【KS5U解析】湖南省娄底市湘中名校2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

湖南省娄底市湘中名校2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则（∁R A）∩B=（）
A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x≤2}
2．（4分）下列四组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的一组是（）
A．f（x）=|x|，g（x）= B．f（x）=x，g（x）=（）2
C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=1，g（x）=x0
3．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）
A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|
4．（4分）三角形ABC的底边BC=2，底边上的高AD=2，取底边为x轴，则直观图A′B′C′的面积为（）A．B．C．2D．4
5．（4分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间为（）
A．（0，）B．（，1）C．（2，3）D．（1，2）
6．（4分）已知三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（）
A．1B．3C．4D．不确定
7．（4分）直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件（）
A．C=0，AB＜0 B．A C＜0，BC＜0 C．A，B，C同号D．A=0，BC＜0
8．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）
A．1B．C．D．
9．（4分）如图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为（）
A．n≤2？B．n≤3？C．n≤4？D．n≤5？
10．（4分）设函数f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，]B．（﹣∞，2）C．（0，2）D．
12．（4分）4830与3289的最大公约数是．
13．（4分）若圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为．
14．（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，直线l过点（1，0）且与直线x ﹣y+1=0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为．
15．（4分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意正实数x，y，都有f（xy）=f（x）
（1）f（1）=；
（2）不等式f（log2x）＜0的解集是．
三、解答题：本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16．（8分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．
（Ⅰ）求集合A∩B；
（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．
17．（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：
（1）平面A1BD∥平面CB1D1；
（2）M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和MN所成的角．
18．（10分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且
（1）求实数m，n的值
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数
（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
19．（10分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）
（1）将利润x表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
20．（12分）已知圆Cx2+y2+2x﹣4y+3=0
（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．
21．（12分）已知函数f（x）=log a（x﹣a）+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，1）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设函数h（x）=a x+1，函数F（x）=2的图象恒在函数G（x）=h（2x）+m+2的上方，求实数m的取值范围．
湖南省娄底市湘中名校2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则（∁R A）∩B=（）
A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x≤2}
考点：交、并、补集的混合运算．
分析：由补集概念结合已知求得∁R A，然后直接利用交集运算得答案．
解答：解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，
则∁R A={x|x≤2}，
∴（∁R A）∩B={x|x≤2}∩{x|1＜x＜3}={x|1＜x≤2}．
故选：D．
点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．
2．（4分）下列四组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的一组是（）
A．f（x）=|x|，g（x）= B．f（x）=x，g（x）=（）2
C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=1，g（x）=x0
考点：判断两个函数是否为同一函数．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．
解答：解：对于A，f（x）=|x|（x∈R），与g（x）==|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；
对于B，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≥）的定义域不同，∴不是同一函数；
对于C，f（x）==x+1（x≠1），与g（x）=x+1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；
对于D，f（x）=1（x∈R），与g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数．
故选：A．
点评：本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．
3．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）
A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．
解答：解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，
故选：C．
点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
4．（4分）三角形ABC的底边BC=2，底边上的高AD=2，取底边为x轴，则直观图A′B′C′的面积为（）A．B．C．2D．4
考点：平面图形的直观图．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用平面图形与直观图形面积的比是2，求出平面图形的面积，即可求解直观图A′B′C′的面积．解答：解：三角形ABC的底边BC=2，底边上的高AD=2，
所以平面图形的面积：=2，
取底边为x轴，则直观图A′B′C′的面积为：=．
故选：A．
点评：本题考查平面图形与直观图形的面积的比，考查计算能力．
5．（4分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间为（）
A．（0，）B．（，1）C．（2，3）D．（1，2）
考点：函数零点的判定定理．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：先判断出函数f（x）=log2x﹣在其定义域上连续，再求函数值，从而求零点的区间．
解答：解：函数f（x）=log2x﹣在其定义域上连续，
f（）=﹣1﹣2＜0，
f（1）=0﹣1＜0，
f（2）=1﹣＞0；
故f（1）f（2）＜0；
故选：D．
点评：本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
6．（4分）已知三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（）
A．1B．3C．4D．不确定
考点：直线的斜率．
专题：直线与圆．
分析：三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，可得k AB=k AC，利用斜率计算公式即可得出．
解答：解：∵三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，
∴k AB=k AC，
∴，
解得a=3．
故选：B．
点评：本题考查了三点共线与斜率的关系、斜率计算公式，属于基础题．
7．（4分）直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件（）
A．C=0，AB＜0 B．A C＜0，BC＜0 C．A，B，C同号D．A=0，BC＜0
考点：直线的一般式方程．
专题：直线与圆．
分析：化直线的一般式方程为斜截式，由直线通过二、三、四象限可得直线的斜率小于0，在y轴上的截距小于0，从而得到A，B，C同号．
解答：解：由Ax+By+C=0，得，
∵直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，
∴，则A，B，C同号．
故选：C．
点评：本题考查了直线的一般式方程化斜截式，是基础题．
8．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）
A．1B．C．D．
考点：由三视图求面积、体积．
分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，侧面PAB⊥底面ABC，PAB为边长是2的正三角形，O 为AB的中档，OC⊥AB，OC=1．利用三棱锥的体积计算公式即可得出．
解答：解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，侧面PAB⊥底面ABC，PAB为边长是2的正三角形，O为AB的中档，OC⊥AB，OC=1．
∴该几何体的体积V==．
故选：D．
点评：本题考查了三棱锥的三视图及其体积计算公式，属于基础题．
9．（4分）如图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为（）
A．n≤2？B．n≤3？C．n≤4？D．n≤5？
考点：程序框图．
专题：计算题．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加2n 的值到S并输出S．
解答：解：第一次循环：S=0+2=2，n=1+1=2，继续循环；
第二次循环：S=2+22=6，n=2+1=3，继续循环；
第三次循环：S=6+23=14，n=3+1=4，继续循环；
第四次循环：S=14+24=30，n=4+1=5，停止循环，输出S=30．
故选C．
点评：程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算，一种是根据题意补全程序框图．程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，特别经过多年的高考，越来越新颖、成熟．
10．（4分）设函数f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，]B．（﹣∞，2）C．（0，2）D．．
故选A．
点评：考查分段函数在定义域上单调的特点，以及一次函数、指数函数的单调性．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（4分）lg﹣lg25+log2（log216）=0．
考点：对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：直接利用对数的运算性质化简求值．
解答：解：lg﹣lg25+log2（log216）
=
=﹣2lg2﹣2lg5+log24
=﹣2（lg2+lg5）+2
=0．
故答案为：0．
点评：本题考查了对数的运算性质，是基础的计算题．
考点：用辗转相除计算最大公约数．
专题：算法和程序框图．
分析：利用辗转相除法即可得出．
解答：解：4830=3289×1+1541，3289=1541×2+207，1541=207×7+92，207=92×2+23，92=23×4，
∴4830与3289的最大公约数是23．
故答案为：23．
点评：本题考查了辗转相除法，属于基础题．
13．（4分）若圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为2．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出直径．
解答：解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，
则由πl=2πr得l=2r，
而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π
故r2=1
解得r=1，所以直径为：2．
故答案为：2．
点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
14．（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，直线l过点（1，0）且与直线x ﹣y+1=0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为2．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：直线与圆．
分析：求出圆心坐标和半径，利用直线垂直关系求出直线l的方程，求出三角形的底边长度和高即可得到结论．
解答：解：圆的标准方程为x2+（y+1）2=4，圆心C坐标为（0，﹣1），半径R=2，
∵直线l过点（1，0）且与直线x﹣y+1=0垂直，
∴直线l的斜率k=﹣1，对应的方程为y=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0，
原点O到直线的距离d=，
圆心C到直线的距离d=，
则AB=，
则△OAB的面积为，
故答案为：2．
点评：本题主要考查三角形的面积的计算，根据点到直线的距离求出三角形的高以及利用弦长公式求出AB是解决本题的关键．
15．（4分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．则：
（2）不等式f（log2x）＜0的解集是（1，2）．
考点：抽象函数及其应用．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（1）令x=y=1即可求得f（1）；
（2）利用函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，由（1）得到的f（1）=0即可求得不等式f（log2x）＜0的解集．
解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（2）∵f（1）=0，
∴f（log2x）＜0⇔f（log2x）＜f（1），
又函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴0＜log2x＜1，
解得：x∈（1，2）．
故答案为：（1）0；（2）（1，2）．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与函数单调性的应用，考查对数不等式的解法，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16．（8分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．
（Ⅰ）求集合A∩B；
（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．
考点：集合的包含关系判断及应用．
专题：集合．
分析：（I）解指数不等式求出A，解二次不等式求出B，进而可得集合A∩B；
（Ⅱ）若C⊆B，则，解不等式组可得实数a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由2x＜8，得2x＜23，x＜3．（3分）
解不等式x2﹣2x﹣8＜0，得（x﹣4）（x+2）＜0，
所以﹣2＜x＜4．（6分）
所以A={x|x＜3}，B={x|﹣2＜x＜4}，
所以A∩B={x|﹣2＜x＜3}．（9分）
（Ⅱ）因为C⊆B，
所以（11分）
解得﹣2≤a≤3．
所以，实数a的取值范围是．（13分）
点评：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合的交集运算，解不等式，难度不大，属于基础题．
17．（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：
（1）平面A1BD∥平面CB1D1；
（2）M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和MN所成的角．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）连接B1C和D1C，由A1D∥B1C，A1B∥D1C，能证明平面CB1D1∥平面A1BD．
（2）利用正方体的性质容易得到AD1∥MN，所以∠CAD1为异面直线所成的角，连接CD1，得到△CAD1为等边三角形，得到所求．
解答：（1）证明：连接B1C和D1C，
∵A1D∥B1C，A1B∥D1C，
A1D∩A1B=A1，
A1D⊂平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，
B1C⊂平面CB1D1，D1C⊂平面CB1D1，
∴平面A1BD∥平面CB1D1．
（2）解：因为几何体为正方体，连接AD1，D1C，所以∠CAD1为异面直线所成的角，
又△CAD1为等边三角形，
所以异面直线AC和MN所成的角60°
点评：本题考查两平面平行的证明，考查异面直线所成的角的求法，关键是将面面平行转化为线线平行解答，将空间角转化为平面角解答，注意转化能力和空间思维能力的培养．
18．（10分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且
（1）求实数m，n的值
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数
（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据函数奇偶性的性质，建立方程关系即可求实数m，n的值．
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
（3）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即可．
解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
即，
∴n=0，
∵，
∴m=1
（2）由（1）得，
设﹣1＜x1＜x2＜1，
则=
∵﹣1＜x1＜x2＜1，
∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（﹣1，1）上为增函数．
（3）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，
∴由f（t﹣1）+f（t）＜0，
得：f（t）＜﹣f（t﹣1）=f（1﹣t）
又∵f（x）在（﹣1，1）上为增函数
∴，
点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及利用定义法证明函数的单调性，综合考查函数奇偶性和单调性的应用．
19．（10分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）
（1）将利润x表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
考点：函数模型的选择与应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；
（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．
解答：解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而利润f（x）=；
（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣﹣20000=﹣（x﹣300）2+25000，
∴当x=300时，有最大值25000；
当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，
∴f（x）=60000﹣100×400＜25000．
∴当x=300时，有最大值25000，
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．
点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．
20．（12分）已知圆Cx2+y2+2x﹣4y+3=0
（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．
考点：直线与圆的位置关系；直线的截距式方程．
专题：计算题；直线与圆．
分析：（1）已知切线不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出变量即可求直线l的方程；
（2）利用斜率存在与不存在两种形式设出直线方程，通过圆心到直线的距离、半径半弦长满足勾股定理，求出经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．
解答：解：（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为x+y+c=0…1分
圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0
圆心C（﹣1，2）半径为，
圆心到切线的距离等于圆半径：，…3分
解得c=1或c=﹣3…4分
∴l或δ=1…5分
所求切线方程为：x+y+1=0或x+y﹣3=0…6分
（2）当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为（0，1），（0，3），线段长为2，符合
故直线x=0…8分
当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx，即kx﹣y=0
由已知得，圆心到直线的距离为1，…9分
直线方程为
综上，直线方程为x=0，…12分．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．
21．（12分）已知函数f（x）=log a（x﹣a）+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，1）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设函数h（x）=a x+1，函数F（x）=2的图象恒在函数G（x）=h（2x）+m+2的上方，求实数m的取值范围．
考点：函数恒成立问题．
专题：函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）根据函数过定点，代入解对数方程即可得到结论．
（Ⅱ）根据函数F（x）的图象恒在函数G（x）的上方，转化为不等式F（x）＞G（x）恒成立，即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=log a（x﹣a）+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，1）．
∴f（3）=log a（3﹣a）+1=1，即log a（3﹣a）=0，
解得3﹣a=1，解得a=2；
（Ⅱ）∵函数F（x）=2的图象恒在函数G（x）=h（2x）+m+2的上方
∴F（x）＞G（x）恒成立，
即2＞h（2x）+m+2，
即（2x+3）2＞22x+1+m+2，
整理得m＜（2x）2+2•2x+6，
设H（x）=（2x）2+2•2x+6，令t=2x，则t＞0，
则H（t）=t2+2t+6=（t+1）2+5，
∵t＞0，∴H（t）＞H（0）=6
∴m≤6．
点评：本题主要考查与对数函数有关的性质以及不等式恒成立问题，综合考查学生的运算能力，利用换元法是解决本题的关键．。