2016版高考数学大二轮总复习与增分策略(,文科)配套文档：专题七 概率与统计 第1讲

第1讲概率
1．（2015·课标全国Ⅰ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数，从1，2,3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（)
A。

错误!B。

错误! C.错误! D.错误!
2．（2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）
A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!
3．（2015·重庆)在区间［0，5］上随机地选择一个数p,则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
4．(2014·福建）如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒
豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为
________．
1。

以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力.
热点一古典概型
1．古典概型的概率：
P（A）＝错误!＝错误!.
2．古典概型的两个特点:所有可能出现的基本事件只有有限个;每个基本事件出现的可能性相等．
例1 （2014·天津)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X,Y，Z，其年级情况如下表：
一年级二年
级
三年
级
男同
学
A B C
女同
学
X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
思维升华求古典概型概率的步骤:
（1）反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意;
（2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；
（3）利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；
(4）计算事件A的概率P（A）＝错误!.
跟踪演练1 （1）（2015·广州二模）有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成一个两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是（）
A.错误!
B.错误!C。

错误! D.错误!
(2)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈｛1,2,3,4,5，6｝,若｜a－b｜≤1,就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀"的概率为（)
A。

错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!
热点二几何概型
1．几何概型的概率公式：
P（A）＝错误!。

2．几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性．
例2 （1)(2015·山东）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log错误!错误!≤1”发生的概率为( ）
A.错误!
B.错误!C。

错误!D。

错误!
(2）在区间［1，5]和［2，4］上分别取一个数,记为a，b，则方程错误!＋错误!＝1表示焦点在x轴上且离心率小于错误!的椭圆的概率为（) A.错误! B.错误! C.错误! D.错误!
思维升华当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
跟踪演练2 （1）在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得函数f(x)＝
错误!＋错误!－1有意义的概率为__________________________________________________________ ______________．
(2）在棱长为2的正方体内任取一点，则该点到正方体中心的距离不大于1的概率为( )
A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!
热点三互斥事件与对立事件
1．事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A,B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P（A＋B）＝P(A)＋P（B）．
2．在一次试验中，对立事件A和错误!不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P(错误!)＝1－P(A）．
例3 某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7则中一等奖，等于6或5则中二等奖，等于4则中三等奖，其余结果为不中奖．
(1)求中二等奖的概率;
（2）求不中奖的概率．
思维升华事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念,要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件．在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不可能同时发生），然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生）．在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌,全面考虑，防止出现错误．
跟踪演练3 (1)设事件A，B，已知P（A)＝错误!，P（B）＝错误!，P （A∪B)＝错误!,则A，B之间的关系一定为（)
A．两个任意事件B．互斥事件
C．非互斥事件D．对立事件
（2）盒子中装有编号为1，2,3，4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．
1．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n,则函数y＝错误! mx3－nx＋1在［1，＋∞）上为增函数的概率是( )
A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!
2．已知集合M＝{x|－1<x〈4，x∈R｝，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，在集合M中任取一个元素x，则“x∈M∩N”的概率是（)
A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!
3．在一种游戏规则中规定，要将一枚质地均匀的铜板扔到一个边长为8的小方块上（铜板的直径是4)，若铜板完整地扔到小方块上即可晋级．现有一人把铜板扔在小方块上,晋级的概率P为( )
A.错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!
4．抛掷一枚均匀的正方体骰子（各面分别标有数字1,2,3，4，5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2"，则P（A＋B)＝________.
提醒：完成作业专题七第1讲
二轮专题强化练
专题七
第1讲概率
A组专题通关
1．(2015·合肥二模）从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）
A。

错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
2．有一个奇数列1，3,5,7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3,5，第三组有3个数为7，9,11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )
A。

错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
3．（2014·湖南)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( ）
A。

错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
4．（2015·唐山二模）用简单随机抽样的方法从含有100个个体的
总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体m被抽到的概率为( ）
A。

错误!B。

错误!
C。

错误!D。

错误!
5．（2015·陕西)设复数z＝(x－1)＋y i(x，y∈R)，若|z｜≤1，则y≥x 的概率为（）
A.错误!＋错误!
B.错误!＋错误!
C.错误!－错误!
D.错误!－错误!
6．(2015·绵阳诊断)如图的茎叶图是甲乙两人在4次模拟
测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不
超过乙的平均成绩的概率为__________．
7．（2015·宣武模拟)曲线C的方程为错误!＋错误!＝1,其中m,n是将一
枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A为“方程x2
m2＋错误!＝1表示焦
点在x轴上的椭圆"，那么P(A)＝________。

8．已知区域Ω＝{（x,y）|x＋y≤10，x≥0,y≥0},A＝{（x，y)｜x－y≥0，x≤5，y≥0｝，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率P（A)＝________。

9．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2，3,4四个数字,现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c。

（1）z＝(b－3)2＋(c－3)2,求z＝4的概率；
（2）若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈｛1，2，3，4}，就称该方程为“漂亮方程",求方程为“漂亮方程”的概率．
10．现有8名数理化成绩优秀者，其中A1，A2,A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．
(1)求C1被选中的概率;
（2)求A1和B1不全被选中的概率．
B组能力提高
11．(2015·福建)如图，矩形ABCD中,点A在x轴上，点
B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x）＝错误!的图
象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）
A。

错误!B。

错误! C.错误! D.错误!
12．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中,事件A＋B发生的概率为（)
A。

错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!
13．在区间［－2,3］上任取一个数a，则函数f（x）＝错误!x3－ax2＋(a＋2）x有极值的概率为________．
14．（2015·潍坊一模）甲、乙两家商场对同一种商品开
展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案
如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．
问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?
学生用书答案精析
专题七概率与统计
第1讲概率
高考真题体验
1．C [从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果:（1，2，3），（1，2，4)，(1，2，5），(1，3,4）,(1,3，5），(1，4,5），（2,3,4)，（2，3,5)，（2,4，5），（3，4,5),其中勾股数只有(3,4,5），所以概率为错误!.故选C.］
2．C [取两个点的所有情况为C错误!＝10，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为错误!＝错误!。

故选C.]
3。

错误!
解析方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，则有错误!即错误!
解得p≥2或错误!＜p≤1,又p∈[0，5］，
则所求概率为P＝错误!＝错误!＝错误!.
4．0。

18
解析由题意知，这是个几何概型问题，
错误!＝错误!＝0。

18，
∵S正＝1，∴S阴＝0.18.
热点分类突破
例1
解(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为｛A，B}，{A，C}，{A，X},｛A，Y｝,{A,Z}，｛B，C}，{B,X}，｛B，Y｝,｛B，Z｝，{C，X},｛C，Y｝,{C，Z｝，｛X，Y｝，{X，Z}，{Y，
Z ｝，共15种．
（2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为｛A ,Y },｛A ，Z ｝，{B ，X },{B ,Z ｝，｛C ,X ｝，{C ，Y ｝，共6种．因此，事件M 发生的概率
P （M )＝错误!＝错误!.
跟踪演练1 (1）C （2)D
解析 (1)能组成的两位数有12,13，20,30，21,31,共6个，其中的奇数有13，21，31，共3个，因此所组成的两位数为奇数的概率是错误!＝错误!,故选C.
(2）根据题目条件知所有的数组（a ，b ）共有62＝36组，而满足条件｜a －b |≤1的数组（a ，b )有:(1，1)，(2,2),（3，3)，（4,4），（5，5），(6，6），（1，2)，(2，1),（2,3)，(3,2）,（3，4）,（4,3），(4，5)，（5，
4），(5,6），(6,5）,共有16组，根据古典概型的概率公式知所求的概
率为P ＝1636＝49。

故选D 。

例2 （1）A （2)B
解析 (1）由－1≤log
12错误!≤1,
得错误!≤x ＋错误!≤2，
∴0≤x ≤错误!.
∴由几何概型的概率计算公式得所求概率
P ＝32－02－0＝错误!。

(2)方程错误!＋错误!＝1表示焦点在x轴上，且离心率小于错误!的椭圆时,有错误!
即错误!化简得错误!
又a∈[1，5]，b∈［2，4］，画出满足不等式组的平面区域，如图阴
影部分所示，求得阴影部分的面积为15
4
，故P＝错误!＝错误!。

跟踪演练2 （1)错误!(2）A
解析(1）由错误!得f(x)的定义域为［－3,1］，由几何概型的概率公式，得所求概率为P＝错误!＝错误!。

(2）若点到正方体中心的距离不大于1，则该点位于以正方体的中心为球心,半径为1的球内或球面上，所以所求概率为P＝错误!＝错误!。

例3 解（1）记“中二等奖”为事件A。

从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有｛0，1}，｛0，2｝，｛0,3｝，{0，4}，{1,2}，｛1，3}，{1,4},｛2,3}，｛2，4｝，｛3,4}，共10个基本事件．
记两个小球的编号之和为x,由题意可知，事件A包括两个互斥事件:x ＝5,x＝6.
事件x＝5的取法有2种，即｛1,4}，｛2,3｝，
故P（x＝5）＝2
10
＝错误!；
事件x＝6的取法有1种，即｛2，4},
故P(x＝6）＝1 10 .
所以P(A）＝P(x＝5）＋P(x＝6）＝错误!＋错误!＝错误!.
（2）记“不中奖”为事件B，则“中奖"为事件B,由题意可知,事件错误!包括三个互斥事件：中一等奖（x＝7)，中二等奖（事件A)，中三等奖（x＝4）．
事件x＝7的取法有1种，即{3,4｝,
故P(x＝7)＝错误!；
事件x＝4的取法有｛0，4}，{1，3}，共2种，
故P(x＝4）＝错误!＝错误!。

由（1）可知，P（A)＝错误!.
所以P(错误!)＝P(x＝7)＋P（x＝4)＋P(A）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.
所以不中奖的概率为P(B)＝1－P(错误!）＝1－错误!＝错误!.
跟踪演练3 （1）B （2）错误!
解析（1)因为P（A）＋P(B）＝错误!＋错误!＝错误!＝P（A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．
(2）九个数的编号中有5个奇数，4个偶数，两个球的编号之积为奇数的概率为错误!＝错误!，所以所求概率为1－错误!＝错误!.
高考押题精练
1．B [将一骰子抛掷两次，所得向上的点数(m,n)的所有事件为（1，1)，(1,2)，…，(6，6)，共36个．由题可知，函数y＝错误!mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y′＝2mx2－n≥0在[1,＋∞）上恒成
立，所以2m≥n，则不满足条件的（m,n）有(1,3)，（1,4）,(1,5),(1，6）,（2,5)，（2,6），共6种情况，所以满足条件的共有30种情况,则函数
y＝2
3
mx3－nx＋1在[1，＋∞）上单调递增的概率为
30
36
＝错误!.］
2．A [因为M＝{x｜－1<x<4，x∈R｝＝（－1，4),N＝｛x|x2－3x ＋2≤0}＝［1，2]，所以M∩N＝[1,2]，所以“x∈M∩N”的概率是
错误!＝错误!.］
3．D [由题意分析，知铜板要完整地落在小方块上，则铜板圆心到小方块各边的最短距离不小于铜板半径，所以晋级的概率P＝错误!＝
错误!。

］
4。

错误!
解析将事件A＋B分为:事件C“朝上一面的数为1，2”与事件D“朝上一面的数为3，5”，则C，D互斥，且P（C)＝错误!，P（D)＝错误!，∴P(A＋B)＝P(C＋D）
＝P（C)＋P（D)＝错误!.
二轮专题强化练答案精析
专题七概率与统计
第1讲概率
1．A [设2名男生记为A1,A2,2名女生记为B1，B2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1,B2A1，B1A2，B2A2,B2B1共12种情况,而星期六安排一名男生,星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2共4种情况，则发生的概率为P＝错误!＝错误!，故选A.］
2．B ［由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97，99，101,103，105，107，109这10个数字，其中恰为3的倍数的数有93，99,105三个，故所求概
率为P＝3
10
.］
3．B [在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为p＝错误!.]
4．B [总体含有100个个体，以简单随机抽样的方法从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为错误!×5＝错误!.]
5．C [由｜z｜≤1可得(x－1）2＋y2≤1，表示以（1，0）
为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如
图阴影所示，
由几何概型概率公式可得所求概率为:
P＝错误!＝错误!＝错误!－错误!。

］
6．0.3
解析依题意，记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩,则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此时x 的可能取值是7,8，9,因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝错误!＝0。

3。

7。

错误!
解析试验中所含基本事件个数为36；若表示焦点在x轴上的椭圆，则m〉n，有(2,1）,（3,1），…,(6，5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P(A)＝错误!＝错误!.
8。

错误!
解析作出如图所示的可行域，易得区域Ω的面积为
错误!×10×10＝50,区域A（阴影部分)的面积为错误!×5×5
＝错误!.故该点落在区域A的概率
P(A）＝错误!＝错误!.
9．解(1)因为是投掷两次，因此基本事件(b，c)：
（1，1）,（1，2），(1,3),(1，4），(2，1)，(2，2），（2,3)，(2,4）,(3,1），(3，2），（3，3），（3，4）,（4，1），(4，2）,(4，3)，（4，4）共16个．
当z＝4时，（b，c）的所有取值为（1，3)，(3,1)，
所以P（z＝4)＝错误!＝错误!.
(2）①若方程一根为x＝1，则1－b－c＝0,
即b＋c＝1,不成立．
②若方程一根为x＝2，则4－2b－c＝0，
即2b＋c＝4，所以错误!
③若方程一根为x＝3，则9－3b－c＝0，
即3b＋c＝9,所以错误!
④若方程一根为x＝4，则16－4b－c＝0，
即4b＋c＝16,所以｛b＝3，c＝4.
由①②③④知，（b，c)的所有可能取值为(1,2)，（2，3)，(3，4）．
所以方程为“漂亮方程”的概率为P＝错误!。

10．解（1）从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为
Ω＝｛(A1,B1,C1），（A1，B1，C2)，(A1，B2，C1),（A1，B2，C2），（A1，B3，C1),（A1，B3，C2），（A2，B1，C1）,(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，（A2，B2,C2），(A2，B3，C1）,（A2，B3，C2），（A3,B1,C1)，（A3，B1，C2)，（A3,B2,C1),(A3，B2,C2)，（A3,B3，C1)，（A3，B3,C2)｝，共18个基本事件组成．
由于每一个基本事件被抽取的机会均等．
因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“C1恰被选中"这一事件，则
M＝{(A1，B1，C1),（A1，B2，C1），（A1，B3，C1），（A2，B1，C1)，(A2,B2，C1)，(A2，B3，C1),(A3,B1，C1),(A3，B2，C1）,（A3，B3,C1）｝．
事件M由9个基本事件组成，因而P（M)＝错误!＝错误!.
（2）用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，
则其对立事件错误!表示“A1,B1全被选中”这一事件，
由于错误!＝{（A1，B1,C1），（A1，B1，C2)｝，事件错误!由2个基本事件组成，所以P(错误!)＝错误!＝错误!.
由对立事件的概率公式得
P（N）＝1－P(错误!)＝1－错误!＝错误!.
11．B [由图形知C（1,2），D(－2,2），
∴S四边形ABCD＝6，S阴＝错误!×3×1＝错误!。

∴P＝错误!＝错误!。

]
12．C ［掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意
P(A)＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!，
∴P（错误!)＝1－P（B)＝1－错误!＝错误!.
∵错误!表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与错误!互斥，从而P（A＋错误!）＝P(A）＋P（错误!)＝错误!＋错误!＝错误!.］
13。

错误!
解析区间[－2，3］的长度为5,
f′(x)＝x2－2ax＋a＋2。

函数f（x)＝错误!x3－ax2＋(a＋2）x有极值等价于f′(x)＝x2－2ax＋a ＋2＝0有两个不等实根，即Δ＝4a2－4（a＋2)>0,解得a〈－1或a>2,又∵a∈［－2,3］，
∴－2≤a<－1或2<a≤3，范围区间的长度为2，∴所求概率P＝错误!。

14．解如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR2（R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为错误!＝错误!。

所以，在甲商场中奖的概率为
P1＝错误!＝错误!.
如果顾客去乙商场,记盒子中3个白球为a1，a2，a3，3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果,则一切可能的结果有：（a1,a2）,(a1，a3），(a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），(a2,a3）,（a2,b1)，（a2,b2)，(a2，b3），（a3,b1），（a3,b2)，（a3,b3），（b1，b2），（b1，b3），(b2，b3),共15种，摸到的2个球都是红球有（b1,b2)，（b1，b3),(b2,b3）共3个，所以在乙商场中奖的概率为P2＝错误!＝错误!.
由于P1〈P2,所以顾客在乙商场中奖的可能性大．。