离散数学第29讲

第七章 图论
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小于30 30条边的简单平面图至少有一个结点度 例4 证明小于30条边的简单平面图至少有一个结点度 数小于等于4 数小于等于4。
证明： 证明：(反证法
)
握手定理 定理7 定理7-5.3
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定义7 定义7-5.3
。 r1 v1
v7 r2
。
v5 。
4
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定理7 5.2（欧拉定理） 定理7-5.2（欧拉定理）
设有一个连通的平面图G 共有v个结点、 条边和r 设有一个连通的平面图G，共有v个结点、e条边和r 连通的平面图 个面， 成立。 个面，则欧拉公式 v-e+r=2 成立。 为一孤立结点图， v=1,e=0,r=1,故 证:(1) 若G为一孤立结点图，则v=1,e=0,r=1,故v-e+r=2 成立。 成立。 为一条边， v=2,e=1,r=1,故 e+r=2成立 成立。 (2) 若G为一条边，则v=2,e=1,r=1,故v-e+r=2成立。 条边时，欧拉公式成立， =2。 (3) 若G为k条边时，欧拉公式成立，即vk-ek+rk=2。下面 考察G k+1条边时的情况 条边时的情况。 考察G为k+1条边时的情况。 条边的连通图上增加一条边，使其仍为连通图， 在k条边的连通图上增加一条边，使其仍为连通图，只 有两种情况： 有两种情况：
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对偶图与着色——平面图的应用 7-6 对偶图与着色 定义7 定义7-6.1
给定平面图G=<V,E>，它具有面F 给定平面图G=<V,E>，它具有面F1,F2,……,Fn,若有图 平面图G=<V,E> ,F 满足下列条件： G*=<V*,E*>满足下列条件： (a)对于图G的任一面Fi ，内部有且仅有一个结点vi*∈V* 。 内部有且仅有一个结点v (a)对于图G的任一面F 对于图 (b)对于图G的面Fi，Fj的公共边界ek，存在且仅存在一条边 (b)对于图G的面F 的公共边界e 对于图 使得e ek*∈E* ，使得ek*=(vi*,vj*)，且ek*与ek相交。 相交。 (c)当且仅当ek只是一个面Fi的边界时，vi*存在一个环ek*和 (c)当且仅当e 只是一个面F 的边界时， 存在一个环e 当且仅当 相交。 ek相交。 则称是G*图G的对偶图。 则称是G 对偶图 显然， 也是图G 对偶图 显然， G也是图G*的对偶图。
无限面
v2 。
r4 r3 。 v3 v 。4 v6
。 r1 v1
v7 r2
。
面的边界的回路长度，称 面的边界的回路长度， 作该面的次数 记为deg(r) 次数， 作该面的次数，记为deg(r)
v5 。
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定理7 定理7-5.1
一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍。 一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍。 有限平面图 证: 因为任何一条边，或者是两个面的公共边， 因为任何一条边，或者是两个面的公共边，或者在一 个面中作为边界被重复计算两次， 个面中作为边界被重复计算两次，故面的次数之和等于 其边数的两倍。 其边数的两倍。 v2 。 r4 r3 。 v3 v 。4 v6
点内同构的子图。 点内同构的子图。 的子图
在2度结
。 。 。 。 。
。 。 。
。 。 。
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下图为非平面图。 例5 证明下图为非平面图。
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
。 。 。 。 。
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证明1 应用结论e k(v-2)/(k-2)。 证明1：应用结论e ≤ k(v-2)/(k-2)。 证明2 Kruatowski定理 证明2：应用Kruatowski定理
给定两个图G 如果它们是同构的， 给定两个图G1和G2，如果它们是同构的，或者通过反复插 入或删除度为2的结点后， 同构， 入或删除度为2的结点后，使G1和G2同构，则称该两图是 在2度结点内同构的。 度结点内同构的
定义7 5.4（Kruatowski定理） 定义7-5.4（Kruatowski定理） 定理 一个图是平面图当且仅当它不包含与K5或K3,3
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（2）G中任意两个结点之间有且仅有一条路。 中任意两个结点之间有且仅有一条路。 中无回路且m=n m=n（3）G中无回路且m=n-1。 证明： 证明：（2） （3） 中无环， G中无环，否则存在环的结点与其自身之间存在长度为 的两条路，与已知矛盾； 中存在长度大于等于2的圈， 0和1的两条路，与已知矛盾；若G中存在长度大于等于2的圈， 则圈上各点之间都存在两条不同的路径，与已知矛盾。 则圈上各点之间都存在两条不同的路径，与已知矛盾。故G 无回路。 中无回路。 当G是平凡图时,m=n-1显然成立。 是平凡图时,m=n- 显然成立。 ,m=n 设当n=k(k≥1)时也成立， n=k+1时 n=k(k≥1)时也成立 e=(u,v)为 设当n=k(k≥1)时也成立，当n=k+1时，设e=(u,v)为G中 一条边，由于G中无回路，所以G 为两个连通分支G 一条边，由于G中无回路，所以G-e为两个连通分支G1,G2.设 (i=1,2)分别为 中的结点数和边数，很明显n <k,由 分别为G ni,mi (i=1,2)分别为G1i中的结点数和边数，很明显ni<k,由 归纳假设知m 1,则 1+1=n归纳假设知mi= ni-1,则m= m1+m2+1=n1-1+n2-1+1=n-1
*定理7-6.3 定理7
任意平面图G最多是5 色的。 任意平面图G最多是5-色的。
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7-7 无向树及其性质 定义7 定义7-7.1
连通无回路的无向图称为无向树，简称树,常用T表示树。 连通无回路的无向图称为无向树，简称树 常用T表示树。 无向树 平凡图称为平凡树。 平凡图称为平凡树。 平凡树 若无向图G至少有两个连通分支，则称G 森林。 若无向图G至少有两个连通分支，则称G为森林。 在无向树中，度为1的结点称为树叶，度数大于或等于2 在无向树中，度为1的结点称为树叶，度数大于或等于2 树叶 的结点称为分支点或内点。 的结点称为分支点或内点。 分支点 。 。 。 。 。 。。 。 。 。 。
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定义7 定义7-6.2
如果图G的对偶图G 同构于G 则称G 自对偶图 如果图G的对偶图G*同构于G，则称G是自对偶图。 证明：对自对偶图G e=2v证明：对自对偶图G有e=2v-2. 显然， 显然， 平面图着色问题就转换为对邻接结点着不同色的问 题。 对于图G着色时，需要的最少颜色数称为G的着色数， 对于图G着色时，需要的最少颜色数称为G的着色数，记作 x(G)。 x(G)。
故结论成立。 故结论成立。
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定理7 定理7-5.3
设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3， 是一个有v个结点e条边的连通简单平面图， v≥3， e≤3v则e≤3v-6。 v=3,e=2时 显然成立。 对于无限面而言） 证:当v=3,e=2时，显然成立。（对于无限面而言） 除此之外，设连通简单平面图G的面数为r e≥3,则每一 除此之外，设连通简单平面图G的面数为r，若e≥3,则每一 面的次数不小于3 由前面定理知各面数之和为2e 2e， 面的次数不小于3，由前面定理知各面数之和为2e，因此 2e ≥ 3r 代入欧拉定理： 代入欧拉定理：v-e+r=2 二式结合得： e≤3v二式结合得： e≤3v-6
提示：此定理可作为判定某图G是平面图的必要条件， 提示：此定理可作为判定某图G是平面图的必要条件，
而非充分条件。 而非充分条件。
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Hale Waihona Puke 例3。判断下图是否为平面图。 判断下图是否为平面图。
。
。
。
。
。 。 。
K5
。
。
。K3,3
证明： 不是平面图。 反证法) 证明：K3,3不是平面图。(反证法)
。 。
。 Q 。
Q1 a
2
。 。
Q1
。 。 。
b
。Q 。
2
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是每个面至少由k(k≥3) k(k≥3)条边围成的连通 例1：证明若G是每个面至少由k(k≥3)条边围成的连通 平面图， k(v-2)/(k-2)。 平面图，则e ≤ k(v-2)/(k-2)。
第 四 部 分
第廿九讲
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7-5 平面图 定义7 定义7-5.1
设G=<V,E>是一个无向图，如果能够把G的所有结点和边画 G=<V,E>是一个无向图，如果能够把G 是一个无向图 在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点， 在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点， 则称G是一个平面图 平面图。 则称G是一个平面图。
。 。
。
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第七章 图论
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定理7 定理7-6.1
对于n个结点的完全图K )=n。 对于n个结点的完全图Kn,有x(Kn)=n。 证明： 证明：(略)