华师大版九年级上册全册数学教案

25.1 测量
教学目标
1、在探索基础上掌握测量。

2、掌握利用相似三角形的知识
教学重难点
重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。

难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。

教学过程
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？
你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．
图25.1.1
如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．
试一试
如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．
你知道计算的方法吗？
图25.1.2
实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．
练习
1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，
当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 2． 请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度． 习题25．1
1． 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）
（第1题）
（第3题）
2． 在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 3． 如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．
小结与作业:
小结本节内容:利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边 作业:一课一练
25.2 .1锐角三角函数
第二课时
教学目标
1、探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。

2、掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。

3、掌握三角函数定义式：sin A =
斜边的对边A ∠, cos A =斜边
的邻边
A ∠,
tan A =
的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边
的邻边
A A ∠∠
教学重难点
重点：三角函数定义的理解。

难点：掌握三角函数定义式。

教学过程 探索
根据三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少． 通过计算，我们可以得出
图25.2.4
sin30°＝
2
1
斜边对边， 即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 思考
上述结论还可通过逻辑推理得到．如图25．2．4，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，作∠BCD ＝60°，点D 位于斜边AB 上，容易证明△BCD 是正三角形，△DAC 是等腰三角形，从而得出上述结论．
做一做
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列∠A 的四个三角函数值： （1） ∠A ＝30°；（2） ∠A ＝60°；（3） ∠A ＝45°．
为了便于记忆，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下：
练习 求值： 2cos60°＋2sin30°＋4tan45°． 四、学习小结:记忆特殊角的函数值 五、布置作业 习题：1
25.2 .1锐角三角函数
第三课时
教学目标
1、进一步复习直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。

2、进一步掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。

3、掌握三角函数定义式：sin A =
斜边的对边A ∠, cos A =斜边
的邻边
A ∠,
tan A =
的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边
的邻边
A A ∠∠
教学重难点
重点：三角函数定义的理解。

难点：掌握三角函数定义式。

教学过程
例1 求出如图所示的Rt △DEC （∠E ＝90°）中∠D 的四个三角函数值．
（第2题）
sin30゜是一个常数.用刻度尺量出你所用的含30゜的三角尺中，30゜所对的直角边与斜边的长，sin30゜=
2
1
＝斜边对边 即斜边等于对边的2倍.因此我们还可以得到：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 做一做
在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，借助于你常用的两块三角尺，根据锐角三角函数定义求出∠A 的四个三角函数值：
（1）∠A ＝30゜ （2）∠A ＝60゜ （3）∠A ＝45゜.
为了便于记忆，我们把30゜、45゜、60゜的三角函数值列表如下.（请填出空白处的值）
课堂练习
1.如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.
∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________;
∠M的对边是__________,∠M的邻边是_______________;
（第1题）（第2题）
2.求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90゜）中∠D的四个三角函数值.
3.设Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据
下列所给条件求∠B的四个三角函数值.
（1）a=3,b=4; （2）a=6,c=10.
4.求值：2cos60゜+2sin30゜+4tan45゜.
学习小结: 记忆特殊角的函数值
布置作业
习题：练习册习题：2
25．2.1锐角三角函数
（第一课时）
1、锐角三角函数
教学目标：
1.初步了解正弦、余弦、正切、余切的概念；能较正确地用siaA 、 cosA 、 tanA 、ciotA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。

2.逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。

3.提高学生对几何图形美的认识。

教学重点: 正弦，余弦，正切、余切的概念
教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 、ciotA 表示正弦，余弦，正切、 余切。

教学过程：
1、直角三角形边角之间的关系：
图25.2.1
2、阅读P 88页的内容
锐角A 的函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA ，即 sinA ＝
斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边
A ∠，
tanA ＝
的邻边的对边A A ∠∠，cotA ＝的对边
的邻边
A A ∠∠．
分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数．
（0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1）
根据三角函数的定义，我们还可得出
A A 22cos sin +＝1，
tanA ·cotA ＝1．
3、教学例题：（略）
4、探索
根据三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，
30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少． 通过计算，我们可以得出
图25.2.4
sin30°＝
2
1
斜边对边， 即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
5、做一做
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列∠A 的四个三角函数值： （1） ∠A ＝30°；（2） ∠A ＝60°；（3） ∠A ＝45°．
6、练习：P 91页
7、小结：
8、作业：P 91页 3题
25.2.2.用计算器求锐角三角函数值(第一课时)
教学目标
学会计算器求任意角的三角函数值。

教学重难点
重点：用计算器求任意角的三角函数值。

难点：实际运用。

教学过程
拿出计算器，熟悉计算器的用法。

下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角.
（1） 求已知锐角的三角函数值.
3、求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001） 解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897 859 012.
所以 sin63゜52′41″≈0.8979
例3 求cot70゜45′的值.（精确到0.0001）
解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出
），按下列顺序依次按键：
显示结果为0.349 215 633.
所以 cot70゜45′≈0.3492. （2） 由锐角三角函数值求锐角
例4 已知tan x =0.7410,求锐角x .（精确到1′）
解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序
依次按键：
显示结果为36.538 445 77.
再按键：
显示结果为36゜32′18.4.
所以，x ≈36゜32′.
例5 已知cot x =0.1950,求锐角x .（精确到1′）
分析 根据tan x ＝x
cot 1
，可以求出tan x 的值，然后根据例4的方法就可以
求出锐角x的值.
四、课堂练习
1.使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）
sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜.
2.已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a.（精确到1′）
（1）sin a=0.2476; （2）cos a=0.4174;
（3）tan a=0.1890; （4）cot a=1.3773.
五、学习小结
内容总结
不同计算器操作不同，按键定义也不一样。

同一锐角的正切值与余切值互为倒数。

在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。

方法归纳
在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器帮助我们处理比较复杂的计算。

一、布置作业
习题：3，4，5；练习册
25.2.2、用计算器求锐角三角函数值
（第二课时）
教学目标：
1、求已知锐角的三角函数值
2、由锐角三角函数值求锐角
教学难点:
求已知锐角的三角函数值、由锐角三角函数值求锐角
教学重点:
如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角
教学过程：
1、 求已知锐角的三角函数值
例2 求sin63°52′41″的值．（精确到0．0001） 解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
(SETUP)
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0．
897859012．
所以sin63°
52′41″≈0
．8979
．
例3 求cot70
°45′的值．（精确到
0．
0001）
解
在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示
，按下列顺序依次按键：
．
所以cot70°45′≈0．3492．
2、 由锐角三角函数值求锐角
例4已知tanx ＝0．7410，求锐角x ．（精确到1′） 例5 已知cotx ＝0．1950，求锐角x ．（精确到1′）
分析 根据x
x cot 1
tan =，可以求出tanx 的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x
的值．
3、练习：P 93页
4、小结：
5、作业：P 93页 4题
25．3解直角三角形
（第一课时）
教学目标：使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 教学难点: 直角三角形的解法
教学重点: 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 教学过程： (一)知识回顾
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=b
a
(2)三边之间关系
a 2 +
b 2 =
c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
（二）教学例题：
例1
如图25．3．1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树
顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？
图25.3.1
解
利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为
26241022=+，
26＋10＝36（米）．
所以，大树在折断之前高为36米．
在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角．像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
例2
如图25．3．2，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测
得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．（精确到1米）
图25.3.2
解
在Rt △ABC 中，
∵ ∠CAB ＝90°－∠DAC ＝50°，
AB
BC
＝tan ∠CAB ， ∴ BC ＝AB ·tan ∠CAB
＝2000×tan50°≈2384（米）．
∵
AC
AB
＝cos50°， ∴ AC ＝︒
=
︒50cos 2000
50cos AB ≈3111（米）． 答： 敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米． 解直角三角形，只有下面两种情况： （1） 已知两条边；
（2） 已知一条边和一个锐角． （三）巩固练习：P 95页 （四）小结：1、在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，
就可以求出另三个元素． 2、解决问题要结合图形。

（五）作业：P 98页 1题
25．3解直角三角形 （第二课时）
教学目标：
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． 逐步培养分析问题、解决问题的能力．
教学重点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关
系，从而解决问题．
教学难点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
教学过程： （一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：a 2+b 2=c 2 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系： tanA=
（二）新授概念 1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例3 如图25．3．4，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆22．7米的D 处，用高1．20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角α＝22°，求电线杆AB 的高．（精确到0．1米）
解 在Rt △ACE 中，
∵ AE ＝CE ×tan α ＝DB ×tan α
＝ 22．7×tan22° ≈ 9．17，
∴ AB ＝ BE ＋AE ＝AE ＋CD
＝9．17＋1．20≈10．4（米）． 答： 电线杆的高度约为10．4米．
（三）．巩固练习
1、如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米) 解：在
Rt △ABC
中
sinB=
AB
AC
∴AB=B AC sin =2843
.01200=4221(米)
答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．
的邻边
的对边
A A ∠
∠
图25.3.4
2、两座建筑AB 与CD ，其地面距离AC 为50．4米，从AB 的顶点B 测得CD 的顶部D 的仰角β＝25°，测得其底部C 的俯角α＝50°，求两座建筑物AB 与CD 的高．（精确到0．1米）
（第2题）
（四）小结：
本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．
（五）作业：P 98页 2题
25．3解直角三角形 （第三课时）
教学目标：
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问
题来解决．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
教学重点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学难点:
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学过程：
1、读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．
如图25．3．5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即l
h
i
．
图25.3.5
坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有
l
h
i =
＝tan α． 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
2、教学例题
例4 如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽
是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米）
图25.3.6
解：
作DE ⊥AB ， CF ⊥AB ，垂足分别为E 、 F ．由题意可知 DE ＝CF ＝4．2（米）， CD ＝EF ＝12．51（米）． 在Rt △ADE 中，
∵ i ＝
AE
AE DE 2
.4=
＝tan32°， ∴ AE ＝︒
32tan 2
.4≈6．72（米）．
在Rt △BCF 中，同理可得 BF ＝
︒
28tan 2
.4≈7．90（米）．
∴ AB ＝AE ＋EF ＋BF
≈6．72＋12．51＋7．90≈27．1（米）． 答： 路基下底的宽约为27．1米．
3、巩固练习：
P 98页
4、小结：
通过学习例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解
决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直
角三角形，从而把问题解决．
5、作业：
P98页3题
小结与复习1
教学目标
1、了解本章的知识结构。

2、回顾勾股定理的证明
教学重难点
重点：勾股定理。

难点：选择适当的知识解决具体问题。

教学过程
一、情境导入
通过本章的学习，你学到了哪些知识？你有哪些收获？
二、课前热身
同学们交流、讨论、概括出本章所学的主要内容。

三、合作探究知识结构
概括
1. 了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；
2. 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；
3. 能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．
课堂练习
1. 求下列阴影部分的面积：
2. （1）阴影部分是正方形； （2）阴影部分是长方形； （3）阴影部分是
半圆
3.
4. （第1题）
5. 如图，以Rt △ABC 的三边向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关
系．
（第2题） 6.
已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长． 7.
求下列各式的值． 8.
（1） 2cos 30°＋cot 60°－2tan 45°; 9. （2） sin 2 45°＋cos 2 60°;
10. （3） ︒
︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 2222 . 学习小结
内容总结
本节课主要复习了两个部分的内容：一部分是本章的知识结构；另一部分是
直角三角形中勾股定理及锐角三角函数定义。

方法归纳
在测量时，要以构造直角三角形在实际生活中应用的实例，至少一个。

布置作业
习题：10，11；练习册
小结与复习2
教学目标
1、通过复习，进一步理解勾股定理及三角函数的意义。

2、通过复习，进一步掌握直角三角形的解法。

3、学会运用勾股定理和三角函数解决简单的实际问题。

教学重难点
重点：灵活运用解直角三角形知识解决问题。

难点：选择恰当知识解决具体问题。

教学过程
一、情境导入
三角函数是怎样定义的？如何把梯形分解成三角形？
二、课前热身
学生交流、讨论上述问题。

三、课堂练习
5. 求下列各直角三角形中字母的值．
（第5题）
6. 小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（精确到1米）
7. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，∠A 平分线AM 的长为15 cm ，求
直角边AC 和斜边AB 的长．
8. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，直角边AC 是直角边BC 的2倍，求∠B
的四个三角函数值．
9. 如图，在直角坐标平面中，P 是第一象限的点，其坐标是（3，y ），且OP 与
x 轴的正半轴的夹角a 的正切值是3
4，求： （1） y 的值； （2） 角a 的正弦值．
（第9题）
（第10题） 12. 一架25米的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物7米．如果梯子
的顶部滑下4米，梯子的底部滑开多远？
13. 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坡角a 和坝
底宽AD．（i＝CE∶ED，单位米，结果保留根号）
（第13题）
14. 如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角a＝30°，测得点C的俯角b＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（结果保留根号）
（第14题）
四、学习小结
五、布置作业
习题：15，16，17；。