4-3-6 燕尾定理.学生版

燕尾定理：
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．
O
F
E D
C
B
A
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==
S 3
S 1S 4S 2E
D
C
B
A
【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，
所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形
CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.
【例 1】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．
O F E
D
C
B
A
【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .
例题精讲
燕尾定理
O F E
D
C
B
A
【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =
G
F E
D
C
B
A
【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .
O F E
D
C
B
A
【例 2】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?
35
30
4084
O F
E
D C
B
A
【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交
于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．
F
E
D C
B
A
3332
1F E D
C B
A
A
B
C
D
E
F
【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积
.
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，
AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．
F
E
D C
B
A
A
B
C D
E
F F
E
D
C
B
A
【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △
面积的几分之几？
O
E D
C
B
A
13.5
4.59
2
1121
3
O E D C
B
A
【巩固】如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1
3
CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，
则ABX △的面积等于 ．
X
Q
P
A
B
C X
Q
P
A
B
C
4
4
11
X
Q
P
C
B
A
【巩固】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，
则阴影四边形的面积是多少？
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分
的面积各是多少?
A
B
C
D
E F
4
8
621
A
B
C
D
E
F
【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC
的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．
A B
C
D
E F
A B
C
D
E
F 2.41.62A B
C D
E F 12
【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影
部分)的面积为多少？
【例 4】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．
F
E D C B A
F
E D
C
B A
【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？
A B
C
D
E O
A
B
C
D
E O
【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？
A B C
D
E O
【例 5】 如图9，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交
于点F ，则四边形DEFC 的面积等于 。

A
F
B
E
D
C
【例 6】 如图1，ABC ∆中，点E 在AB 上，点F 在AC 上，BF 与CE 相交于点P ，如果
4BEP CFP AEPF S S S ∆∆===四边形，则BPC S ∆= .
P
F E
C
B
A
【例 7】 如图4，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF ＝
DC ，且AD ＝2DE 。

则两块田地ACF 和CFB 的面积比是___________。

F E D
C
B
A
【例 8】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少
平方厘米
?
y B C
D E
G
E D C
B
A
E
D
B A
【例 9】 如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四
边形BODC 的面积为________．
O
F
E D
B
A
68
46
2
1
O F E D
B A
【例 10】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边
形AGCD 的面积是_________平方厘米．
G
F
E D
C
B
A
G
F
E D C
B
A
【例 11】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的
面积是_____平方厘米．
E
D
C
B
E
D
C
B
【例 12】 如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，1
4
CF BC =，AF 与
CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为 ．
B
E
H B
E
B
E
【例 13】 正六边形1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 的面积是2009平方厘米，1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B 分别是正
六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
平方厘米．
A 4
B 5A 3
A 4
5A 3
【例 14】 已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =
b
a
E
D
A b
a
M
E
D
【例 15】 右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积
是 ．
【例 16】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角
形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．
I H
G
F
E
D
C B
A
I H
G F
E
D
C
B
A
【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形
ABC 的面积．
I
H G F
E
D
C
B
A
I
H G F
E
D
C
B
A
【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的
倍．
E
E
【巩固】如图在ABC △中，
1
2
DC EA FB DB EC FA ===,求
GHI ABC △的面积△的面积的值． I
H
G F
E
D
C
B
A
I
H
G F
E
D
C
B
A
【巩固】如图在ABC △中，
1
3
DC EA FB DB EC FA ===,求
GHI ABC △的面积△的面积的值．
I
H
G F
E
D
C
B
A
I
H G F
E
D
C
B A
【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI
的面积．
I
H G F
E
D
C
B
A
I
H G F
E
D
C
B
A
【例 17】 三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面
积．
F C
B
A
F C
B
【例 18】 如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF
与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？
N M G
A B
C
D E
F
N
M
G
A B
C
D E
F
【巩固】如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么
四边形CDMF 的面积是_________．
F
A
B
C
D
E
M N
F
A
B
C
D
E M
N
【例 19】 如图，等腰直角三角形DEF 的斜边在等腰直角三角形ABC 的斜边上，连接AE 、AD 、AF ，于是
整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么△ABC 的面积是________． （36）
【例 20】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请
写出这9部分的面积各是多少?
G
F
E D C
B
A
N M
Q
P
G
F E
D
C
B
A
【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四
边形JKIH 的面积是多少？
K J
I H
A
B
C D E
F G
K
J
I H
A
B
C D E F
G
【例 21】 如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC =，::1:2:1CF FG GA =，::1:2:1AH HI IB =，
求阴影部分面积．
C
B
B
【例 22】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部
分面积.
G
C
B
A
G
C
B
【例 23】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六
边形面积
.
G
C
B
A
G
C
B
A。