【优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习精品课件： 三角函数的图象与性质(共31张PPT)

2
{y|-1≤ y≤1}
R
3.3 三角函数的图象与性质 第三章
5-5-
在 - π + 2kπ, π + 2kπ
2
2
单 上递增,k∈Z;
调 性
在 π + 2������π, 3π + 2kπ
2
2
上递减,k∈Z
x= π+2kπ (k∈Z)时,
2
最 ymax=1; 值 x=-π+2kπ (k∈Z)时,
2
在
π 4
,
5π 4
单调递减,所以要使函数
f(x)=sin
������������
+
π 4
在
π 2
,π
单调递减,需满足
π 4
×
5π 4
×
���1������1���≤≥π2π,,解得12≤ω≤54.
关闭
A
考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法
解析 答案
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-1188-
考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法
关闭
解析 答案
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-1166-
方法提炼
1.熟记 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区 间的基础.
2.求形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的单调区间时,只需把 ωx+φ 看作一个整体 代入 y=sin x 的相应单调区间即可,注意 A 的正负以及要先把 ω 化为正数. 求 y=Acos(ωx+φ)+k 和 y=Atan(ωx+φ)+k 的单调区间类似.
解得
������π
< ������
<
������π
+
������ 2
,k∈Z,
-3 ≤ ������ ≤ 3,
即函数的定义域为
������
������ -3 -3 ≤ ������
≤ <
���-���π2<,或- π2
0,或<0���<��� <x<π2π2
.
考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法
∴-4≤x≤-π 或 0≤x≤π. [-4,-π即]∪函[0数,π]的定义域为[-4,-π]∪[0,π].
关闭
关闭
解析 答案
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-1122-
考点一 三角函数的定义域与值域
【例 1】函数 y=lgsin2x+ 9-������2的定义域为
.
依题意有
sin2������ > 0, 9-������2 ≥ 0,
最值小,∴正A13.×f周(xπ2期)+在φ为区=26间kππ,[+且-2π2(当πk,∈0x]上Z=)π2.是时增,f(函x)取数得最大值,则( )
BC又..ff((∵xx-))π在在<区区φ≤间间π[[,∴-33πφπ,=5,-π3ππ.]]∴上上f(是x是)=减增2s函函in数数13 x
+
π 3
2.是否每一个周期函数都有最小正周期?
答案:不一定.如常数函数 f(x)=a,每一个非零数都是它的周期.
3.3 三角函数的图象与性质 第三章
4-4-
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定 义 域 值域
x∈R {y|-1≤ y≤1}
x∈R
x∈R 且 x≠π+kπ,k∈Z
第三章
其④把中函真数命题y=的3si序n 号2������是+
π 3
的图象. 向右平移π6个单位得到 y=3sin 2
������-
π 6
+
π 3
=3sin
2x
的图象,真命题;
关闭
①④ ⑤函数 y=sin
������-
π 2
在(0,π)上是增函数.假命题.
解析 答案
考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法
函数 y=sin x 奇偶性 奇
对 称 性
最小正 周期
(kπ,0),k∈Z x=kπ+π,k∈Z
2
2π
y=cos x 偶
������π + π ,0 ,
2
k∈Z
y=tan x 奇
������π ,0 ,
2
k∈Z
续表
x=kπ,k∈Z
无对称轴
2π
π
3.3 三角函数的图象与性质 第三章
7-7-
基础自测
1.下列函数中,在
2
−
54,t∈[-1,1],∴y∈
-
5 4
,1
.
C
考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法
解析
关闭 关闭
答案
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-1155-
考点二 三角函数的单调性
∵函【数例f(2x)】的已最知小函正数周期f(x为)=62πs,i∴n2(���ωπ��� =x+6πφ,得),x∈ω=R13,,其在中x=ωπ2时>0,函,-π数<φf(≤x)π取.若得最f(x大)的关闭
2.函数 y=Asin(ωx+φ)(ω≠0)为奇函数的充要条件为 φ=kπ(k∈Z);函数
y=Asin(ωx+φ)(ω≠0)为偶函数的充要条件为 φ=kπ+π2(k∈Z).
3.三角函数的对称性: 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的 图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心(正切函数无对称 轴),并注意数形结合思想的应用.
π 2
内的单调性.
3.3 三角函数的图象与性质 第三章
3-3-
1.周期函数及最小正周期 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个
值时,都有 f(x+T)=f(x) ,则称 f(x)为周期函数,T 为它的一个周期.若在所
有周期中,有一个最小的正数,则这个最小的正数叫做 f(x)的最小正周期. 想一想 1.因为 sin(60°+60°)=sin60°,所以 sin x 的周期 T=60°,
ymin=-1
在 [(2k-1)π,2kπ] 上递增,k∈Z; 在 [2kπ,(2k+1)π] 上递减,k∈Z
在 - π + kπ, π + kπ
2
2
上递增,k∈Z
x= 2kπ (k∈Z) 时,ymax=1; x=π+2kπ (k∈Z)时,ymin=-1
无最值
3.3 三角函数的图象与性质 第三章
6-6-
关闭
点象假..命④⑤① ② ③ 题化 终 在;把函简 边 同函数得 在 一数y=坐yyys==轴i标n-3c上系os���i���sn-的中2π2x2角,,函在最������的数+小(0集π3,y正π=合)的周s上i是n图期是x���象为的减��� 2���图向函2���π==象右数π���和.平���真.π函移命 +数π6���2题���个,ky;=∈单xZ的位,图假得象命到,题只y=;有3s一in个2x公的共图点,
π 2
,π
上是增函数的是(
)
A.y=sin x
B.y=cos x
C.y=sin2x
D.y=cos2x
关闭
y=sin
x
和
y=cos
x
在
π 2
,π
上是减函数,y=sin
2x
在
π 2
,π
上不单调,y=cos
2x
在 D
π 2
,π
上是增函数.
关闭
解析 答案
3.3 三角函数的图象与性质 第三章
8-8-
2.函数 y=cos AC..xx==π8-π2
2������ + π2B.的x=图-π4象的一条对称轴方程是( D.x=π
)
令 2x+π2=kπ(k∈Z),即 x=������2π − π4(k∈Z),检验知,x=-π4,故选 B.
B
解析
关闭 关闭
答案
3.3 三角函数的图象与性质 第三章
9-9-
3.函数 f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻的两支截直线 y=π4所得线段长为π4,则
f
π 4
的值是(
)
A.0
B.1
C.-1
D.π4
由题意,周期 T=π4,
∴ω=π������=4.则 f
π 4
=tan
4
Hale Waihona Puke ×π 4=tan π=0.
故选 A. A
关闭
关闭
解析 答案
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-1100-
4.(2013 江苏高考)函数 y=3sin
2������
+
π 4
的最小正周期为
考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-2200-
举一反三 3 下面有五个命题:
①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π.
②终边在 y 轴上的角的集合是
������
α
=
k������ 2
,k∈Z
.
③在同一坐标系中,函数 y=sin x 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共
考点三 三角函数的周期性、奇偶性和对称性
【例 3】下列命题中正确的是
.(写出所有正确命题的序号)
①存在 α 满足 sinα+cosα=32;
②y=cos
7π 2
-3x
是奇函数;
③y=4sin
2������
+
5π 4
的一个对称中心是
-
9π 8
,0
;
④y=sin
2������-
π 4
的图象可由 y=sin2x 的图象向右平移π4个单位得到.
关闭
对于①,sin α+cos α=
2·sin
������
+
π 4
,其最大值为
2,故不存在 α 满足 sin α
+cos α=32,①错;对于②.y=cos
7π 2
-3x
=-sin 3x 是奇函数,②正确;对于③,当 x=-98π
②时 由③,yy==4sisnin2x2的× 图-象98π向+右54平π =移4π8s个in(单-π位)=得0,故到③,故正④确错;对. 于④,y=sin
.
T=22π=π.
π
关闭 关闭
解析 答案
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-1111-
5.函数 y= 16-������2 + sin������的定义域为
.
要使函数有意义,则
16-������2 ≥ 0, sin������ ≥ 0,
∴ 2������π
≤
-4 ≤ ������ ≤ 4, ������ ≤ 2������π + π(������∈Z),
3.3 三角函数的图象与性质
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-2-
考纲要求
1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性.
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最
小值以及与 x 轴的交点等),理解正切函数在区间
-
π 2
,
关闭
关闭
解析 答案
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-1133-
方法提炼
1.求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数 线或三角函数图象来求解.
2.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法: (1)利用 sin x,cos x 的值域; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的 范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值 域(最值)问题.
2������-
π 4
的图象可关闭
考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法
解析 答案
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-1199-
方法提炼 1.求三角函数周期的方法: (1)利用周期函数的定义; (2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2|���π���|, y=tan(ωx+φ)的最小正周期为|���π���|; (3)利用图象.
这种认识正确吗?
答案:这种认识不正确.理由如下: 周期性是函数的整体性质,要求对于函数在整个定义域范围内 的每一个 x 值都满足 f(x+T)=f(x),其中 T 是不为零的常数.如果只有 个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x),或找到哪怕只有一个 x 值不满足 f(x+T)=f(x),都不能说 T 是函数 f(x)的周期.
考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-1144-
A.[-1,1]
C.
-
5 4
,1
举一反三 1 函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为( )
B.
-
5 4
,-1
D.
-1,
5 4
令 t=sin x,则 t∈[-1,1],y=t2+t-1=
������
+
1 2
3.与单调性有关的逆向问题可结合图象来解决.
考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-1177-
举一反三 2 已知 ω>0,函数 f(x)=sin
������������
+
π 4
在
π 2
,π
单调递减,则 ω 的取值范围是(
)
A.
1 2
,
5 4
B.
1 2
,
3 4
C.
.
D由.f(2xk)在π-π2区≤间13x[4+ππ3,≤6π2]k上π+是π2(减k∈函Z数),得 6kπ-52π≤x≤6kπ+π2(k∈Z).
∴f(x)的增区间是
6������π-
5 2
π,6������π
+
π 2
(k∈Z).
A
取
k=0,得
-
5 2
π,
π 2
是
f(x)的一个增区间,
∴函数 f(x)在区间[-2π,0]上是增函数.
0,
1 2
D.(0,2]
关闭
函数 f(x)=sin
������������
+
π 4
的图象可看作是由函数 f(x)=sin x 的图象先向左平移
π个单位得
4
y=sin
������
+
π 4
的图象,再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的���1���倍
且纵坐标不变得到的,而函数 y=sin
������