新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第4节二次函数与幂函数课件

考向3 二次函数的最值 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，
求实数a的值．
解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a． ①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题 意，舍去．
②当a＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上单调递增，最大值为f(2) ＝8a＋1＝4，解得a＝38．
考向2 二次函数的单调性
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递
减，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0)
B．(－∞，－3]
C．[－2,0]
D．[－3,0]
D 解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递 减，满足题意．当a≠0时，f(x)的图象对称轴为x＝3－ 2aa．由f(x)在[－
第二章 函数
第四节 二次函数与幂函数
考试要求：1．通过具体实例，结合y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝
1
x2，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不
等式之间的关系解决简单问题．
01
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现 1．幂函数的概念 一般地，函数 y＝xα 称为幂函数，其中 α 为常数．
求二次函数解析式的策略
1．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值 是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
B 解析：设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值 点，
考点1 考点2 考点3
考点1 幂函数的图象和性质——基础性
1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3， 3)，则f(x)是( ) A．偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数 D．非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数
|a＋1|＜|3－2a|，
所以a＋1≠0， 3－2a≠0，
解得a＜23且a≠－1或a＞4．
1．解决这类问题要优先考虑幂函数的定义以及解析式，然后结 合幂函数的图象与性质来求解．
2．有些题目，如第4题利用幂函数的推广性质以及函数有关性 质共同得出结论．
考点2 二次函数的解析式——综合性
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最 大值是8，求二次函数f(x)的解析式．
综上，f(x)max＝42a－＋25a， ，aa＞ ≤－ －1212.，
二次函数的最值问题的类型 二次函数的最值问题主要有以下几类：轴定区间定、轴动区间 定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的 位置关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分 类讨论．
5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是
__________．
－1
解析：因为函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝
3 2
>1，
所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减．
当x＝1时，y取得最小值，所以ymin＝2－6＋3＝－1．
02
关键能力·研析考点强“四翼”
2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点4，12，则f(2)＝(
)
A．14
B．4
C．
2 2
D． 2
C
解析：设f(x)＝xα，因为图象过点
4，12
，所以f(4)＝4α＝
1 2
，
解得α＝－12，所以f(2)＝2－12＝ 22．
3．二次函数f(x)的图象经过(0,3)，(2,3)两点，且f(x)的最大值是
因为f(2)＝－1，所以a2－122＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f(x)＝－4×x－122＋8＝－4x2＋4x＋7．
(方法三：利用二次函数的零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1 ＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1． 又函数有最大值ymax＝8，即4a－2a4－a 1－a2＝8，解得a＝－4． 故f(x)＝－4x2＋4x＋7．
(3)如果 α<0，则幂函数在(0，＋∞)上是减函数 ，且在第一象限 内，当 x 从右边趋向于原点时，图象在 y 轴右方且无限逼近 y 轴；当 x 无限增大时，图象在 x 轴上方且无限逼近 x 轴．
4．二次函数的图象与性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
奇偶性 当 b＝0 时为偶函数，当 b≠0 时为非奇非偶函数
顶点
－2ba，4ac4－a b2
对称性
图象关于直线 x＝－2ba 成轴对称图形
二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定 区间的范围有关．
5．常用结论 (1)“ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a＞0且Δ＜ 0”． (2)“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a＜0且Δ＜ 0”．
a<0， 1，＋∞)上单调递减知32－aa≤－1， 解得－3≤a＜0．
综上，a的取值范围为[－3,0]．
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)， 则a＝________．
－3 解析：由题意知f(x)必为二次函数且a<0． 又3－ 2aa＝－1，所以a＝－3．
利用二次函数的单调性解题时的注意点 (1)对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴 的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论． (2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数(或 式)通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较．
则函数y＝f(－x)的图象为( )
D 解析：因为函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－
2,1)，所以－2,1是方程ax2－x－c＝0的两根．把x＝－2,1分别代入方
程得
4a＋2－c＝0， a－1－c＝0，
联立解得a＝－1，c＝－2．所以f(x)＝－x2－x
＋2．所以函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，可知其图象开口向下，与x轴
＝－
a 2
．又由a≠b，f(a)＝f(b)得f(x)图象的对称轴为直线x＝
a＋b 2
，所
以－a2＝a＋2 b，得2a＋b＝0，所以f(2)＝4＋2a＋b＝4．故选C．
考点3 二次函数的图象和性质——应用性
考向1 二次函数的图象应用 (1)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2,1)，
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
1
(1)函数 y＝2x2是幂函数．
(× )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(√ )
(3)当 n<0 时，幂函数 y＝xn 是定义域上的减函数．
(× )
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R 不可能是偶函数． ( × )
5，则该函数的解析式是( )
A．f(x)＝2x2－8x＋11
B．f(x)＝－2x2＋8x－1
C．f(x)＝2x2－4x＋3
D．f(x)＝－2x2＋4x＋3
D 解析：二次函数f(x)的图象经过(0,3)，(2,3)两点，则图象的 对称轴为x＝1．又由函数的最大值是5，可设f(x)＝a(x－1)2＋ 5(a≠0)．于是3＝a＋5，解得a＝－2．故f(x)＝－2(x－1)2＋5＝－2x2 ＋4x＋3．故选D．
解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋ c(a≠0)．
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得a4－ ac4－ba＋b2c＝＝8－，1， 故f(x)＝－4x2＋4x＋7．
a＝－4，
解得b＝4， c＝7.
(方法二：利用二次函数的顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝2＋2－1＝12．所以 m＝12． 又根据题意函数有最大值8，所以n＝8， 所以y＝f(x)＝ax－122＋8．
图象
定义域
R
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
值域
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
在 －2ba，＋∞ 上单调递增 在－∞，－2ba上单调递增； 单调性 ；
在－∞，－2ba上单调递减 在 －2ba，＋∞ 上单调递减
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
1．解决二次函数图象问题的基本方法 (1)排除法．抓住函数的特殊性质或特殊点． (2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系． 2．分析二次函数图象问题的要点 一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数 图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数 的图象．反之，也能从图象中得到如上信息．
③当a＜0时，函数f(x)在区间[－1,2]上单调递减，最大值为f(－1) ＝1－a＝4，解得a＝－3．
综上可知，a的值为38或－3．
将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大 值．
解：f(x)＝(x＋a)2＋1－a2， f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝－a． ①当－a＜12，即a＞－12时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5． ②当－a≥12，即a≤－12时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a．
4．(多选题)(2022·海南中学月考)若幂函数y＝f(x)的图象经过点 (3,27)，则幂函数f(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 AC 解析：设幂函数为f(x)＝xα(α为常数)，因为其图象经过点 (3,27)，所以27＝3α，解得α＝3，所以幂函数f(x)＝x3．因为f(x)的定 义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又α ＝3＞0，所以f(x)在R上是增函数．
B 解析：因为幂函数 y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不过原点，
所以mm22－－m3m－＋2≤3＝0，1， 解得 m＝1 或 2，符合题意．故选 B．
1
3．与函数y＝x2－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
1
B 解析：y＝x 2 的图象位于第一象限且函数图象是上升的，函
1
1
数y＝x 2 －1的图象可看作由y＝x 2 的图象向下平移一个单位长度得到
则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b． 所以M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然与a有关，与b无关．
2．(2022·青岛模拟)设a，b为不相等的实数，若二次函数f(x)＝
x2＋ax＋b满足f(a)＝f(b)，则f(2)＝( )
A．7 B．5 C．4 D．2
C 解析：由f(x)＝x2＋ax＋b可得函数f(x)图象的对称轴为直线x
幂函数的特征 (1)自变量 x 处在幂底数的位置，幂指数 α 为常数． (2)xα 的系数为 1． (3)解析式只有一项．
2．常见的五种幂函数的图象
3．幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)果 α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在(0，＋∞)上 是 增函数．
1
的(如选项A中的图象所示)．将y＝x 2 －1的图象关于x轴对称后即为
选项B．
4．若(a＋1)－2＞(3－2a)－2，则a的取值范围是___________．
(－∞，－1)∪ －1，23 ∪(4，＋∞) 解析：因为(a＋1)－2＞(3－ 2a)－2，
又f(x)＝x－2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
D 解析：设幂函数f(x)＝xa，则f(3)＝3a＝ 3，解得a＝12，
1
所以f(x)＝x2＝ x，是非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增
函数．
m2－m－2
2．(2021·南昌月考)若幂函数 y＝(m2－3m＋3)·x
的图象不
过原点，则( )
A．－1≤m≤2
B．m＝1 或 m＝2
C．m＝2
D．m＝1
的交点坐标分别为(－1,0)和(2,0)．故选D．
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同 一坐标系内的图象可能是( )
A 解析：若0<a<1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递减；y＝(a －1)x2－x的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，排除C，D．若a>1， 则y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，y＝(a－1)x2－x的图象开口向 上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确，只有A满足．