2003高考试卷江苏卷

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数 学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2
y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区
域（不包含边界）为（ ）
（2）抛物线2
ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）
（A ）
8
1 （B ）－
81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==
-∈x tg x x 2,5
4
cos ),0,2
(则π
（ ）
（A ）
24
7 （B ）－
24
7 （C ）
7
24 （D ）－
7
24 （4）设函数0021
,1)(0
,,
0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1） （B ）(1,)-+∞
（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）
（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足
[)(
),0,,AB AC OP OA P AB
AC
λλ=++
∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的
（A ）外心
（B ）内心
（C ）重心
（D ）垂心
（6）函数1
ln
,(1,)1
x y x x +=∈+∞
-的反函数为（ ）
a (A)
(B) (C) (D)
（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1
,(0,)1x x
e y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1
,(,0)1
x x
e y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为
（ ）
（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）3
12
a
（8）设2
0,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,
,4P π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） （A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦
（9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为4
1的的等差数列，
则=-||n m （ ）
（A ）1 （B ）4
3 （C ）21 （D ）83
（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为3
2
-
，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14
32
2=-y x （B ）
13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）1522
2
=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和
AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（3
1，1） （B ）（
31，32） （C ）（52，21
） （D ）（5
2，32）
（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
（A ）π3
（B ）4π
（C ）π33
（D ）π6
2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数 学（理工农医类）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

（13）92)21(x
x -的展开式中9
x 系数是
（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。

为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆。

（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）。

现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种。

（以数字作答） （16）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题
①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则。

②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则
③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则 其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤
（17）（本小题满分12分）
有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验。

（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率。

（精确到0.001）
（18）（本小题满分12分）
已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点
3(
,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是单调函数。

求ωϕ和的值。

（19）（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G （Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离
（20）（本小题满分12分）
已知常数0,(0,),(1,0)a c a i >==向量。

经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中R λ∈。

试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值。

若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由。

D E K
B
C 1
A 1
B 1
A
F
C
G
（21）（本小题满分12分）
已知0,a n >为正整数。

（Ⅰ）设()n
y x a =-，证明1
'()
n y n x a -=-；
（Ⅱ）设()()n n
n f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'()n n f n n f n ++>+。

（22）（本小题满分14分）
设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2
:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为
11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11
n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a
（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）当11
1,2a a =≤时，证明121
1()32n k k k k a a a ++=-<∑
（Ⅲ）当1a =时，证明121
1
()3
n
k k k k a a a ++=-<
∑。