安徽省阜阳市界首界首中学2020年高三数学文模拟试题含解析

安徽省阜阳市界首界首中学2020年高三数学文模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列各式错误的是（）.
A. B.
C. D.
参考答案：
C
2. 若，则( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
直接利用二倍角的余弦公式求解.
【详解】由题得.
故选：A
【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）
A． 232 B．252 C．472 D．484
参考答案：考点：排列、组合及简单计数问题．
分析：不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．
解答：解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，
故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472
故选C．
点评：本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．
4. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且，则的值是（）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 16
参考答案：
C
【分析】
由得,即,利用等差数列的性质可得.
【详解】由得，，即，所以
，选C．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查等差数列的性质：若则
,考查运算求解能力，属于基本题.
5. 在等比数列{a n}中，，则首项a1=（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
6. 过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为
( )
A．或 B．
C．或 D．或
参考答案：
D
略
7. 某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1﹣60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知3号、33号、48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）
A．28 B．23 C．18 D．13
参考答案：
C
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号．
【解答】解：抽样间隔为15，故另一个学生的编号为3+15=18，
故选C．
【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题．
8. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是
（） A．B．C．
D．
参考答案：
C
9. 已知命题p：?x∈R，sinx≤1．则￢p是( )
A．?x∈R，sinx≥1B．?x∈R，sinx＞1 C．?x∈R，sinx≥1D．?x∈R，sinx＞1
参考答案：
B
考点：特称命题；命题的否定．
专题：计算题．
分析：根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为?x∈R，使得sinx＞1．
解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得，
命题p：?x∈R，sinx≤1的否定是?x∈R，使得sinx＞1
故选B．
点评：本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系的应用，属于基础试题
10. 在不等式组确定的平面区域中，若的最大值为，则的值为（）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移φ(0＜φ＜)个单位后，所的图像对应的函数为偶函数，则φ= .
参考答案：
12. 已知复数z满足（3+4i）z=1（i为虚数单位），则z的实部为．
参考答案：
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．
【解答】解：∵（3+4i）z=1，∴（3﹣4i）（3+4i）z=3﹣4i，∴z=﹣i，
∴z的实部为．
故答案为：．
13. 设是的三边中垂线的交点,分别为角对应的边,已知,则
的范围是___________________.
参考答案：
略
14. （2016?沈阳一模）已知抛物线x2=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|= ．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．由∠AFO=30°，可得
x A=．由于PA⊥l，可得x P=，y P=，再利用|PF|=|PA|=y P+1即可得出．
【解答】解：由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．
∵∠AFO=30°，∴x A=．
∵PA⊥l，
∴x P=，y P=，
∴|PF|=|PA|=y P+1=．故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．
15. 如图所示, C是半圆弧x2+y2=1(y≥0)上一点, 连接AC并延长至D, 使|CD|=|CB|, 则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时,D点的轨迹是_______的一部分，D点所经过的路程
为.
参考答案：
圆，
解：设点（其中D点不与A、B两点重合），连接BD，
设直线BD的倾斜角为，直线AD的倾斜角为。

由题意得，。

因为|CD|=|CB|,所以
，则有，即，即
由此化简得（其中D点不与A、B两点重合）．
又因为D点在A、B点时也符合题意，
因此点D的轨迹是以点（0，1）为圆心，为半径的半圆，
点D所经过的路程．
16. 的展开式中的系数是
参考答案：
略
17. （坐标系与参数方程选做题）已知两曲线的参数方程分别为和
，它们的交点坐标为___________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）
在四棱锥中，底面是正方形，为的
中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的
值，若不存在，请说明理由．
参考答案：
解：（I）连接.
由是正方形可知,点为中点.
又为的中点，
所以∥………………….2分
又
所以∥平面………….4分
(II) 证明：由
所以
由是正方形可知,
又
所以………………………………..8分
又
所以…………………………………………..9分
(III) 在线段上存在点，使. 理由如下：
如图，取中点，连接.
在四棱锥中，，
所以.…………………………………………………………………..11分
由（II）可知，而
所以，
因为
所以…………………………………………………………. 13分
故在线段上存在点，使.
由为中点，得…………………………………………… 14分
19. （本小题满分12分）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的值域。

参考答案：
本题主要考查三角函数式的化简、三角函数的图象及性质，区间上的三角函数的值域等。

考查运算能力和推理能力。

解：（Ⅰ）所以周期为。

（Ⅱ）∵，∴，
又∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴当时取得最大值1。

又∵，
∴当时取得最小值。

∴函数在区间上的值域为。

20. 已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．
（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；
（2）若AB为圆M的任意一条直径，且?=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．
参考答案：
【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为l：y﹣5=k（x﹣4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．
（2）?=（+）?（+），即可得出结论．
【解答】解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意；
斜率存在时，切线l的斜率为k，则l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0
由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，
综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；
（2）?=（+）?（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，
∴圆M的半径==．
21. 已知等差数列{a n}的公差不等于零，前n项和为S n，a5=9且S1，S2，S4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）由已知得：a5=a1+4d=9，，即
（=a1．
∵d≠0，∴d=2a1，
∴a1=1，d=2，
∴数列{a n}的通项公式a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（2），
，
，
，
．
22. 某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其
中一个座位的总费用为k元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．
(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(2)当k＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？
参考答案：
略。