不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式

不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：
所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。

这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。

下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。

二、典型例题：
例1、若n 是自然数，求证
.213121112222<++++n
证明：.,,4,3,2,1
11)1(112
n k k k k k k
=--=-< ∴
n n n ⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13
212111113121112222
=)1
11()3121()2111(1
1n n --++-+-+
=.21
2<-n
注意：实际上，我们在证明21
3121112222<++++n
的过程中，已经得到一个更强
的结论n n
1
213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。

例2、求证：.33211
3211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n
证明：由,21
2221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数）
得n
⨯⨯⨯⨯+
+⨯⨯+⨯++ 3211
3211211111 .32132
11211121212121111132<-=--+
=++++++<--n n
n
例3、若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<
c
a d d
b d
c c a c b b
d b a a
证：记m =c
a d d
b d
c c a c b b
d b a a +++
++++++++
∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++>
c b a
d d
b a d
c c a c b a b
d c b a a m
2=+++++++<c
d d d c c b a b b a a m
∴1 < m < 2 即原式成立。

例4、当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 证：∵n > 2 ∴0)1(log ,
0)1(log >+>-n n n n
∴2
22
2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 2
2=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡<n n
∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 三、小结：
四、练习：
1、设n 为大于1的自然数，求证.2
121312111>+++++++n n n n
2、设n 为自然数，求证.!
1
)122()52)(32)(12(n n n n n n ≥-----
五、作业：
A 组
1、对于任何实数x ，求证：
（1）4312
≥
+-x x ；（2）.4
1112
≤--x x
2、设b a ≠，求证：
（1）)(232
2
b a b b a +>+；（2）).(462
2
4
2
2
4
b a ab b b a a +>++ 3、证明不等式3
344ab b a b a +≥+.
4、若c b a ,,都是正数，求证：.)())((2
22
2
3
3
3
c b a c b a c b a ++≥++++ 5、若,0>>>c b a 求证 .222b a c a c b c
b
a
c b a c
b a +++>
6、如果b a ,同号，且均不为0. 求证：
2≥+a
b
b a ，并指出等号成立的条件. 7、设
c b a ,,是互不相等的正数，求证：.3>-++-++-+c
c
b a b b a
c a a c b
8、已知三个正数c b a ,,的和是1，求证这三个正数的倒数的和必不小于9. 9、若2
0πθ<
<，则2cos sin 1<+<θθ.
10、设+
∈R y x ,，且,1=+y x 求证：.9)1
1)(11(≥++
y
x 11、已知0≠x ，求证：（1）11122
>++x x ；（2）22
3
22>++x x .
12、设b a ,是互不相等的正数，求证：.81122>⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a a b b a a b
13、已知b a ,都是正数，求证：
（1）;9)1)(1(2
2
ab b a b a >++++（2）.9))((2
2
2
2
2
2
b a b a ab b a b a >++++ 14、已知,1,12
2
2
2
2
2
=++=++z y x c b a 求证：.1≤++cz by ax 15、已知,1,12
2
2
2
=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax
16、已知d c b a ,,,都是正数，且有2222,d c y b a x +=+=
求证：))((bc ad bd ac xy ++>
17、已知n a a a a ,,,321都是正数，且1321=⋅⋅⋅⋅n a a a a ，
求证：n
n a a a a 2)1()1)(1)(1(321≥++++
18、设ABC ∆的三条边为,,,c b a 求证)(22
2
2
ca bc ab c b a ca bc ab ++<++≤++.
19、已知y x b a ,,,都是正数，设.,,1ay bx v by ax u b a +=+==+ 求证：.xy uv ≥
20、设n 是自然数，利用放缩法证明不等式
.231312111<+++++++n
n n n 21、若n 是大于1的自然数，试证.1
1131211121222n n
n -<+++<+-
B 组
22、已知z y x c b a ,,,,,都是正数，且,c z b y a x <<求证：.c z
c b a z y x a x <++++< 23、设0>>b a ，试用反证法证明b
x a b x a -+sin sin 不能介于b a b a +-与b a b
a -+之间。

24、若n 是自然数，求证.47
131********<++++n
链接：放缩法与贝努利不等式
在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。

就是说，如果在和式e d c b a ++++里e d 和都是正数，可以舍掉e d 和，从而得到一个明显成立的不等式c b a e d c b a ++>++++.
例如，对于任何0>x 和任何正整数n ，由牛顿二项式定理可得
.3
21)2)(1(21)1(1)1(2
2n n
x x n n n x n n nx x ++⨯⨯--+⨯-+
+=+
舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： nx x n
+>+1)1(. 在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。

该不等式不
仅当n 是正整数的时候成立，而且当n 是任何大于1的有理数的时候也成立。

这就是著名的贝努利不等式。

在今后的学习中，可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设1->x ，则在1>α或
0<α时，x x αα+≥+1)1(，在10≤≤α时，.1)1(x x αα+≤+
阅读材料：贝努利家族小史
在数学发展史上，17-18世纪出现了一个著名的数学世家——贝努利（Bernoulli ）家族（瑞士），这个家族中的三代人中共出现了8位数学家，它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。

其中，又以第一代的雅各布•贝努利（Jacob Bernoulli ，1654.12-1705.8）、约翰•贝努利（Johann Bernoulli ，1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼尔•贝努利（Danial Bernoulli ，1700.2-1782.3，约翰•贝努利的儿子）最为著名。

在数学的多个分支中，以“贝努利”命名的定义、定理、公式数不胜数。

除了我们前面提到的“贝努利不等式”之外，将来会有机会学习到微积分中的“贝努利方程”、“贝努利级数判别法”，解析几何中的“贝努利双纽线”，概率论中的“贝努利定理”（即“大数定律”的早期形式）、“贝努利数”、“贝努利多项式”等等。

特别是，丹尼尔•贝努利创造性地将数学方法应用到物理学的研究中，取得了卓著的成就，被推崇为数学物理方法的奠基人。

贝努利家族之所以取得如此大的数学成就，至少有以下几个方面的主要原因：
（1）对数学的真挚热爱。

考察贝努利家族的8位数学家，可以发现一个共同的特点：都是从父辈不同意他们研究数学，而要求他们经商、从医或做律师开始，到最终走上从事数学的生涯。

这一过程中，个人对数学的极大热情和兴趣起到了决定性的作用。

当然，家族的数学传统和学习精神的影响也是不容忽视的重要因素。

（2）广泛的学术交流。

贝努利家族的成员们，都注重与当时的数学家和科学家进行广泛的学术交流和争辩，以此互相促进和提高。

如雅各布•贝努利、约翰•贝努利与他们那个时代的大数学家、微积分的创始人莱布尼茨之间，丹尼尔•贝努利与当时欧洲数学界的中心人物——欧拉的频繁通信交流成为数学史上的美谈。

（3）继承基础上的大胆创新。

在继承已有数学研究成果的基础上大胆开拓、创新，是贝努利家族成员从事研究的又一个共同特点。

贝努利家族的主要成员正处于数学思想方法的两次大转变时期：一是从常量数学到变量数学的转折；二是从确定性数学到可能性数学的转
折。

他们不仅善于接纳新思想、新方法，更是进行了大胆地改进、突破，取得了许多开创性的成就。

亲爱的同学们，你能从贝努利家族的成功中得到哪些启示呢？。