关于化简2阶线性偏微分方程的一些直观想法

关于化简2阶线性偏微分方程的一些直观想法
课本第一章谈到化简2阶2元线性偏微分方程，以便更好的分类进而方便其求解，个人认为其方法稍显突兀，并且难以向高维情况推广，以下讨论一些对于课本方法的改进。

2阶半线性偏微分方程的一般形式是：
1,()()(,,...,)0
i j
i ij x x i x n i j
i
a x u
a x u F u x x ++=∑∑
其二次的主部为：
0,i j
ij x x i j
L u a u =∑
化简的实质是做变换，而现阶段我们能够使用的仅有2种：①自变量变换 ；②未知函数变换
第一部分：过程推导
§1
首先我们知道，二阶方程困难之处是在于它的主部，于是我们单独就0L u 进行讨论。

受到二次型理论的启发，我们利用算子复合的概念将0L 写成二次型的形式：
11112121
222101
2
1
2
1............
..............n n n n n nn x a a a a a a x L x x x a a a x ∂⎛⎫ ⎪
∂ ⎪
⎛⎫ ⎪∂ ⎪⎛⎫∂∂∂ ⎪ ⎪∂=
⎪
⎪
⎪∂∂∂⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭
在这里要注意的一点的是，虽然ij a 是x 的函数，但在这个二次型里只当作系数，即不能理解为：
()ij i i a x x ∂∂∂∂，而应该理解为2
ij ij i j i j
a a x x x x ∂∂∂=∂∂∂∂，这一点在后面仍会碰到。

§2
接下来，首先我们看一般的自变量的光滑变换会产生什么效果。

令() i=1,2,...,n i i y y x =
记 1
2
...T n x x x x
⎛⎫∂∂∂∂= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ， 11
121
21222
1
2....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
⎪
⎝⎭， 12111122
2212...
...
..............
n n n n
n
n y y y x x x y y y x x x J y y y x x x ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂= ⎪ ⎪
⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭ 当然我们可以要求A 是对称阵。

然后我们计算新参数下的0L (应用爱因斯坦求和约定)
222222()() () () k
i j i j i k j k k i k j k j i k l
k j k l i j i k k l k j i k l j i k
y x x x x x y x y y x y x y x x y y y x y y x x x y y y y x x y y x x y ∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
=+
∂∂∂∂∂∂∂
20()
k l k ij ij ij i j j i k l j i k
y y y L a a a x x x x y y x x y ∂∂∂∂∂∂∂∂
==+∂∂∂∂∂∂∂∂∂
写成等价的矩阵形式：0
()[][()]T T T L J AJ AJ y y x y
∂∂∂∂
=+∂∂∂∂
注：在第二项[ ]中，同样要将A 的元素看作二次型系数，即x
∂
∂只作用在J 的元素上
§3
现在利用二次型理论，将中间的矩阵化简。

我们首先讨论的是2元2阶的方程，令n=2，12,x x x y ==
变换后的二阶主部可以直接写出来：
011122122'(,)[](,)
(,)(,)T
T x y x x T x y y y L J AJ a a a a ξηξη
ξξξηηηξηξηξη
∂∂∂∂=∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂= ⎪ ⎪ ⎪
∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭
22111222111222221112221112222()(,)(,)()2x x y y x x x y y x x y T
x x x y y x x y
x x y y
a a a a a a a a a a a a ξξξξξηξηξηξηξηξηξηξηηηηηξηξη
⎛
⎫+++++∂∂∂∂= ⎪ ⎪+++++∂∂∂∂⎝⎭若解出满足一阶方程111222()0x x x y y x x y a a a ξηξηξηξη+++=的,ξη，就可以使得方程对角化，然而这里有2个未知函数，一起求解可能非常复杂，好在我们要求的仅仅是一个特解，不妨令x η=，这样一来，就化成了11120x y x a a ξξη+=，而这个方程是很好解的。

于是，我们便完成了方程主部的对角化。

§4
由上面的理论，总可以设：
112212(,,)0xx yy x y a u a u a u a u F u x y ++++=
再做未知函数的变换：
121122
22a a dx dy a a v ue
+⎰
=，便可以将一阶导数项消去，化成
*1122(,,)0xx yy a v a v F v x y ++=
便是标准型了。

第二部分：推广
就课本的方法而言，其对于2个自变量的处理方法自有其可取之处，因为它巧妙的利用了特征曲线法
将偏微分方程2211122220x x y y a a a ξξξξ++=约化到常微分方程22
11122220a dy a dxdy a dx -+=的求
解，由此显得简洁，然而其弊端也是显而易见的，即对于自变量大于等于3个的情况就没有这么好的事了。

而采用我们刚刚讨论的方法，我们仍然可以在多自变量的情况下化简方程。

§1
考虑主部矩阵：
11121 21222
12
...
... ............
..
n
n
n n nn a a a a a a a a a
⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，令变换
1
22
()
...........
n n
y x
y x
y x
ξ
=
⎧
⎪=
⎪
⎨
⎪
⎪=
⎩
，则
1
2
0 0
1 0
..........
0..1
i
i
n
J
x
ξ
ξξ
ξ
ξ
⎛⎫
⎪
∂
⎪
==
⎪∂
⎪
⎝⎭
其中
变换后的主部为：
***
11121
*
12222
*
12
...
...
............
..
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
，其中
*
1
2,3,...,
j ij i
i
a a j n
ξ
==
∑
于是，我们要解一阶线性偏微分方程组：
*
121222321
*
112
...0 0
n n n nn n
a a a a
a a a a
ξ
ξ
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪
=⇔= ⎪ ⎪⎪
⎪⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
用课本第7章的知识可以求出它的特解，于是，主部化为
*
11
222
2
0...0 0... ............
0..
n
n nn a
a a
a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
然后重复这一过程，直到主部矩阵成为对角的即可。

§2
为了形象起见，我们举个简单的例子，考虑方程：
111
1110
111
x
x y x y
x
⎛⎫
∂
⎪
∂
⎪
⎛⎫
⎛⎫
∂∂∂∂
⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎪
∂∂∂∂
⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝⎭∂
⎪
⎪
∂
⎝⎭
首先解方程组122232
131313
0 x
y
z
a a a a a a
ξξξ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭，取特解2x y z
ξ=--，主部化为
000
011
011
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
类似的再取()
2333
0 y
z
a a
η
η
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
的特解，y z
η=-，主部化为
000
000
001
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
所以总的变换是
2x y z
y z
z
ξ
η
ζ
=--⎧
⎪
=-
⎨
⎪=
⎩
§3
我在与同学讨论这个问题的时候，有同学指出，不存在统一的自变量变换能将方程在区域Ω上化成同一种类型，因此将方程在Ω上对角化可能是办不到的。

但从结果来看是办得到的，因为它变化后的主
部系数*
ii a 仍然与x 有关，这并不妨碍*11*22*0...00...0 (00)
..nn a a a ⎛⎫ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎝
⎭
在不论多小的区域上不定，即不能确定
其正负惯性指数，事实上，sin sin sin 0xx yy zz x y z
u y u z u x y z x
++=在原点附近便是一个例子。