高考数学试题分类汇编坐标系与参数方程矩阵与变换

专题二十一 矩阵与变换
1.（15年福建理科）已知矩阵2111,.4301A B 骣骣琪琪==琪琪-桫桫
(Ⅰ)求A 的逆矩阵1A -； (Ⅱ)求矩阵C ，使得AC=B.
【答案】(Ⅰ)312221⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭； (Ⅱ)32223⎛⎫
⎪ ⎪--⎝⎭
． 【解析】
试题分析：因为2143A 骣琪=琪桫，得伴随矩阵3142A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，且2A =，由1
1A A A -=可求得1A -；(Ⅱ) 因为AC B =，故1
C A B -=，进而利用矩阵乘法求解． 试题解析：(1)因为|A|=23-14=2创
所以1
3
13
1222242212
2A --⎛⎫
⎛⎫ ⎪-
⎪==
⎪
⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭
(2)由AC=B 得1
1
()C A A A B --=,
故1313112C ==222012123A B -⎛⎫⎛⎫
-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭---⎝⎭⎝⎭
考点：矩阵和逆矩阵．
2.（15年江苏）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣
⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.
【答案】1120-⎡⎤
A =⎢⎥⎣⎦
,另一个特征值为1．
【解析】
试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y 的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值
试题解析：由已知，得2ααA =-，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
则122x y -=-⎧⎨
=⎩，即12x y =-⎧⎨=⎩，所以矩阵1120-⎡⎤
A =⎢⎥
⎣⎦
． 从而矩阵A 的特征多项式()()()21f
λλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．
考点：矩阵运算，特征值与特征向量
专题二十二 坐标系与参数方程
1.（15北京理科）在极坐标系中，点π23⎛
⎫ ⎪⎝
⎭‚到直线()
cos 6ρθθ=的距离为
．
【答案】1 【解析】
试题分析：先把点(2,)3
π
极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()
cos 6ρθθ=化为
直角坐标方程60x +
-=，利用点到直线距离公式1d =
=.
考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.
2.（15年广东理科）已知直线l 的极坐标方程为24
sin(2=-）π
θρ，点A 的极坐标为
7
4A π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，则点A 到直线l 的距离为
【答案】
2
．
【解析】依题已知直线l ：2sin 4πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭74A π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以
点A 与直线l 的距离为
2
d =
=
，故应填入． 【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．
3.（15年广东文科）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1
C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+
=-，曲线2C 的参数方程为2
x t
y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角
坐标为 ． 【答案】()2,4- 【解析】
试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为2
8y x =，由2
2
8x y y x
+=-⎧⎨=⎩得：2
4
x y =⎧⎨
=-⎩，
所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 4.（15年福建理科）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x t
y t
ì=+ïí
=-+ïî为参数.在极坐标系（与
平面直角坐标系xoy
取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为
sin()m,(m R).4
p
q -
=? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值． 【答案】(Ⅰ) ()()
22
129x y -++=，0x y m
--=；(Ⅱ) m=-3±
【解析】
试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()
()2
2
1
29x y -++= ，利用cos x ρθ=，
sin y ρθ=将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．
试题解析：(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()
()2
2
129x
y -++=,
sin()m 4
p
q -
=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=.
(Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即
|12m |
2
，--+=解得m=-3±考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．
5.（15年新课标2理科）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t α
α=⎧⎨=⎩
（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，
在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。

（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；
（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。

6.（15年新课标2文科）在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,
:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,
在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.
【答案】（I ）()30,0,2⎫
⎪⎪⎝⎭
；（II ）4. 【解析】
试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为22
20x y y +-=
,22
0x y +-=,
联立解
考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.
7．（15年陕西理科）在直角坐标系x y O 中，直线l
的参数方程为1322
x t y t ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x
轴正半轴为极轴 建立极坐标系，
C
的极坐标方程为ρθ=．
（I ）写出C 的直角坐标方程；
（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I
）(2
2
3x y +=；（II ）()3,0．
【解析】
试题分析：（I
）先将ρθ=两边同乘以ρ
可得2sin ρθ=，再利用222x y ρ=+，sin x ρθ=可
得
C 的直角坐标方程；（II ）先设P
的坐标，则C P =C P 的最小值，
进而可得P 的直角坐标．
试题解析：（I
）由2
,sin ρθρθ==得，
从而有(2
222
+,+3x y x y =-=所以.
(II)
设1(3t,t),22P +又,
则|PC |== 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.
8.（15年陕西文科）在直角坐标版权法xOy 吕，直线l
的参数方程为132(2
x t t y t ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩为参数）
，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
C
的极坐标方程为ρθ=.
(I)写出
C 的直角坐标方程；
(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 【答案】
(I) (2
2
3x y +-=； (II) (3,0).
【解析】
试题分析：(I)
由ρθ=
，得2sin ρθ=
，从而有22
x y +=
，所以(2
2
3x y +-=
(II)
设13,22P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，
又(0,C ，
则PC ==故当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0). 试题解析：(I)
由ρθ=，
得2
sin ρθ=，
从而有22
x y +=
所以(2
2
3x y +-=
(II)
设13,22P t ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，又C ，
则PC ==
故当0t =时，PC 取得最小值， 此时P 点的坐标为(3,0).
考点：1. 坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.
9.（15年江苏）已知圆C 的极坐标方程为2sin()404
π
ρθ+--=，求圆C 的半径.
考点：圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化。