抚顺市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题 含解析

顺市2016－2017下学期高一期末考试
数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题)两部分,满分150分，考试时间为120分钟.
第I卷（60分）
选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

sin(−60∘)的值是（）
A。

√3π
6
B。

C。

D.
【答案】C
【解析】根据诱导公式可得
sin(−60∘)=−sin60∘=−√3
2
，故选C.
2. 一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）
A. π
3B. 2π
3
C. √3
D. √2
【答案】C
【解析】如图，
等边三角形ABC是半径为的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心
角∠AOB=2π
3,作OM⊥AB，垂足为M，在Rt△AOM中，AO=r，∠AOM=π
3
，
∴AM=√3
2
r，AB=√3r，∴l=√3r,由弧长公式l=|α|r，得α=l r=√3r r=√3．故选C.
3。

2014年3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会第二次会议的了解程度，抚顺市拟采用分层抽样的方法从A,B,C三所不同的中学抽取60名教师进行调查。

已知A,B,C学校中分别有180、270、90名教师,则从C学校中应抽取的人数为（)
A. 10 B。

12 C. 18 D. 24
【答案】A
【解析】根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为
90
×60=10,故选A。

180+270+90
点睛：本题主要考查了分层抽样方法及其应用,分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点,首先各确定分层抽样的个数,分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取,牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力．
4。

已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ）A。

B. C。

D.
【答案】B
【解析】试题分析：将逐一代入检验可知答案B满足，故应选B。

考点:线性回归方程及过定点的性质．
5. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩（满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为
（）
A. 9 B。

10 C. 11 D. 13
【答案】D
【解析】试题分析：由题意可得79+78+82+80+x+85+86+94+96
=86，解得x=8;
8
81+80+y
=83,解得y=5．∴x+y=8+5=13．故D正确．
2
考点：平均数,中位数．
6. 某学校为了解高一年级l203 名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40 的样本,考虑用系统抽样，则分段的间隔k为( )
A. 40 B。

30。

1 C。

30 D。

12
【答案】C
【解析】了解1203名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本,∵1203除以40不是整数,∴先随机的去掉3个人,再除以40，得到每一段有30个人,则分段的间隔k为30，故选C。

7。

阅读如图所示的程序框图，输出结果s 的值为
A。

1
16B. √3
16
C. 1
8
D。

1
2
【答案】A
【解析】由流程图可知：该程序的功能为计算S=cosπ
9cos2π
9
cos3π
9
cos4π
9
=
sinπ
9cosπ
9
cos2π
9
cos3π
9
cos4π
9
2sinπ
9
=sin
2π
9
cos2π
9
cos3π
9
cos4π
9
2sinπ
9
=sin
8π
9
cos3π
9
8sinπ
9
=1
8
×1
2
=1
16
，故选A。

8。

从1,2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）
A。

1
2B。

1
3
C. 1
4
D。

1
6
【答案】B
【解析】试题分析：任取两个数可能出现的情况为（1，2）、（1，3)、（1,4）、(2，3）、（2,4）、（3，4）;
符合条件的情况为（1，3)、（2,4），故P=1
3。

考点：古典概型概率
9。

若|a｜＝2sin 15°，｜b|＝4cos 15°,向量a与b的夹角为30°，则a·b的值是（）
A. B。

C. 2 D.
【答案】B
【解析】a⃗⋅b⃗⃗=|a⃗||b⃗⃗|cos30°=2sin15°×4cos15°×√3
2
=2√3sin30°=√3
10。

已知0<α<π
4,π
4
<β<3π
4
,sin(3π
4
+α)=5
13
,sin(π
4
+β)=3
5
则cos(α+β)的值为（）
A. −63
65B. −33
65
C. 63
65
D. 8
15
【答案】B
【解析】因为0<α<π
4，π
4
<β<3π
4
，所以3π
4
<3π
4
+α<π，π2<π4+β<π，
又因为sin(3π
4+α)=5
13
，sin(π
4
+β)=3
5
,所以cos(3π
4
+α)=−12
13
，cos(π
4
+β)=−4
5
，
故cos(α+β)=−cos(3π
4+α+π
4
+β)=sin(3π
4
+α)sin(π
4
+β)−cos(3π
4
+α)cos(π
4
+β)=5
13
×3
5
−12
13
×4
5
=
−33
65
,故选B.
11。

已知函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0,ω>0)的最大值为3，f(x)的图像在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，则f(1)+f(2)+ f(3)+⋯+f(100)=（）
A. 0 B。

100 C。

150 D. 200
【答案】D
【解析】解：由题意f(x)=2cos2(π
2x+π
4
)+1 =−sinπx+2,所以f(1)+f(2)+f(3)+⋯+
f(100)=100×2=200.
12. ∆ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|AO⃗⃗⃗⃗⃗ |= |AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |,则向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量BC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的射影的数量为（)
A。

3
2B。

√3
2
C。

3 D。

−√3
2
【答案】A
学％
科%网。

学％科%网。

..学%科%网。

..学%科%网。

..
点睛：本题考查向量加法的几何意义，向量投影的计算,得出△ABC 是以A为直角的直角三角形是关键；利用向量加法的几何意义得出△ABC是以A为直角的直角三角形．由题意画出图形,借助图形求出向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量BC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影.
第II卷(非选择题）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量a＝（2，1)，b⃗＝（x,－2）,若a∥b⃗,则a+b⃗=_______.
【答案】(-2，-1)
【解析】由a⃗//b⃗⃗得：2×(−2)=x,即x=−4,则a⃗+b⃗⃗=(−2,−1),故答案为(−2,−1).
14。

用秦九韶算法计算f（x）＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x ＋64当x＝2时的值时，V4的值为_____．
【答案】80
15。

在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
【答案】√3π6
【解析】试题分析：以三个顶点为圆心，以1为半径作圆，把三角形分为四部分，中间部分到三个顶点的距离均大于1,三个角
部分面积为:12×π×12
=12π,正三角形ABC 面积为：12
×2×2×sin600=√3，使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率为π
2
√3=√3π6． 考点：几何概型．
【方法点睛】几何概型是一种特殊的概率模型，解决几何概型的求概率问题，关键是要构造出随机事件的几何图形．利用图形的几何度量求随机事件的概率,通常包括与长度有关的几何概型、与角有关的几何概型、面积型几何概型、体积型几何概型等．如何转化为数学模型来求解是一个难点．
16. 三角形ABC 是锐角三角形,若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A
－cos B ，cos A －sin B ），则sinθ|sinθ|
＋cosθ|cosθ|＋tanθ
|tanθ|的值是________。

【答案】-1
【解析】因为△ABC 为锐角三角形，所以0°<A ，B ，C <90°，所以0°<90°−B <
A <90°
，所以sinA >sin （90°−B ）=cosB ，同理sinB >cosC ，即点P 位于第四象
限，所以sinθ|sinθ|
＋cosθ|cosθ|＋tanθ
|tanθ|=−1，故答案为−1.
三．解答题:本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知角α为第三象限角，f (α)=sin(α−π
2
)cos(
3π
2
+α)tan (π−α)tan (−α−π)sin (−α−π)
，若cos (α−3π2)=1
5
,求f (α)的值。

【答案】2√6
5
【解析】试题分析：利用诱导公式化简可得f (α)=−cosα，同时sinα=−15，故而可得最后结果。

试题解析:f (α)=
sin(α−π
2
)cos(
3π
2
+α)tan (π−α)tan (−α−π)sin (−α−π)
=
(−cosα)(sinα)(−tanα)
(−tanα)sinα
=−cosα
，
∵cos (α−
3π
2
)=1
5,∴−sinα=1
5 ,从而sinα=−15 ，
又α 为第三象限角，则cosα=−√1−sin 2α=−2√6
5 ， 即f (α) 的值为2√65。

18。

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出。

某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准
0〜3.5，用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费)。

为了较为合理地确定出这个标准,通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图。

（1）由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失,请在图中将其补充完整;
(2)用样本估计总体，如果希望80％的居民每月的用水量不超出标准0〜3.5，则月均用水量的最低标准定为多少吨,请说明理由； （3)从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表).
【答案】(1）答案见解析；（2）2.5吨，理由见解析;（3）1.875.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意确定出1.5−2t用户的频率
，补全
组距
频率分布直方图即可;（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨，理由为:样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，根据样本估计总体作出解释即可;(Ⅲ）找出居民用水量的众数，中位数，求出平均数即可。

试题解析：（Ⅰ)
(Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2。

5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80％的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2。

5吨.
（Ⅲ)这100为居民的月均用水量的平均数为：
0.5×(1
4×0.10+3
4
×0.20+5
4
×0.30+7
4
×0.40+9
4
×0.60+11
4
×0.3+13
4
×0.1)=1.875。

19. 已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线m:x+2y+7=0相切,过点x1∈[0,π]的动直线与圆f(x1)∈[0,2]相交于x2∈[0,π]两点。

（1)求圆A的方程；（2）当|MN|=2√19时,求直线的方程。

【答案】（1)(x+1)2+(y−2)2=20；(2) 3x−4y+6=0或x=−2。

【解析】试题分析：(1)利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程;(2)根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程.
试题解析：（1）(x+1)2+(y−2)2=20；（2）x=−2或3x−4y+6=0。

试题解析：（1）由题意知A(−1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径R ∴R=
√5
=2√5∴圆A的方程为(x+1)2+(y−2)2=20
（2)设线段MN的中点为Q,连结QA，则由垂径定理可知∠MQA=90°，且MQ=√19，在RtΔAMQ中由勾股定理易知AQ=√AM2−MQ2=1
当动直线的斜率不存在时，直线的方程为x=−2时，显然满足题意；。

.
当动直线的斜率存在时,设动直线的方程为：y=k(x+2)
由A(−1,2)到动直线的距离为1得
√1+k2=1⇒k=3
4
∴3x−4y+6=0或x=−2为所求方程。

点睛:本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题,考查学生分析解决问题的能力，属于中档题;当直线与圆相交时，弦长的一半，圆心到直线的距离以及圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理得参数,当所求直线只有一个结果时,一定要注意斜率不存在的情形。

20. 一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品。

现随机抽出两件产品，
求恰好有一件次品的概率。

（2）求都是正品的概率。

【答案】（1)8
15;(2）2
5。

【解析】试题分析：（1)所有的取法共有15种，而恰好有一件次品的取法有8种，由此求得恰好有一件次品的概率；（2）所有的取法共有15种，而取出的2件产品都是正品的取法有6种，由此求得取出的2件产品都是正品的概率。

试题解析：将六件产品编号,ABCD(正品),ef（次品),从6件产品中选2件，其包含的基本事件为：（AB）（AC)（AD）（Ae)（Af）（BC）（BD）(Be)（Bf）（CD）（Ce）（Cf)（De）(Df）(ef）.共有15种，（1）设恰好有一件次品为事件A，事件A中基本事件数为：8，则P（A）＝8
15
（2）设都是正品为事件B，事件B中基本事件数为：6，则P（B)＝
21。

已知向量a =(√3cosx,0),b ⃗ =(0,sinx )，记函数f (x )=(a +b
⃗ )2
+√3sin2x .求: (I ）函数f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合； （II ）函数f (x )的单调递增区间。

【答案】(Ⅰ) {x|x =kπ−π3,k ∈Z}时最小值0 ；（Ⅱ） [kπ−π3,kπ+π
6
](k ∈Z ) 。

【解析】试题分析:（1）根据平面向量的坐标运算得(a
⃗+b ⃗⃗)2=1+2cos 2x ,再结合二倍角的余弦公式和辅助角公式化简，得到f(x)=2sin(2x +π6)+2
，最后根据正弦函数最值的结论，可得f （x ）的最小值及取最小
值时x 的集合;（2）根据（1)化简得的表达式，列出不等式2kπ−π2≤2x +π
6
≤2kπ+
π2
（k∈Z）,解此不等式再将它变成区间，即可得到函数f (x ）的
单调递增区间
试题解析：(Ⅰ）由题意：a
⃗+b ⃗⃗=(√3cosx,sinx), 所以，(a
⃗+b ⃗⃗)2=|a ⃗+b ⃗⃗|2=(√3cosx)2+(sinx)2=3cos 2x +sin 2x 因此，
f(x)=3cos 2x +sin 2x +√3sin2x =1+2cos 2x +√3sin2x
=2+cos2x +√3sin2x =2+2sin(2x +π6
)
当
2x +π6
=2kπ−
π2
，即
x =kπ−
π3
(k ∈Z)时,f(x)取得最小值.
此时sin(2x +π6
)=−1，f(x)最小值=2−2×1=0 （Ⅱ）由题意：2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2
即
kπ−π3≤x ≤kπ+π
6
于是，f(x)的单调递增区间是[k π−π
3,k π+π6
](k ∈Z) 考点:平面向量的综合题；复合三角函数的单调性
22。

已知函数f (x )=sin 2x −√3sinxcosx +12,g (x )=mcos (x +π
3
)−m +2. （1）若对任意的x 1,x 2∈[0,π]，均有f (x 1)≥g (x 2)，求m 的取值范围;
(2）若对任意的x∈[0,π]，均有f(x)≥g(x)，求m的取值范围。

【答案】(1）m≥4；(2）m≥3.
【解析】试题分析：（1）求出f(x1)的最小值为0，g(x2)的最大值，使得0≥−1
2
m+2成立即可；(2）利用分离参数思想，将其转化为
m≥2[cos(x+π
3
)+1]恒成立，故可求得其结果。

试题解析：（1）f(x)=sin2x−√3sinxcosx+1
2=1−cos2x
2
−√3
2
sin2x+1
2
=1−sin(2x+π
6
),
由x1∈[0,π],得f(x1)∈[0,2]。

x2∈[0,π]，当m≥0时，g(x2)∈[−2m+2,−1
2
m+2]，要使f(x1)≥g(x2)恒成立，只需0≥−12m+2，解得。

当时，,要使恒成立，只需0≥−2m+2，矛盾。

综上的取值范围是.
（2）
,
要使f(x)≥g(x)恒成立,只需，
则,因为，，
所以只需恒成立，则所求的的取值范围为。

点睛：本题主要考查了恒成立问题，常见的问题有两种形式即任意的x1,x2恒成立和任意x恒成立，对于第一种形式应转化为求其最大值和最小值，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为a>ℎ(x)或a<ℎ(x)恒成立，即a>ℎmax(x)或a<ℎmin(x)即可,利用导数知识结合单调性求出ℎmax(x)或ℎmin(x)即得解。