汕头市 学 高一期末统考数学试题 含 答案

高一期末统考数学参考答案
一、选择题（每小题5分,共60分）
二、填空题：（每小题5分，共20分） 13.
10
1
； 14. 4； 15. 1； 16. 4 1. 【解析】 {}1,2≥-≤=x x x B 或，{}
21≤≤=x x B A I ，故选：B ． 2. 【解析】 ()︒=︒-︒=︒20sin 20180sin 160sin Θ,
所以，原式=()2
1
30sin 1020sin 10sin 20cos 10cos 20sin =
︒=︒+︒=︒︒+︒︒ 故选：A ． 3. 【解析】 奇函数的是3
x y =，x y -=，减函数的是x y -=，x
y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21故选：C ．
4. 【解析】 4
7
012730-
=∴=+⨯∴=⋅∴⊥x x Θ，故选：A ． 5. 【解析】 257
1
tan tan 1cos sin sin cos sin cos 2cos 2
222222
2
-=+-=+-=-=ααααααααα．故选B ． 6. 【解析】 Θ甲组学生成绩平均数是88，88)95909286848878(7
1
=+++++++∴m ，3=∴m ，Θ乙
组学生成绩中位数是89，9=∴n ，12=+∴n m 。

故选C
7.
【解
析】解：
a x 0<<Θ，且10<<a ，1log log =>∴a x a a ，同理，1log >y a ，2log log >+∴y x a a ，
2log >∴xy a 故选：D ．
8. 【解析】解：⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=⎪⎭⎫
⎝
⎛+
-=82sin 42sin ππx x y Θ，故选D ． 9. 【解析】解：如图，令,,2==则-=2，
02≠==Θ， ∴OAB ∆是等边三角形，故选：A ．
10. 【解析】解： 2
1
2110=⨯+
=S 2=k 故选：D ．
11. 【解析】解：
()253621399449494=+≥+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b
a a
b b a b a b a ，故选：B O
A
B
12. 【解析】解：依题意得3122<+≤x ，221<≤∴x ，12
1
<≤∴
x ，故选：D 13. 【解析】解：将2名男生分别记为2,1，将3名女生分别记为c b a ,,，从中任意选出2人的所有可能的结果是：
()()()()c b a ,1,,1,,1,2,1，()()()c b a ,2,,2,,2，()()()c b c a b a ,,,,,，共有10种，其中选出的2人都是男生的是1种，故所
求概率为
101，故答案为：10
1。

14. 【解析】解：若2x ﹣y+m ≥0总成立?m ≥y ﹣2x 总成立即可， 设t=2x+y ，先求出z 的最大值即可，
作出不等式组对应的平面区域如图： 由t=2x+y 得y=-2x+t ，
平移直线y=-2x+t ，由图象可知当直线经过点B （5，2）时， 直线的截距最大，此时t 最大，
此时y x t +=2的最大值为12，又a y x z -+=2Θ的最大值为8，
4=∴a ，故答案为：4
15. 【解析】()x x a x f 2cos 212sin 2+=
，Θ函数()x f 的一条对称轴为6π=x ，则()⎪⎭
⎫ ⎝⎛=30πf f ，ππ32cos 2132sin 221+=∴a ，3=∴a ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=+=∴62sin 2cos 212sin 23πx x x x f ， ∴函数()x f 的最大值为1，故答案为,1．
16. 【解析】解：依题意得()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>-<++-≤≤+=2123,322
123-,6322
x x x x x x x x f 或作出函数的图像可知函数()x f 的最大值
为4，故答案为：4． 三、解答题
17.解: ⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ， 则由151-=a ，d a s 2
4
5515⨯+
=得5510515-=+⨯-d ， 解得2=d ， ∴1722)1(15-=⋅-+-=n n a n ， 所以数列{}n a 的通项公式为172-=n a n ， ⑵由⑴得n n n n S n 162
)
17215(2-=-+-=
，
∵6464)8(162
2-≥--=-=n n n S n
∴对于任意的*n ∈N ，64-≥n S 恒成立，
∴若不等式t S n >对于任意的*n ∈N 恒成立，则只需64-<t ， 因此所求实数t 的取值范围为)64,(--∞。

18.解：⑴
∵sin cos 0c A C =， ∴由正弦定理得C A A C cos sin 3sin sin =，
∵π<<A 0,
∴0sin ≠A ， ∴3tan =
C
∵π<<C 0，∴3
π
=
C
⑵由余弦定理得C ab b a c cos 22
22-+=，又2=c ，3
π
=
C
∴ab b a -+=224， ∵0>a ,0>b ∴ab b a ab 242
2≥+=+， ∴4≤ab ，当且仅当2==b a 时等号成立， ∴34
3sin 21≤==
∆ab C ab S ABC ，当且仅当2==b a 时等号成立， ∴△ABC 的面积S 的最大值为3。

19. 解：⑴由已知数据，可得160)170165160155150(5
1
=++++=
x ， 49)5651494643(5
1
=++++=y ，
250)160170()160165()160160()160155()160150()(222225
1
2=-+-+-+-+-=-∑=i i
x x
，
∴62.0250
155
)()
)((ˆ5
1
2
5
1
==
---=∑∑==i i
i i i
x x
y y x x
b
， ∴y 关于x 的线性回归方程为2.5062.0-=x y ，
⑵由⑴知，当168=x 时，96.532.5016862.0ˆ=-⨯=y
（kg ） 因此，当身高为168cm 时，体重的估计值y
ˆ为53.96kg 。

20. 解：⑴∵1)1()(2
++-=x a ax x f ，
∴不等式mx x f <)(等价于01)1(2
<+++-x m a ax ， 依题意知不等式01)1(2
<+++-x m a ax 的解集为{}
21<<x x ， ∴0>a 且1和2为方程01)1(2
=+++-x m a ax 的两根，
∴⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
=⨯++=+>a a m a a 1211210
， 解得⎪⎩⎪
⎨⎧==021m a ，
∴实数a 、m 的值分别为1=a 、0=m ， ⑵不等式0)(<x f 可化为0)1)(1(<--x ax ，
（ⅰ）当0=a 时，不等式0)(<x f 等价于01<+-x ，解得1>x ，故原不等式的解集为{}
1>x x ， （ⅱ）当0>a 时，不等式0)(<x f 等价于0)1)(1
(<--
x a
x ， ①当10<<a 时
11>a ，不等式0)1)(1
(<--x a x 的解集为⎭⎬⎫
⎩⎨⎧<<a x x 11，即原不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<a x x 11， ②当1=a 时，不等式0)1)(1
(<--
x a
x 的解集为φ，即原不等式的解集为φ， ③当1>a 时
11<a ，不等式0)1)(1
(<--x a x 的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<11x a x ， 即原不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<11x a x
， （ⅲ）当0<a 时，不等式0)(<x f 等价于0)1)(1(>--
x a x ，∵0<a ，∴11
<a
， ∴不等式0)1)(1(>--
x a x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><11x a x x 或，即原不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧><11
x a x x 或， 综上所述，当1>a 时不等式0)(<x f 的的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<11x a x ， 当1=a 时不等式0)(<x f 的的解集为φ， 当10<<a 时不等式0)(<x f 的的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<
<a x x 11， 当0=a 时不等式0)(<x f 的的解集为{}
1>x x ，
当0<a 时不等式0)(<x f 的的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧><
11
x a x x 或。

21. 解：⑴∵42-+=n a s n n
∴当1=n 时，41211-+=a s ，解得31=a ⑵证明：∵42-+=n a s n n ，
∴当2≥n 时，4)1(211--+=--n a s n n ，
)52()42(11-+--+=---n a n a s s n n n n ，即121-=-n n a a ， ∴)1(211-=--n n a a ，
又1-=n n a b ，所以12-=n n b b ，且02111≠=-=a b ， 所以数列{}n b 是以21=b 为首项，2为公比的等比数列。

⑶由⑵得n n b 2=，所以12+=n
n a ∴
n n n a 2
11211<+=， ∴
1)21(12
12121211113221<-=++++<+++n n n a a a ΛΛ 22.解：⑴若32)(+=x x f ，则[]943)32(2)(+=++=x x x f f ， 由[]x x f f =)(，得x x =+94，解得3-=x ， ∴函数32)(+=x x f 的二阶不动点为3-=x ， ⑵证明：∵0x 是函数)(x f 的二阶不动点， ∴[]00(x x f f =，
记t x f =)(0，则0)(x t f =，
若0x t <，则由)(x f 在区间D 上为增函数，有)()(0x f t f <，即t x <0，这与假设0x t <相矛盾； 若0x t >，则由)(x f 在区间D 上为增函数，有)()(0x f t f >，即t x >0，这与假设0x t >相矛盾； ∴0x t =，即00)(x x f =，
∴0x 是函数)(x f 的一阶不动点，命题得证；
⑶函数a x e x f x
++=)(在R 上单调递增，则由⑵可知，若)(x f 在[]1,0上存在二阶不动点0x ，
则)(x f 在[]1,0上也必存在一阶不动点0x ；反之，若)(x f 在[]1,0上存在一阶不动点0x ， 即00)(x x f =，那么[]000)((x x f x f f ==，故)(x f 在[]1,0上也存在二阶不动点0x 。

所以函数)(x f 在[]1,0上存在二阶不动点0x 等价于x x f =)(在[]1,0上有解， 即方程x a x e x
=++在[]1,0上有解，
∴x
e a -=在[]1,0上有解，
由[]1,0∈x 可得[]e e x
,1∈，∴[]1,--∈-e e x
，
∴a 的取值范围是[]1,--e 。