专题02 过“三关”破解数列新情境问题 (第三篇)

2020高考数学压轴题命题区间探究与突破专题
第三篇数列
专题02 过“三关”破解数列新情境问题
一．方法综述
新定义型数学试题，背景新颖、构思巧妙，主要通过定义一个新概念或约定一种新运算，或给定一个新模型来创设新的问题情境，要求我们在充分阅读题意的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利地解决问题，这类题型能有效地区分学生的思维能力和学习能力．含“新信息”背景的数列问题，往往使人感到是难题.难点通常为：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点.传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和”.但新信息问题所问的因为与新信息相关，所以要运用的知识隐藏的较深，不易让学生找到解题的方向.三是此类问题的解答题，往往设计成为“连环题”，即前面问题的处理是为了后一问做好铺垫.但学生不易发现其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整旗鼓，再加上可能要进行的分类讨论，解题难度陡然增加.
本专题所说“三关”即解答应用题的“三关”：一是事理关，即读懂题目，理解题意，分清条件和结论，理清数量关系；二是文理关，即把文字语言、新情景转化为熟悉的数学语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，利用已知的数列知识、解题的方法和技巧求解.
下面通过例题说明应对数列新情境问题的方法与技巧.
二．解题策略
类型一传统文化问题，过好“事理关”
【例1】【2020·湖南衡阳一中期末】古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件，若使得该女子所织布的尺数不少于10尺，则该女子所需的天数至少为（）
A．8 B．7 C．6 D．5
【指点迷津】
运用所学知识去分析解答日常生活和生活实际中的实际问题是学习数学的需要和学习数学的目的.这类问题要求运用所学的等差数列、等比数列知识去求解古代著名而古老是数学问题.解答时要求准确理解用古文语言给出的数学问题的含义是解答好本题的关键，熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，既
是基础又是有力保障.
【举一反三】
【2020·陕西省铜川二中月考】《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（ ）
A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两
B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱
C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱
D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两
类型二 新定义问题，把好“数理关”
【例2】【2020·湖北随州二中期末】下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为,i j a ，则7,8a =______，表中的数2021共出现______次．
【例3】【2019·上海中学期中】若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有_______________项.
【例4】【020·上海市进才中学期中】给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意的*n N ∈，都有||2n n b a -…，则称{}n b 与{}n a “比较接近”.
（1）设{}n a 是首项为1，公比为
14的等比数列，*12,n n b a n N +=+∈，判断数列{}n b 是否与{}n a “比较接近”；
（2）设数列{}n a 的前四项为：12342,4,8,16a a a a ====，{}n b 是一个与{}n a 比较接近的数列，记集合{}|,1,2,3,4i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；
（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 较接近，且在
213220192018,,,b b b b b b ---L 中至少有1009个为正，求d 的取值范围.
【指点迷津】
1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
2.新定义问题的解题要求：
(1)提取新定义的信息，明确新定义的名称和符号；
(2)深刻理解新定义的概念、法则、性质，纵横联系探求解题方法，比较相近知识点，明确不同点；
(3)对新定义中提取的知识进行等价转换，其中提取、化归与转化是解题的关键，也是解题的难点．
3.新定义问题的解题思路为：
①若新定义是运算法则，直接按照运算法则计算即可；
②若新定义是性质，要判断性质的适用性，能否利用定义外延；也可用特殊值排除等方法．
【举一反三】
1.【2016·全国卷Ⅲ】定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于“1”的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A ．18个
B ．16个
C ．14个
D ．12个
2.【2020·北京十中期中】定义“等积数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积.已知数列{}n a 是12a =，公积为6-的等积数列，则3a =______；数列{}n a 的前n 项和n S =______.
3.【2020上海市松江二中月考】若数列{}n a 满足条件：存在正整数k ，使得
n k n n n k a a a a +-=对一切*n N ∈，n k >都成立，则称数列{}n a 为k 级等比数列；
（1）已知数列{}n a 为2级等比数列，且前四项分别为4、
13、2、1，求89a a ⋅的值； （2）若2sin()6n n a n π
ω=+（ω为常数），且数列{}n a 是3级等比数列，求ω所有可能的值，并求ω取最
小正值时数列{}n a 的前3n 项和3n S ；
（3）证明：正数数列{}n a 为等比数列的充要条件是数列{}n a 既为2级等比数列，也为3级等比数列；
三．强化训练
1.【2020·重庆市松树桥中学校高一期中】）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题:“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米180石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分36石，那么三人各分得多少白米？”.请问：丙应该分得（ ）白米
A ．96石
B ．78石
C ．60石
D ．42石
2.【2020·福建福州一中期末】设数列{}n a 满足：*1156,,N 4n n a a a n +⎡==+∈⎢⎣，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，n S 为{}n a 前n 项和，则2020S 的个位数字是( )
A ．6
B ．5
C ．2
D ．1
3．【2020黑龙江哈尔滨三中月考】如下分组正整数对:第1组为{}(1,2),(2,1),第2组为{}(1,3),(3,1),第3组为{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),第4组为{}(1,5),(2,4),(4,2),(5,1),L 依此规律,则第30组的第20个数对是
( )
A ．(12,20)
B ．(20,10)
C ．(21,11)
D ．(20,12)
4．【2020·云南大理一中期末】《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为_______.
5．【2019·衡水中学实验学校高三期中】数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______.
6．【2020·重庆市松树桥中学校期末】对于正项数列{}n a ，定义12323n n a a a na G n
+++⋅⋅⋅+=
为数列{}n a 的“匀称”值.
(1)若当数列{}n a 的“匀称”值n G n =，求数列{}n a 的通项公式；
(2)若当数列{}n a 的“匀称”值2n G =，设()()128141n n n b n a +=--，求数列{}n b 的前2n 项和2n S 及2n S 的最小值. 7．【2020·上海崇明中学期末】若数列{}n a 中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{}n a 为“等比源数列”。

（1）在无穷数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，求数列{}n a 的通项公式；
（2）在（1）的结论下，试判断数列{}n a 是否为“等比源数列”，并证明你的结论；
（3）已知无穷数列{}n a 为等差数列，且10a ≠，n a Z ∈（n *∈N ），求证：数列{}n a 为“等比源数列”. 8．【2020上海松江中学期末】设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2n n n n T b +=-（*N n ∈），且52d a b ==，若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<（*N k ∈，3k ≥），则称m 具有性质k P . （1）请判断1b 、2b 是否具有性质6P ，并说明理由；
（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若{2}n n S a λ-是单调递增数列，求证：对任意的k （*N k ∈，3k ≥），实数λ都不具有性质k P ；
（3）设n H 是数列{}n T 的前n 项和，若对任意的*N n ∈，21n H -都具有性质k P ，求所有满足条件的k 的值.
9．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上第二次质检】已知数列
的前n 项和为，．
（Ⅰ）求数列
的通项公式； （Ⅱ）设数列的前n 项和为，，点在直线上，若存在，使不等式成立，求实数m 的最大值．
10．【2020·北京十四中期末】给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、L 、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L . 将1m 、2m 、L 、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值.
（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；
（Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j ≠时，判
断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由； （Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值.。