初中数学竞赛试题汇编

初中数学竞赛试题汇编标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
C
（第2
题
中国教育学会中学数学教学专业委员会
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
（本卷满分120分，考试时间120 分钟）
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．
1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）
A ．4
1 B ．31 C ．2
1 D ．1
2．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN 于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ）
A ．38
B ．39
C ．40 D. 41
3．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则y
x
的值等于（ ） A ．9
5 B ．5
9 C ．5
2011
-
D ．9
2011
-
4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最
接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）
A ．6
B. 7 C ．8
D ．9
5．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2
)2
(2b a cx x b a y ----=在1=x 时取最小值b 5
8-，则△ABC 是（ ）
A ．等腰三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形 D
6 照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，e 5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ） A ．5种 B ．6种 C ．10种 D ．12种 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7．若04122=---x x ，则满足该方程的所有根之和为 .
8．（人教版考生做，在 ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若AB =4，BE =5，则DE 的长为 ．
（1） （2）
（第6题
8．（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两
个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FG
AF
= ．
9．已知012
=--a a ，且32
22322324-
=-++-a
xa a xa a ，则=x ． 10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，
且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．
11．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面
BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，则电线杆AB 的长为
12．实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，
y
x
四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(y x 为 ．
3个小题，每小题20分，共60分）
分） ))(())(()a x c x c x b x ++++++是完全平方式．求证： c b a ==．
14.分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ．
（1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标
为 ；
（2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值
时，S 有最大值
（3）试探究：当S 有最大值时，
在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把
△ONC 分割成三角形和四边形两部
分，且三角形的面积是△ONC 面积的3
1
若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 15.（本题满分20分）
对于给定的抛物线b ax x y ++=2，使实数p ，q 适合于)(2q b ap +=.（1）证明：抛物线q px x y ++=2通过定点；
（2）证明：下列两个二次方程，02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.
2013年全国初中数学竞赛试题
考试时间 2013年3月17日 9：30－11：30 满分150分
（备用图）
(第14题
(第11题A B C D （第8题图A ） D G
F E
C
B A
（第8题图B ）
D
1.用圆珠笔或钢笔作答；
.解答书写时不要超过装订线； 草稿纸不上交。

一、选择题（共5个小题，每小题7分，共35分。

每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1.设非零实数a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=++=++0
432032c b a c b a ，则2
22c b a ca
bc ab ++++的值为（ ） (A) -21 ( B) 0 (C) 2
1
(D) 1
2.已知a 、b 、c 是实常数，关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个非零实根，则下列关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中，以
211x ，22
1
x 为两个实根的是（ ） (A) 0)2(2222=+-+a x ac b x c ( B) 0)2(2222=+--a x ac b x c (C)0)2(2222=--+a x ac b x c (D) 0)2(2222=+--a x ac b x c 3，如图，在Rt △ABC 中,已知O 是斜边AB 的中点，CD
⊥AB,垂足为D ，DE ⊥OC,垂足为E ，若AD ，DB ，CD 的长
度都是有理数，则线段OD 、OE 、DE ，AC 的长度中，不．
一定．．
是有理数的为（ ）
(A) OD ( B) OE
(C) DE (D) AC
4、如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 上，且BC=4AF ，DCFE (△
BDE+△ADE)的面积为（ ）。

(A) 3 ( B) 4 (C) 6 (D) 8
5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：
60
)1()1(45
33*3
33223-++++++=y x xy y x x y x ，且z y x z y x *)*(**=，则2013*2012*……*3*2的值为（ (A)
967607 ( B) 9671821 (C) 967
5463
967
16389
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6.设33=a ，b 是2a 的小数部分，则3)2(+b 的值为
７.如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5则四边形AEFD 的面积是 。

８.已知正整数a 、b 、c 满足0222=--+c b a ，0832=+-c b a ，则a b c 的最大值为 。

９.实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程02=++d cx x 的两根为a ，b ，一元二次方程02=++b ax x 的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组（a ，b ，c ，d ）为 。

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元。

开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔。

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11.如图，抛物线32-+=bx ax y ，顶点为E ，该抛物线x 与轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且
OB=OC=3OA 。

直线13
1
+-=x y 与y 轴交于点D ，求∠DBC-∠CBE.
12.、设△ABC 的外心，垂心分别为O ，H ，若B ，C ，H ，O 共圆，对于所有的△ABC ，求 ∠BAC 所有可能的度数。

13.设a ，b ，c 是素数，记a c b x -+=，
b a
c y -+=，c b a z -+=，当y z =2，2=-y x 时，a ，b ，c 能否构成三角形的
三边长证明你的结论。

14.如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为
415的魔术数），求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数n a a a ,21 ⋯，满足任意一个正整数m ，在n a a a ,21
⋯中都至少有一个为的m 魔术数。

2013年全国初中数学联赛江西预赛试题
时间：2013年3月10日上午9：00－11：30
一、选择题（每小题7分，共6题，计42分）
1、若n m n m n
n m 、且,532-=同号，则222232654n
mn m n mn m +-+-的值是（ ） A 、7 B 、6 C 、5 D 、4
2、若△ABC 中，AB ＝26-，BC=2, △ABC 的面积是1，若∠B 是锐角，则∠ACB 的度数是（ ）
A 、30°
B 、45°
C 、60°
D 、75°
3、若0
97,0972
2=++=++b b a a ，ab ≠1, 则b
a
a b
-的值为（ ） A 、
3
13
B 、3
13
- C 、3
13
± D 、0 4、一块木板上钉有9枚铁钉，钉尖向上如图，用橡皮盘套住往其中4枚铁钉，构成一个平行四边形，共有套法（ ） A 、82 B 、40 C 、22 D 、21
5一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，在正整数列中，从1开始数起，问第1990个“智慧数”是（ ） A 、2663 B 、2664 C 、2665 D 、2626
6、能使方程mx 2 +2(2m-1)x+4(m-3)=0至少有一个整数解的正整数a 的值的个数有（ ）
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
二、填空题（每题7分，共4小题，计28分） 7、如图：在△ABC 中，AB ＝9，BC=4,Q 为AC 的中点，P 为AB 边上一点，且∠APQ=90°+2
1
∠B ，则
BP 的长为______
8、为了迎接2016年世界杯足球赛的到来，某足球
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0 奖金（元/人）
1500
700
均出场费500元，设A 队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W 元，则W 的最大值是_________
9、已知a 、b 、c 、d 是四个不同的实数，且（a+c ）(a+d)=-2013,(b+c)(b+d)=-2013, 则(a+d)(b+d)=--_______
10、已知⊙O 的半径为6，四边形ABCD 是圆内接四边形，对角线AC 与BD 交于点E,CE ＝，若AC 是直径，且AD=BD ，则四边形ABCD 的周长是_______ 三、解答题（70分）
11、（满分20分）已知方程x 2+ax+2a+2=0有两个整数解，求a 的值。

12、（满分25分）已知AE 是△ABC 的角平分线，D 是线段AE 上的点，且 ∠BDE=90°+2
1∠BAC ，求证:D 是△ABC 的内心。

13、（满分25分）如图：抛物线y=mx2+5x+n 与x 轴交于B 、C 两点，交y 轴与A 点，过A 、B 、C 三点作⊙P ，且⊙P 与y 轴相切于点A ， （1）求m 、n 的关系； （2）求∠BAC 的正切值；
（3）设抛物线的顶点为D ，试判断直线DB 与⊙P 的位置关系，并证明。

2012年全国初中数学竞赛预赛试题
江西省吉安市
一、 选择题：（每题7分，共42分） 1、化简38194233122172+---+的结果是
（ ）
A 、2
B 、 －2
C 、－33
D 、33
2、一次考试共有5道题，考后统计如下，有81%的同学做对第1题，91%的同学做对第2题，85%的同学做对第3题，79%的同学做对第4题，74%的同学做对第5题，如果做对3题以上的（含3题）题目的同学考试合格，那么这次考试合格率的同学至少（ ）。

A 、70% B 、 79% C 、74% D 、81%
3、如图：在△ABC 中，
,31
,31,31CA CF BC BE AB AD ===则AN:NL:LE 等于
（ ）
A 、2：1：1
B 、3：2：1
C 、3：3：1
D 、2：3：1 4、满足方程xy y x y x ++=+)(222的所有非负整数解的组
数有（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
5、如图：正方形ABCD 的边长为152，E 、F 分别是AB 、
BC 的中点，AF 分别交DE ，DB 于M ，N,则△DMN 的面积为（ ）
A 、8
B 、9
C 、10
D 、11
6、使分式3
34
222+-+-x x x x 的值为整数的实数x 的值的个数是
（ ）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7 二、填空题（每题7分，共28分）
7、边长为整数，且面积的数值与周长相等的直角三角形的个数为 . 8、边长为9cm, 40cm,41cm 的三角形的重心到外心的距离是
9、已知二次函数c bx ax y ++=2
,一次函数4
)1(2
k x k y --=，若它们的图像对于问题任
意的数k 都只有一个公共点，则二次函数的解析式为
10、代数式49)8(922+-++x x 的最小值是 三、解答题（共三大题，70分）
11、已知关于x 的方程024)2810()4)(2(2=+----x k x k k 的根是整数，求满足条件的所有实数k 的值（20分）
12、如图：在矩形ABCD 中，点P 在AB 上，且△ACP 是等腰三角形，O 是AC 的中点，OE ⊥ AB 于有，点Q 是OE 的中点，求证：PQ ⊥ CE （25分）.
13、已知二次函数4)3(2++--=m x m x y 图像与轴交于）点点0,(),0,(21x B x A (x 1<x 2), 与y 轴交于点C,若∠CAB 与∠CBA 是锐角。

（1）求m 的值；
（2）是否可能出现∠CAB ＝∠CBA 若可能，求出m 的值；若不可能，比较∠CAB 与∠CBA 的大小；
（3）当∠CAB 与∠CBA 互余时，△ABC 的面积是多少（25分）
2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ ）
A. a b c <<
B. a c b <<
C. b a c <<
D.b c a <<
2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为
（ ）
A ．3.
B ．4.
C ．5.
D ．6.
3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与
CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）
A ．
3 B ．3 C ．3
D ．3 4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ ）
A ．18-.
B ．0.
C ．1.
D ．98.
5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足
2323
11224()x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为
（ ）
A ．0.
B ．34-.
C ．1-.
D ．5
4-.
6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足
a c
b d +=+.这样的四位数共有
（ ）
A ．36个.
B ．40个.
C ．44个.
D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111
a b c t b c a
+=+=+=，则t = ．
2．使得521m ⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 ．
3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BC
AP
＝
4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，
222
4
3131319
a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝ ． 第二试
一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.
二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D.证明：2AD BD CD =⋅.
三．（本题满分25分）已知抛物线21
6y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正
半轴
与y 交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.
设
学
M 3
(0,)2
-，若AM 2011年全国初中数
竞赛试题
(考试时间：2011年3月20日9：30——11：30 满分：150分)
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。

每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1
、设x =
，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、2
2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b ）与(c, d)之间的运算
“△”为：（a, b ）△（c, d ）＝（ac+bd, ad+bc ）。

如果对于任意实数u, v,都有（u, v ）△（x, y ）＝（u, v ）,那么（x, y ）为（ ）
A 、（0, 1）
B 、（1, 0）
C 、（﹣1， 0）
D 、（0, ﹣1）
3、已知A ，B 是两个锐角，且满足225sin cos 4A B t +=，2223
cos sin 4
A B t +=，则实
数t 所有可能值的和为（ ）
A 、83-
B 、53-
C 、1
D 、113
4、如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点F ，设
1EADF S S 四边形＝，2BDF S S ∆＝，3BCF S S ∆＝，4CEF S S ∆＝，则13S S 与24S S 的大
小关系为
（ ）
A 、13S S ﹤24S S
B 、13S S ＝24S S
C 、13S S ﹥24S S
D 、不能确定
5、设33331111
++++1232011S ＝，则4S 的整数部分等于（ ）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6、两条直角边长分别是整数a, b （其中b<2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 .
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3 ,3,4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是
1,3,4,5,6,8。

同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两个数字和为5的概率是 .
8、如图，双曲线2
y x
= （0x >）与矩形OABC 的边
BC ， BA 分别交于点E ， F ， 且AF ＝BF ，连结EF ，则△OEF 的面积为 .
9、⊙O 的三个不同的内接正三角形将⊙O 分成的区域的个数为 .
10、设四位数abcd 满足3333110a b c d c d ++++=+，则这样的四位数的个数为 .
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11、已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程
20x ax b ++=的两个根都大1, 求a b c ++的值.
F
B C E
D
A
第4题
D P H O 1O 2C B A C B
A
P 12、如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交
于点D ， 延长AD 交CH 于点P ， 求证：点P 为CH 的中点.
的整数1a ，13、若从1,2,3,…，n 中任取5个两两互素的不同
2a ，3a ，4a ，5a ， 其中总有一个整数是素数，求n 的
最大值.
14、如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°,AB ＝2AC. 点P
在△ABC 内,且3, PB=5, PC=2, 求△ABC 的面积. 2011年全国初中数学联赛江西赛区初赛试题
（考试时间2011年3月二0日9：30—11：30）
第一试
一、选择题（每题7分，共42分） 1、设a 为质数，并且872+a 和782+a 都是质数，若记877+=a x ，788+=a y ，
财在以下情况中，必定成立的是（ ）
A 、x,y 都是质数
B 、x,y 都是合数
C 、x,y 一个是质数，一个是合数
D 、对于不同的a,以上各情况皆可
2、化简21217223212172
23---++的结果是（ ）
A 、2
B 、2-
C 、2
D 、-2
3、2011201132+的末位数字是( )
A 、1
B 、3
C 、5
D 、7
4、方程1168143=--+---+x x x x 的解的情况是（ ）
A 、无解
B 、恰有一解
C 、恰有两个解
D 、有无穷多个解
5、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中的全体正三角形的个数是
（ ）
A 、24
B 、36
C 、38
D 、76
6、设a,b 为整数，并且一元二次方程0)6()32(22=++++++ab a x b a x 有等根
α，而一元二次方程0)122()224(22=--+--+b a x b a ax 有等根β，那么以α、β为
根的一元二次方程是（ ）
A 、06722=++x x
B 、0622=+-x x
C 、0442=++x x
D 、0)(2=+++ab x b a x
二、填空题(每题7分，共28分)
1、Rt △ABC 的三条边长分别为3、4、5，若将其为内切圆挖去，则剩下部分的面积
等于
2、若c x b x a x x x x +-+-+-=--+)4()4()4(3752323，则(a,b,c)= ( )
3、如图：正方形ABCD 的边长为1，E 是CD 边
外的一点，满CE ∥BD,BE=BD,则CE=
4、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}之中（每一个数都可以多次出现在圆周
上）若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，
用S 表示圆周上所有的十二个数的和，那么数S 所有可能的取值
情
况有 种。

第二试 一（20分）试确定，对于怎样的整数a,方程029)3(4522=-++-a x a x 的正整数
解并求出方程的所有正整数解。

二（25分）锐角△ABC 的外心为O ，外接圆的半径为R ，延长AO ，BO ，CO ，分别与
对边BC ，CA ，AB 交于D 、E 、F ；证明
R
CF BE AD 2111=++。

三、（25分）设k 为正整数，证明：
1、如果k 是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也是两个
连续正整数的乘积；
2、如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么k 也是两个
连续正整数的乘积；
2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题
第 一 试
一. 选择题（每小题7分，共42分）
1、化简2648
1353++-+的结果是（ ）．
（A ）、2； （B ）、
22； （C ）2； （D ）、2
1
． 2、△ABC 是一个等腰直角三角形，DEFG 是其内接正方形，H 是正方形的对角
线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为
（ ）．
(A)、12； (B)、13；(C)、26；(D)、30．
3、设ab ≠0，且函数b ax x x f 42)(21++=与b ax x x f 24)(22++=有相同的最小
值u ；函数a bx x x f 42)(23++-=与a bx x x f 24)(24++-=有相同的最大值v ；则u+v
的值( ).
(A)、必为正数；(B)、必为负数；(C)、必为0； (D)、符号不能确定．
4、若关于x 的方程
没有实根，那么，必有实根的方程是
（ ）．
(A)、
； (B)、； (C)、； (D)、． 5、正方形ABCD 中，E,F 分别是AB,BC 上的点，DE 交AC 于M ，AF 交BD 于
N ；若
AF 平分∠BAC ，DE ⊥AF ，；记BF
CF z ON BN y OM BE x ===,,,,则有（ ）. （A ）、x>y>z ； （B ）、x=y=z ；
（C ）、x=y>z ； （D ）、x>y=z ．
6、将1,2,3,4,5,6,7,8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆
周上任两个相邻位置的数之和为质数， 如果圆周旋转后能重合的算作相同填
法，那么不同的填法有（ ）．
(A)、4种； (B)、 8种； (C)12种、； (D)、16种．
二、 填空题（每小题7分，共28分）
1、若k 个连续正整数之和为2010，则k 的最大值是 ．
2、单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 .
3、圆内接四边形ABCD 的四条边长顺次为：
AB=2,BC=7,CD=6,DA=9，则四边形的面积为 .
4、在±1±2±3±5±20中，适当选择+、-号，可以得到不同代数和的个数
是 ．
第 二 试
一、（20分）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长a,b 是方程
k x k x 4)2(2++-=0的两根，求 k 的值并确定直角三角形三边之长．
二、（25分）如图，自△ABC 内的任一点P ，作三角形三条边的垂线： PD ⊥
BC ，PE ⊥CA ，PF ⊥AB ，若BD=BF,CD=CE ；证明：
AE=AF ．
三、（25分）已知a,b,c 为正整数，且
c b b a ++33为有
理数，证明c b a c b a ++++2
22为整数． “《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.
1．若10,20==c
b b a ，则
c b b a ++的值为（ ）． （A ）2111 （B ）1121 （C ）21110 （D ）11
210 2．若实数a ，b 满足022
12=++-b ab a ，则a 的取值范围是（ ）． （A ）a （B ）a 4 （C ）a ≤或 a ≥4 （D ）≤a ≤4
P D O y x C A B · 第9题
3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =32，BC =224-，
CD ＝24，则AD 边的长为（ ）．
（A ）62 （B ）64
（C ）64+ （D ）622+ 4．在一列数,,,321x x x ……中，已知11=x ，且当k ≥2时，
]}4
2[]41{[411----+=-k k x x k k （取整符号［a ］表示不超过实数的最大整数，例如[]=2,[]=0），则2010x 等于
（ ）．
(A) 1 (B) 2(C) 3(D) 4
5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点
C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点
D 旋转180°得点
P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）．
（A ）（2010，2） （B ）（2010，
） （C ）（2012，） （D ）（0，2）
二、填空题
6．已知a ＝15-，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路
上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在
后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追
上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，
货车追上了客车，则t ＝ ．
8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，
0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M
（2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．
9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线
AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂
足为D ．若CD ＝CF ，则AD
AE ． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余
数为i －1．若的最小值0n 满足30002000<<n ，则正
整数的最小值为 ． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） A D
C
B 第3题图
11、如图：△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，
BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证：BC
EF PAD =∠tan ． 12．如图，抛物线bx ax y +=2（a 0）与
双曲线x
k y =相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积
为3（O 为坐标原点）.
(1）求实数a ，b ，k 的值；
（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交
抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点
E 的
坐标. 13．求满足m m p p 28222-=++的所有素数p
和正整数m .
2009年全国初中数学江西赛区预赛试
题 （2009年3月22日上午9：30~11：30）
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35
分） 1、已知非零实数a 、b 满足|2a －
4|+|b+2|+(a-3)b 2 +4=2a ，则a+b 等于（ ）
A 、－1
B 、0
C 、1
D 、2
2、如图所示，菱形ABCD 边长为a ，点O 在对角
线AC
上一点，且OA=a ，OB=OC=OD=1,则a 等于（ ）
A 、21
B 、1
C 、51+
D 、251+ 3、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+2
23y x by ax 只有正数解的概率为（ ） A 、112 B 、29 C 、518 D 、1336
4、如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，
∠B=90°，动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →
C →
D →A 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面
积为y ，把y 看作x 的函数，函数图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）
A 、10
B 、16
C 、18
D 、32
5、关于x 、y 的方程29222=++y xy x 的整数解（x 、y ）的组数为（ ）
A 、2组
B 、3组
C 、4组
D 、无穷多组
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、
后轮胎。

如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时
报废，那么这辆自行车将能行驶 ；
7、已知线段AB 的中点为C ，以点C 为圆心，AB 长为半径作
圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD=AC ；再以点D 为圆心，
DA 的长位半径作圆，与⊙A 分别相交于点F 、G 两点，连接FG 交
AB 于点H ，则AH AB
的值为 ； 8、已知54321,,,,a a a a a
满足条件954321=++++a a a a a 的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程2009))()()()((54321=-----a x a x a x a x a x
的整数根，则b 的值为 ；
9、如图所示，在△ABC 中，CD 是高，CE 为∠ACB 的
平
分线，若AC=15，,BC=20，CD=12，则CE 的长等于
10、10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每
个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实告诉两旁
的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平
均数报出来，若抱出来的数如图所示，则报3的人心里想
的数是 ；
三、解答题（共4小题，每题20分，共80分）
11、函数22)12(k x k x y +-+=的图像与x 轴的两个交
点是否都在直线x=1的右侧若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x=1的右侧时k 的取值范围
12、在平面直角坐标系xoy 中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完成平方数的点称为“好点”，求二次函数4907)90(2--=x y 的图像上的所有“好点”的坐标.
13、如图，给定锐角△ABC ，BC ＜CA ，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过电D 、E 分别作l 的垂线，垂足分别为F 、G ，试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论
14、n 个正整数n a a a ,,,21⋯⋯
满足如下条件：20091321=<⋯⋯<<=n a a a a 、且n a a a ,,,21⋯⋯ 中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数，求n 的最大值。

2009年初中数学竞赛江西赛区决赛试题
第一试
一、
选择题（每小题7分，共42分） 1、化简24712324712
3+----++的值是（ ）.
A 、2
B 、23
C 、36
D 、4
7. 2、a,b,c 是互不相同的实数， 则代数式)
)(())(())(())(())(())((222b c a c b x a x c c b a b a x c x b c a b a c x b x a ----+----+----经化简后得到（ ）. A 、2a B 、2b C 、2c D 、2x .
3、设实数a<b<c, x<y<x ，则下列四数中，值最小的一个数是（ ）.
A 、ax+by+cz
B 、cx+by+az
C 、bx+ay+cz
D 、ax+cy+bz
4、若△ABC 的三条边长AB=3，AC=4，BC=5，分别以A 、B 、C 为圆心作⊙A ，⊙B ，⊙C ，使得这两个圆两两相切，则⊙A ，⊙B ，⊙C 面积之比是（ ）.
A 、1：2：3
B 、3：4：5
C 、1：4：9
D 、9：16：25
5、数组{a,b,c,d},a<b<c<d 由不大于20的四个质数组成，且满足a+d=b+c,这种四元组的个数是（ ）.
A 、6
B 、8
C 、12
D 、16.
6、若一元二次方程02=++b ax x 的两根为整数，且两根的平方和为2009，则这种方程有（ ）.
A 、1个
B 、2个
C 、4个
D 、8个.
二、填空题（每小题7分，共28分）
7、从前20个正整数1，2，……20中选择5个不同的数填写在一个圆周上，使得圆周上每相邻两数之和都是平方数，你的填法是（ ）.（如果写成一行，首尾的数看成相邻）.
8、若f(x)= 323232112121
-++-+++x x x x x ,
则f(1)+f(3)+f(5)+ …+f(2009)= .
9、若AD ，BE 为△ABC 的两条角平分线，I 为内心，若
C ，
D ，I ，
E 四点共圆，且DE=1，则ID= . 10、设1322+=k k
k a ，k 为自然数，令921a a a A ⋯++=，
921a a a B ⋯=，则B
A = . 第二试
三、 解答题（本题三大题，共70分）
11、（20分）若关于x 的方程
06821)14216()281(162234=+-+-+-+-a a x a x a x x 的各根为整数，求a 的值，并解此方程.
12、（25分）如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 上的任意一点，E ，F 分别是边AC ，AB 上的点，且DE ∥AB ，DF ∥AC ，作点D 关于EF 的对称点F ，
证明：PD 平分∠BPC ，且△PBC ∽△AEF.
13、（25分）将前300个正整数1、2、3、
4、…、300顺次在黑板上排成一行，然后划去两数1、2，而将这两数的和写在最后面，成为3、4、
5、
6、…300、3；接着，再划去前两数3、4，而将这两数的和写在最后面，成为5、6、
7、
8、…、300、3、7；象这样一直进行下去，直到黑板剩下一个数为止，试求黑板上出现过所以数之和（包括每次划去的数在内）.
2009年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设71a =，则32312612a a a +--= （ ） . B. 25. C. 4710. D. 4712+.
2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（ ） A.72. B. 10. C. 1053
3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为 （ ）
. B. 2. C. 3. D. 4.
4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为
（ B ）
A.314.
B. 37.
C. 12.
D. 47
. 5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直
径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝
（ ） 623. C. 1310 D C
E
6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n --为完全平方数的n 的个数是 （ ） . B. 4. C. 5. D. 6.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是___ _____.
2． 设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE m n 3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=____
4．已知,a b 是正整数，且满足15152(
)a b
+是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有 对. 第二试
一、（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.
二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .
三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：
32a b c ++= ①
14
b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ② 是否存在以,,a b c 为三边长的三角形如果存在，求出三角形的最大内角.
2008年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
.1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式
22
11a b +的值为 （ ）
)(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11. I 1 I 2
2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，
3EF =，则线段BE 的长为 （ ）
)(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245
. 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，
把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为
个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）
)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12
. 4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和
CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ）
)(A BM CN >. )(B BM CN =.
)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.
5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为 （ ）
)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98
. 6、已知实数,x y 满足22(2008)(2008)2008x x y y --=，则
2007332322--+-y x y x 的值为（ ）
)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．设512a =，则5432322a a a a a a a
+---+=- . 2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且
5AM =135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为
3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交
点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b
的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=
4．依次将正整数1，2，3，……，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是
第二试
一．（本题满分20分）1、已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥（1）恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.
二．（本题满分25分） 如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.
（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.
（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.。

三．（本题满分25分）1、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+求a ，b 的值.
2008年全国初中“数学周报”杯数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）
1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x
-=+=，，则444y x +的值为（ ）． （A ）7 （B ）
113+ （C ） 713+ （D ）5 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．
（A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）12
3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周
上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有
( )．
（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条
4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．
以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点
A 的一点，且D
B AB a ==，D
C 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）．
（A ）52a （B ）1 （C ）32
（D ）a。