2018秋数学人教A版必修5课件：第一章1-1第1课时正弦定理 精品

和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的_元__素__，已知三角形 的 n 个元素， 求其他元素的过程叫做_解__三__角__形___．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在 Rt△ABC 中，若 C 为直角，则 sin A＝ac.( )
(2)在△ABC 中，若 a＞b，则 A＞B.( )
无解
a＞b 一解
a≤b 无解
[变式训练] 已知在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B
＝45°，解这个三角形．
解：由正弦定理得sin3A＝sin
2 ，sin 45°
A＝
23，A＝60°
或 120°. 当 A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，由 c ＝ sin 75°
2 得 c＝ sin 45°
因为 sin2A＝sin2B＋sin2C，所以2aR2＝2bR2＋2cR2， 即 a2＝b2＋c2. 所以 A＝90°，所以 B＋C＝90°. 由 sin A＝2sin Bcos C， 得 sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)， 所以 sin2 B＝12.
因为 B 是锐角，所以 sin B＝ 22， 所以 B＝45°，C＝45°， 所以△ABC 是等腰直角三角形． 法二：在△ABC 中，根据正弦定理： sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
答案：A
3．在△ABC 中，已知∠A＝150°，a＝3，则其外接 圆的半径 R 的值为( )
A．3 B. 3 C．2 D．不确定 解析：因为sina A＝2R，所以 2R＝31＝6，所以 R＝3.
2
答案：A
4. 在△ABC 中，sin A＝sin C，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解析：因为 sin A＝sin C，则 A＝C 或 A＝π－C，但
在△ABC
中，因为
sin
B＝
22，得
π 3π B＝4或 4 ，故不正确．
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．在△ABC 中，当 sin A＞sin B，则角 A 与角 B 的 大小关系为( )
A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．不能确定 解析：因为在△ABC 中大边对大角，又知sina A＝sinb B 及 sin A＞sin B，所以 a＞b，所以 A＞B.
归纳升华 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主 要有以下两种解法： (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过 因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的 形状；
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数 间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而 判断出三角形的形状，此时要注意应用 A＋B＋C＝π这个 结论．
[自主解答] 由正弦定理可知：sina A＝sinb B， 即sin230°＝sinb45°， 所以 b＝2 2.又 C＝180°－30°－45°＝105°， 由正弦定理有： 2 ＝ c ，
sin 30° sin 105° 即 c＝4 sin(60°＋45°)＝ 6＋ 2.
归纳升华 已知两角及一边解三角形的方法
6＋ 2
2 .
当 A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，由 c ＝ sin 15°
2 得 c＝ sin 45°
6－ 2
2 .
6＋ 2 所以 A＝60°，C＝75°，c＝ 2 或 A＝120°，C＝
6－ 2 15°， c＝ 2 .
类型 3 利用正弦定理判断三角形的形状(互动 探究) [典例 3] 在△ABC 中，若 sin A＝2sin Bcos C，且 sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC 的形状． 解： 法一：在△ABC 中，根据正弦定理：sina A＝sinb B ＝sinc C＝2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．
在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因 式，应移项提取公因式，以免漏解．
[迁移探究] 若将上例题设中的“sin A＝2sin Bcos C”改为“bsin B＝csin C”，其余条件不变，试解答．
解：由正弦定理，设sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. 从而得 sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR. 因为 bsin B＝csin C，sin2 A＝sin2 B＋sin2 C，
(1)若所给边是已知角的对边时，可先由正弦定理求 另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正 弦定理求第三边．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角 和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
[变式训练] 在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60°，C ＝75°，求 A，b，c.
解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°， 由正弦定理sinb B＝sina A， 得 b＝assiinnAB＝8×sinsin456°0°＝4 6，由sina A＝sinc C，
2＋ 6
得 c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
4 2
＝4( 3＋1)．
2
类型 2 已知两边及一边的对角解三角形
[典例 2] 已知下列各三角形中的两边及一边的对 角，解三角形．
(1)a＝10，b＝20，A＝60°； (2)b＝10，c＝5 6，C＝60°； (3)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
因为 sin2 A＝sin2 B＋sin2 C， 所以 a2＝b2＋c2， 所以△ABC 是直角形且 A＝90°. 从而 B＋C＝90°，sin B＝cos C，由 sin A＝2sin Bcos C， 所以 sin2 B＝12，则 B＝45°，从而 B＝C＝45°. 所以△ABC 是等腰直角三角形．来自解：(1)由正弦定理得：
sin
B＝bsian
A＝20·s1in0
60° ＝
3＞1，
所以三角形无解．
(2)由正弦定理得：
sin B＝bsicn C＝10·5sin660°＝ 22，
所以 B＝45°或 135°，又因为 b＜c， 所以 B＜C，所以 B＝45°， A＝180－(B＋C)＝75°， 所以 a＝bssiinnBA＝10s·isnin457°5°＝5( 3＋1)． (3)由正弦定理得：
3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的 问题：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角． 4．特别强调：把 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B 代入已知 等式，可将边角关系全部转化为三角函数关系．
(3)在△ABC 中，C＝π－A－B.( )
(4)在△ABC
中，若
sin
B＝
22，则
π B＝ 4 .(
)
π 解析：(1)在 Rt△ABC 中，因为∠C＝2，由初中三角 函数定义知 sin A＝ac成立，故正确．(2)在三角形中总有大 边对大角，因为 a＞b，所以 A＞B，故命题正确．(3)因为
在△ABC 中，A＋B＋C＝π，所以 C＝π－A－B，故正确．(4)
所以 b·2bR＝c·2cR，2aR2＝2bR2＋2cR2， 所以 b2＝c2，a2＝b2＋c2， 所以 b＝c，A＝90°. 所以△ABC 为等腰直角三角形．
1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦值越大所对 的边就越长．
2．由正弦值得出角的大小时特别要注意的是一个解 还是两个解．一般地，已知 a，b，A 解三角形时，只有 A 为锐角且 bsin A＜a＜b 时，有两解；其他情况时则只有 一解或无解．
第一章 解三角形
1．1 正弦定理和余弦定理 第 1 课时 正弦定理
[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度关系的 探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法． 2.能运用正 弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
[知识提炼·梳理]
1．在 Rt△ABC 中的有关定理，在 Rt△ABC 中，C
当
B＝60°时，C＝90°，c＝assiinnAC＝2
3sin 90° ＝4
sin 30°
3；
当
B＝120°时，C＝30°，c＝assiinnAC＝2
3sin 30° ＝2
sin 30°
3.
所以 B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，
c＝2 3.
归纳升华 (1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的
情形，通过结合边越长则角越大的知识，可做出正确选择． (2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形，可能
有两解、一解或无解．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情 况如下：
A 图形
A为锐角
A为钝角或直角
关系 ①a＝bsin A bsinA＜
式
②a≥b
a＜b
解的 个数
一解
两解
a＜ bsin A
π ＝90°，则有：(1)A＋B＝__2_，(2)a2＋b2＝_c_2 (勾股定理)． 2．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦
的比相等，即_si_na__A_＝__s_in_b_B_＝__s_i_nc_C_，这个比值是三角形外 接圆的_直__径__．
3．解三角形，一般地，把三角形的三个角 A，B，C
若 A＝π－C，则 A＋C＝π与 A＋B＋C＝π矛盾．
答案：B
5．如图，在△ABC 中，若 B＝60°，sin A＝13，BC ＝2，则 AC＝________．
解析：由正弦定理：siBnCA＝siAnCB，所以 AC＝ssiinn BA·BC ＝323×2，所以 AC＝3 3.
答案：3 3
类型 1 已知两角及一边解三角形(自主研析) [典例 1] 在△ABC 中，已知 A＝30°，B＝45°，a＝ 2，解三角形．