从对称到单参数李变换群的定义

从对称到单参数李变换群的定义
收稿日期：2017-08-31
基金项目：河套学院自然科学青年项目“无穷维Hamilton 系统属性的研究”（HYZQ201637）作者简介：贾利东（1984-），男，汉族，内蒙古凉城人。

硕士，河套学院助教。

研究方向：计算数学。

19世纪挪威数学家Sophus Lie 在Galois 群理论的影
响下，提出连续群的定义，即为李群。

单参数李变换群是一种特殊的李群，它对于求解微分方程有着非常重要的作用。

如：若一个常微分方程在单参数李变换群作用下是不变的，则其阶数可以降低一阶。

初学者对单参数李变换群的定义会提出以下问题：对称—群—变换群—单参数变换群—单参数李变换群这些定义之间有何关系呢？为了弄清楚这个问题，本文的思路是阐述由对称到单参数李变换群的来龙去脉。

一、由对称到群
毕达哥拉斯认为，图形中最美的是圆形和球形，这是因为圆形和球形具有最完美的对称。

研究图形对称的方法是对称变换φ，它的数学描述：φ是指非空集合S 到S 的一一映射，并且在变换之后，S 中任意两点之间的距离保持不变。

设正三角形的中心为O ，三条边上的垂直平分线分别为l 1，l 2，l 3，则平面上关于I i 的反射τi 把正三角形变成与它自己重合的图形（i=1，2，3）；平面上绕点O 的转
角分别为0度，120度，240度的γ1，γ2，γ3也能把正三角形变成与它自己重合的图形。

正三角形的所有对称变换组成一个集合记为A=τ1，τ2，τ3，γ1，γ2，γ3{}，在
这个集合上规定对称变换的乘法，满足以下四个条
件：①封闭性。

即A 中任意两个元素的乘积仍在该集合之中；②结合律。

即中A 任意三个元素都满足结合律；③单位元。

即中A 的对称变换γ1；④逆元。

即A 中对称变换的逆变换。

从这个例子及大量类似的例子抽象出群的定义。

于是群的定义就产生了，即：
定义：设一个非空集合G 对于一个叫做乘法的代
数运算，若满足：①封闭性：对∀a ，b ∈G ，有ab ∈G ；
②结合律：对∀a ，
b ，
c ∈G ，有（a ·b ）·c=a ·（b ·c ）；③存在单位元e 使对∀a ∈G 有e ·a=a ·e=a ；④对∀a ∈G 有逆元a -1
使a -1
·
a=a ·a -1
=e ，则称G 是一个群。

二、由群到变换群
变换群是一种具体的群，一方面它在几何上有着非常广泛的应用，另一方面，任何一个抽象的群都能够在变换群里找到一个具体实例。

变换群就是一个集合的若干一一变换对于规定的运算做成的一个群，即
定义：设A 是某个集合的所有一一变换组成的集合，对于变换的乘法运算，若满足：①封闭性：A 中任何两个变换的乘积都在A 中；②结合律：A 中任何三个变换满足结合律；③单位元：A 中的恒等变换；④逆元：A 中的逆变换，则称A 是一个群，即变换群。

三、由变换群到单参数变换群首先给出单参数变换群的定义，其次阐述它满足变换群的定义，最后说明它与变换群的关系。

定义：设x=（x 1，x 2，…，x n ）∈D ⊂R （n ）
，ε∈S ⊂R ，称满足下列条件变换：x *
=X （x ，ε）（a ）的全体G 为D 上的单参数变换群。

（1）对∀ε∈S ，（a ）式是D 上的一一变换；（2）具有二元运算关系φ的S 构成群；（3）设x *
=X （x ，ε），且x **
=X （x *
，δ），则x **
=X （x ，φ（ε，δ））；
（4）当ε=e 时有x *
=x ，即X （x ，e ）=x 。

它满足变换群定义的原因：（1）表明G 的变换是一一的；表明结合律成立，即
贾利东，王慧，斯琴（河套学院
理学系，内蒙古巴彦淖尔
015000）
摘要：单参数李变换群是一种特殊的李群，它在求解微分方程方面有着广泛的应用。

通过对对称—群—变换群—单参数变换群—单参数李变换群这些定义之间的分析，进而可以看出从对称到单参数李变换群定义的自然性。

关键词：对称；变换群；李变换群中图分类号：O13
文献标志码：A
文章编号：1674-9324（2018）14-0200-02
From Symmetry to Definition of One-Parameter Lie Transformation Group
JIA Li-dong,WANG Hui,SI Qin
(Department of Science,Hetao College,Bayannur,Inner Mongolia 015000,China)
Abstract :The one-parameter Lie transformation group is a special Lie group,which has wide applications in solving differential equations.By analyzing the definitions of the symmetry-group-transform group and the one-parameter transformation group and the one-parameter Lie transformation group,we can see that the natural definition from the symmetry to the one-parameter Lie transformation group.
Key words:symmetry;transformation group;Lie transformation group
∀ε，δ，γ∈S ，有φ（ε，φ（δ，γ））=φ（（ε，δ），γ）成立；
（2）表明封闭性成立，即x ∈G ，x *
∈G ⇒x **
∈G ；（3）表明逆元存在，即取δ=ε-1，则φ（ε，δ）=φ（ε，ε-1
）
=e ，得x=X （x *
，ε-1
）；（4）表明单位元存在，即取ε=e 时，x=X （x ，e ）=x *。

单参数变换群是一种更特殊的变换群，它的主要目的是为了引入单参数李变换群做准备的。

四、由单参数变换群到单参数李变换群定义：设D 上一个单参数变换群还满足：（5）ε是连续参数，即S 是R 上的一个区间；（6）X 关于x ∈D 是无穷次可微的，关于ε∈S 是解析的；
（7）φ（ε1，ε2）是ε1，ε2的解析函数，ε1，ε2∈S ，则称为D 上的单参数李变换群。

单参数李变换群的定义（5），（6），（7）主要说明该
群具有微积分的特征，即该群既有代数的特征又有微积分的特征，从而在解决微分方程时发挥着无穷的力量。

五、结语
至此本文完整的解决了对称，群，变换群，单参数变换群，单参数李变换群，这些概念之间的关系。

从而使学习者认识到单参数李变换群也是非常自然的。

参考文献：
[1]Olver P.J.Applications of Lie Groups to Differential Equations [M].Second Edition,Springer -Verlag,New York,1993.[2]Blumen G W,Kumei S.Symmetries and Differential Equations [M].New York:Springer,1989.
[3]杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社,2005.[4]丘维声.抽象代数基础[M].北京:高等教育出版社,2004.[5]吴妙玲,单妍炎.从对称到群的定义[J].内蒙古工业大学学报,2013,32(4).。