．∵∠BAD +∠ABD =90°， ∠FBC +∠BCF =90°，∴∠BCF =∠BAD ，1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，∴tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠⋅∠=1123111
123
+=-⨯，∴∠GAD =45°，∴HL=AH ，AL =2AH = 1210．
6．如图，AB 是圆O 的直径，射线AM ⊥AB ，点D 在AM 上，连接OD 交圆O 于点E ，过点D 作DC=DA 交圆O 于点C （A 、C 不重合），连接O C 、BC 、CE ．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若圆O的直径等于2，填空：
①当AD=时，四边形OADC是正方形；
②当AD=时，四边形OECB是菱形．
【答案】(1)见解析；（2）①1；②3．
【解析】
试题分析：（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；
（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；
②依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．
试题解析：解：∵AM⊥AB，
∴∠OAD=90°．
∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，
∴△OAD≌△OCD，
∴∠OCD=∠OAD=90°．
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）①∵当四边形OADC是正方形，
∴AO=AD=1．
故答案为：1．
②∵四边形OECB是菱形，
∴OE=CE．
又∵OC=OE，
∴OC=OE=CE．
∴∠CEO=60°．
∵CE∥AB，
∴∠AOD=60°．
在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，
∴AD=．
故答案为：．
点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．(8分)已知AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点E，连接ED，且有ED＝EF.
(1)如图①，求证：ED为⊙O的切线；
(2)如图②，直线ED与切线AG相交于G，且OF＝2，⊙O的半径为6，求AG的长．
【答案】（1）见解析；（2）12
【解析】
试题分析：（1）连接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由对顶角相等可得出
∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此证出ED为⊙O的切线；
（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO 的长度，结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知
GA⊥EA，从而得出DM∥GA，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度
试题解析：解：（1）连接OD，∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD，∵∠EFD=∠CFO，
∴∠EDF=∠CFO．∵OD=OC，∴∠ODF=∠OCF．∵OC⊥AB，
∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，∴ED为⊙O的切线；
（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，由（1）可知△EDO为直角三角形，设
ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，
即ED=8，EO=10．∵sin∠EOD=
4
5
ED
EO
=，cos∠EOD=
3
5
OD
OE
=，
∴DM=OD•sin∠EOD=6×4
5=
24
5
，MO=OD•cos∠EOD=6×
3
5
=
18
5
，∴EM=EO﹣MO=10﹣
18 5=
32
5
，EA=EO+OA=10+6=16．
∵GA切⊙O于点A，∴GA⊥EA，∴DM∥GA，∴△EDM∽△EGA，∴DM EM
GA EA
=，即2432
55
16
GA
=，解得GA=12．
点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°；（2）通过相似三角形的性质找出相似比．
8．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧»OB上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．
（1）求证：PD2=PE•PF；
（2）当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．
【答案】（1）详见解析；（2）D 3
，
3
4
a），E
33
a，
3
4
a），F
3
，
0），P 3
，
2
a
）；S△DEF
33
a2．
【解析】
试题分析：（1）连接PB，OP，利用AB切⊙O1于B求证△PBE∽△POD，得
出PB PE
OP PD
=，同理，△OPF∽△BPD，得出
PB PD
OP PF
=，然后利用等量代换即可．
（2）连接O1B，O1P，得出△O1BP和△O1PO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标．再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积．
试题解析：（1）证明：连接PB，OP，
∵PE⊥AB，PD⊥OB，
∴∠BEP=∠PDO=90°，
∵AB切⊙O1于B，∠ABP=∠BOP，
∴△PBE∽△POD，
∴=，
同理，△OPF∽△BPD
∴=，
∴=，
∴PD2=PE•PF；
（2）连接O1B，O1P，
∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，
∴∠ABP=30°，
∴∠O1BP=90°﹣30°=60°，
∵O1B=O1P，
∴△O1BP为等边三角形，
∴O1B=BP，
∵P为弧BO的中点，
∴BP=OP，
即△O1PO为等边三角形，
∴O1P=OP=a，
∴∠O1OP=60°，
又∵P为弧BO的中点，
∴O1P⊥OB，
在△O1DO中，∵∠O1OP=60°O1O=a，
∴O1D=a，OD=a，
过D作DM⊥OO1于M，∴DM=OD=a，OM=DM=a，
∴D（﹣a， a），
∵∠O1OF=90°，∠O1OP=60°
∴∠POF=30°，
∵PE⊥OA，
∴PF=OP=a，OF=a，
∴P（﹣a，），F（﹣a，0），
∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，
∴∠ABP=∠BOP=30°，
∵PE⊥AB，PB=a，
∴∠EPB=60°
∴PE=a，BE=a，
∵P为弧BO的中点，
∴BP=PO，
∴∠PBO=∠BOP=30°，
∴∠BPO=120°，
∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，
即OPE三点共线，
∵OE=a+a=a，
过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，
∴∠EOA=30°，
∴EM=OE=a，OM=a，
∴E（﹣a， a），
∵E（﹣a， a），D（﹣a， a），
∴DE=﹣a﹣（﹣a）=a，
DE边上的高为： a，
∴S△DEF=×a×a=a2．
故答案为：D（﹣a， a），E（﹣a， a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF=a2．
9．如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是BC上的一点，且PB＜PC，PA交BC于E，点F 是PC延长线上的点，CF=PB，13PA=4．
（1）求证：△ABP≌△ACF；
（2）求证：AC2=PA•AE；
（3）求PB和PC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PB=1，PC=3．
【解析】试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC ，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP ，于是可根据“SAS”判断△ABP ≌△ACF ；
（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得
∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC ，于是可判断△ACE ∽△APC ，然后利用相似比即可得到结论；
（3）先利用AC 2=PA•AE 计算出AE=134 ，则PE=AP-AE=34
，再证△APF 为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP ∽△CEP ，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB 和PC 看作方程x 2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB 和PC 的长．
试题解析：
（1）∵∠ACP+∠ABP=180°，
又∠ACP+∠ACF=180°，
∴∠ABP=∠ACF
在ABP ∆和ACF ∆中，
∵AB=AC ，∠ABP=∠ACF ， CF PB =
∴ABP ∆≌ACF ∆．
(2)在AEC ∆和ACP ∆中，
∵∠APC=∠ABC ，
而ABC ∆是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º，
∴∠ACE =∠APC .
又∠CAE =∠PAC ，
∴AEC ∆∽ACP ∆ ∴AC AE AP AC
=,即2AC PA AE =⋅. 由（1）知ABP ∆≌ACF ∆，
∴∠BAP=∠CAF ， CF PB =
∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC
∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°.
∴APF ∆是等边三角形
∴AP=PF
∴4PB PC PC CF PF PA +=+===
在PAB ∆与CEP ∆中，
∵∠BAP=∠ECP ，
又∠APB=∠EPC=60°，
∴PAB ∆∽CEP ∆ ∴PB PA PE PC
=,即PB PC PA PE ⋅=⋅ 由（2）2AC PA AE =⋅， ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+=
∴()22
AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+= ∴()2222224133PB PC PA AC PA AB ⋅=-=-=-=
因此PB 和PC 的长是方程2430x x --=的解．
解这个方程，得11x =， 23x =．
∵PB<PB ，∴PB=11x =，PC=23x =，
∴PB 和PC 的长分别是1和3。

【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和等边三角形的判定与性质；会利用相似三角形证明等积式；会运用根与系数的关系构造一元二次方程。

10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足若13
CF DF =,
连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3.
（1）求证：△ADF∽△AED；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠E的值．
【答案】(1)证明见解析;(2)FG =2;(3)
5 4
.
【解析】
分析：（1）由AB是 O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：弧AD=弧AC，DG=CG，
继而证得△ADF∽△AED；（2）由
1
3
CF
FD
= ,CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，
则可求得FG=2；（3）由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠
5
本题解析：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴DG=CG，∴»»
AD AC
=，∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；
②∵
1
3
CF
FD
=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，∴FG=CG-CF=2；
③∵AF=3，FG=2，∴225
AF FG
-=，
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识点，考查内容较多，综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合的思想.
11．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝3D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，DE7，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）93﹣2π．
【解析】
【分析】
（1）连结OD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，根据切线的判定定理证明；
（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，证明△OBD为等边三角形，得到∠ODB=60°，OB=BD=23，根据勾股定理求出PE，证明△ABE∽△AFD，根据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算．
【详解】
证明：（1）连结OD，
∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴»»
BD CD
=，
∴OD⊥BC，
∵BC∥DF，
∴OD⊥DF，
∴DF为⊙O的切线；
（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠ODB=60°，3，
∴∠BDF=30°，
∵BC∥DF，
∴∠DBP=30°，
在Rt△DBP中，PD=1
2
3，3，
在Rt △DEP 中，∵PD=3，DE=7， ∴
PE=22(7)(3)- =2，
∵OP ⊥BC ，
∴BP=CP=3，
∴CE=3﹣2=1，
∵∠DBE=∠CAE ，∠BED=∠AEC ，
∴△BDE ∽△ACE ，
∴AE ：BE=CE ：DE ，即AE ：5=1：7 ，
∴AE=577
∵BE ∥DF ，
∴△ABE ∽△AFD ，
∴BE AE DF AD
= ，即57
57125DF = ， 解得DF=12，
在Rt △BDH 中，BH=12
BD=3， ∴阴影部分的面积=△BDF 的面积﹣弓形BD 的面积=△BDF 的面积﹣（扇形BOD 的面积﹣
△BOD 的面积）=22160(23)3123(23)23604
π⨯⨯⨯--⨯ =93﹣2π． 【点睛】
考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键．
12．如图①，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点P 是y 轴上的一个动点，连接PA ，试求5PA+4PC 的最小值；
（3）如图②，若直线l 经过点T （﹣4，0），Q 为直线l 上的动点，当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l 的解析式．
【答案】（1）233384y x x =-
++；（2）5PA+4PC 的最小值为18；（3）直线l 的解析式为334y x =+或334
y x =--. 【解析】
【分析】
（1）设出交点式，代入C 点计算即可 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，易证△CDP ∽△COB ，得到比例式
PC PD BC OB =，得到PD=45PC ，所以5PA+4PC ＝5（PA+45
PC ）＝5（PA+PD ），当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小，利用等面积法求出AE=
185，即最小值为18 （3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°，即∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q ，∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个；此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，利用cos ∠QFT 求出QG ，分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时，分别代入直接l 得到解析式即可
【详解】
解：（1）∵抛物线与x 轴交点为A （﹣2，0）、B （4，0）
∴y ＝a （x+2）（x ﹣4）
把点C （0，3）代入得：﹣8a ＝3
∴a ＝﹣38
∴抛物线解析式为y ＝﹣
38（x+2）（x ﹣4）＝﹣38x 2+34x+3 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D
∴∠CDP ＝∠COB ＝90°
∵∠DCP ＝∠OCB
∴△CDP ∽△COB ∴PC PD BC OB
= ∵B （4，0），C （0，3）
∴OB ＝4，OC ＝3，BC
∴PD ＝45
PC ∴5PA+4PC ＝5（PA+45
PC ）＝5（PA+PD ） ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小
∵A （﹣2，0），OC ⊥AB ，AE ⊥BC
∴S △ABC ＝
12AB•OC ＝12BC•AE ∴AE ＝631855
AB OC BC ⨯==n ∴5AE ＝18
∴5PA+4PC 的最小值为18．
（3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆
当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，
∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90° ∴∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q
∵当Q 在⊙F 上运动时（不与A 、B 重合），∠AQB ＝90°
∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个
此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G
∴∠FQT ＝90°
∵F 为A （﹣2，0）、B （4，0）的中点
∴F （1，0），FQ ＝FA ＝3
∵T （﹣4，0）
∴TF ＝5，cos ∠QFT ＝35
FQ TF = ∵Rt △FGQ 中，cos ∠QFT ＝
35FG FQ = ∴FG ＝35FQ ＝95
∴x Q ＝1﹣9455=-，QG
125== ①若点Q 在x 轴上方，则Q （41255
-，）
设直线l 解析式为：y ＝kx+b ∴404125
5k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线l ：334
y x =+ ②若点Q 在x 轴下方，则Q （41255--，
） ∴直线l ：334
y x =--
综上所述，直线l 的解析式为334y x =+或334
y x =--
【点睛】
本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q 点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论
13．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3cos 5
C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的P e 与边AB 的另一个交点为
D ，过点D 作D
E CB ⊥于点E .
()1当P e 与边BC 相切时，求P e 的半径；
()2联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；
()3在()2的条件下，当以PE 长为直径的Q e 与P e 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.
【答案】（1）409；（2）)25880010320x x y x x -+=<<+；（3）105-
【解析】【分析】
（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，
cosC=
3
5
，则
sinC=4
5
，sinC=
HP
CP
=
R
10R
-
=
4
5
，即可求解；
（2）PD∥BE，则
EB
PD
＝
BF
PF
，即：2
2
4880
5
x x x y
x y
--+-
=，即可求解；
（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=GP=BD，即：AB=DB+AD=AG+AD=45，即可求解．
【详解】
（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，
连接HP，则HP⊥BC，cosC=
3
5
，则sinC=
3
5
，
sinC=
HP
CP
=
R
10R
-
=
4
5
，解得：R=
40
9
；
（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=
3
5
，
设AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，过点B作BH⊥AC，
则BH=ACsinC=8，
同理可得：
CH=6，HA=4，5tan∠()2
2
84
x
+-2880
x x
-+
DA=
25
5
x，则BD=45
-
25
5
x，
如下图所示，
PA=PD，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，
tanβ=2，则cosβ=
5
，sinβ=
5
，
EB=BDcosβ=（45-
25
5
x）×
5
=4-
2
5
x，
∴PD∥BE，
∴EB
PD
＝
BF
PF
，即：2
2
4880
5
x x x y
x
--+-
=，
整理得：y=()
2
5x x8x80
0x10
-+
<<；
（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，
两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，
∵点Q时弧GD的中点，
∴DG⊥EP，
∵AG是圆P的直径，
∴∠GDA=90°，
∴EP∥BD，
由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，∴AG=EP=BD，
∴AB=DB+AD=AG+AD=45，
设圆的半径为r，在△ADG中，
AD=2rcosβ=
5，DG=
5
，AG=2r，
5+2r=45，解得：2r=
51
+
，
则：DG=
5
=10-25，
相交所得的公共弦的长为10-25．
【点睛】
本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．
14．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC＝23，AC＝2，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）23
【解析】
【分析】
（1）根据题目中已出现切点可确定用“连半径，证垂直”的方法证明切线，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF＝90°，根据同弧所对的圆周角相等，则可得到∠BAE＝∠F，既而得到AE与⊙O相切于点A．
（2））连接OC，先由平行和已知可得∠ACB＝∠ABC，所以AC＝AB，则∠AOC＝∠AOB，从而利用垂径定理可得AH＝1，在Rt△OBH中，设OB＝r，利用勾股定理解得r＝2，在Rt△ABD中，即可求得AD的长为3
【详解】
解：（1）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，
则AF为直径，∠ABF＝90°，
∵»»
AB AB
=，
∴∠ACB＝∠F，
∵∠BAE＝∠ACB，
∴∠BAE＝∠F，
∵∠FAB+∠F＝90°，
∴∠FAB+∠BAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A．
（2）连接OC，
∵AE∥BC，
∴∠BAE＝∠ABC，
∵∠BAE＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB＝2，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵OC＝OB，
∴OA⊥BC，
∴CH＝BH＝1
BC＝3，
2
在Rt△ABH中，
AH＝22
-＝1，
AB BH
在Rt△OBH中，设OB＝r，
∵OH2+BH2＝OB2，
∴（r﹣1）2+（3）2＝r2，
解得：r＝2，
∴DB＝2r＝4，
在Rt△ABD中，AD＝22
-＝22
BD AB
-＝23，
42
∴AD的长为23．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，恰当的添加辅助线是解题关键.
15．如图，已知等边△ABC，AB=16，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作
DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．
【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）．
【解析】
试题分析：(1)连接OD，根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根据OD=OB得到
∠ODB=60°，得到OD∥AC，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据
Rt△CDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据Rt△AFG的三角函数求出FG的长度；(3)过点D作DH⊥AB，根据垂直得出FG∥DH，根据Rt△BDH求出BH、DH的长度，然后得出∠GDH的正切值，从而得到∠FGD的正切值.
试题解析：(1)如图①，连结OD，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，
而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线
(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，
∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，
∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝
(3)如图②，过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝
考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.。