中考初三数学冲刺拔高专题训练含答案

中考数学冲刺拔高
专题训练
目录
专题提升(一) 数形结合与实数的运算 (1)
专题提升(二) 代数式的化简与求值 (5)
专题提升(三) 数式规律型问题 (9)
专题提升(四) 整式方程(组)的应用 (15)
专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 (22)
专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 (31)
专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 (41)
专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 (48)
专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 (54)
专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (60)
专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 (69)
专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 (77)
专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 (83)
专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (92)
专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 (99)
专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 (106)
专题提升(一)数形结合与实数的运算
类型之一数轴与实数
【经典母题】
如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把2和－2表示在数轴上．
图Z1－1
【思想方法】(1)在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应；
(2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行
实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题．
【中考变形】
1．[2017·北市区一模]如图Z1－2，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是(C)
图Z1－2
A.5＋1
B. 5
C.5－1 D．1－ 5
【解析】∵AD长为2，CD长为1，∴AC＝22＋12＝5，∵A点表示－1，∴E 点表示的数为5－1.
2．[2016·娄底]已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图Z1－3，则其中对应的数的绝对值最大的点是(D)
图Z1－3
A．M B．N C．P D．Q
3．[2016·天津]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图Z1－4所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是(C)
图Z1－4
A．－a＜0＜－b B．0＜－a＜－b
C．－b＜0＜－a D．0＜－b＜－a
【解析】∵从数轴可知a＜0＜b，∴－b＜0，－a＞0，∴－b＜0＜－a. 4．[2017·余姚模拟]如图Z1－5，数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，若点A，E表示的数分别为x，y，且x＋y＝2，则点C表示的数为(B)
图Z1－5
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】根据题意，知y－x＝4，即y＝x＋4，将y＝x＋4代入x＋y＝2，得x＋x ＋4＝2，解得x＝－1，则点A表示的数为－1，则点C表示的数为－1＋2＝1. 5．如图Z1－6，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于(A)
图Z1－6
A．－4和－3之间B．3和4之间
C．－5和－4之间D．4和5之间
【解析】∵点P的坐标为(－2，3)，
∴OP＝22＋32＝13.
∵点A，P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，
∴OA＝OP＝13，
∵9＜13＜16，∴3＜13＜4.
∵点A在x轴的负半轴上，
∴点A的横坐标介于－4和－3之间．故选A.
6．[2017·成都改编]如图Z1－7，数轴上点A表示的实数是．
图Z1－7
【中考预测】
如图Z1－8，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论中正确的是(C)
图Z1－8
A．a＞b B．|a|＞|b|
C．－a＜b D．a＋b＜0
【解析】由图知，a＜0＜b且|a|＜|b|，∴a＋b＞0，即－a＜b，故选C.
类型之二实数的混合运算
【经典母题】
计算：2×(3＋5)＋4－2× 5.
解：2×(3＋5)＋4－2×5＝2×3＋2×5＋4－2×5＝6＋4＋2×5－2×5＝
10.
【中考变形】
1．[2016·台州]计算： 4－⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－12＋2－1. 解：原式＝2－12＋12＝2.
2．[2017·临沂]计算：|1－2|＋2cos45°－8＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1
. 解：|1－2|＋2cos45°－8＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1＝2－1＋2×22－22＋2＝2－1＋2－22＋2＝1.
3．[2017·泸州]计算：(－3)2＋2 0170－18×sin45°.
解：(－3)2＋2 0170－18×sin45°＝9＋1－32×
22
＝10－3＝7.
【中考预测】 计算：12－3tan30°＋(π－4)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. 解：12－3tan30°＋(π－4)0
－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝23－3×33＋1－2＝3－1.
专题提升(二) 代数式的化简与求值
类型之一 整式的化简与求值
【经典母题】
已知x ＋y ＝3，xy ＝1，你能求出x 2＋y 2的值吗？(x －y )2呢？
解：x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝32－2×1＝7；
(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝32－4×1＝5.
【思想方法】 利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题．
完全平方公式的一些主要变形有：(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)，(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ，在四个量a ＋b ，a －b ，ab 和a 2＋b 2中，知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量．
【中考变形】
1．已知(m －n )2＝8，(m ＋n )2＝2，则m 2＋n 2的值为
( C ) A ．10 B ．6 C ．5 D ．3
2．已知实数a 满足a －1a ＝3，则a 2＋1a 2的值为__11__.
【解析】 将a －1a ＝3两边平方，可得a 2－2＋1a 2＝9，即a 2＋1a 2＝11.
3．[2017·重庆B 卷]计算：(x ＋y )2－x (2y －x )．
解：原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy ＋x 2＝2x 2＋y 2.
4．[2016·漳州]先化简(a ＋1)(a －1)＋a (1－a )－a ，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a 的取值有什么关系(不必说明理由)?
解：原式＝a 2－1＋a －a 2－a ＝－1.
故该代数式的值与a 的取值没有关系．
【中考预测】
先化简，再求值：(a －b )2＋a (2b －a )，其中a ＝－12，
b ＝3.
解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋2ab －a 2＝b 2.
当a ＝－12，b ＝3时，原式＝32＝9.
类型之二 分式的化简与求值
【经典母题】
计算：(1)a b －b a －a 2＋b 2ab ；
(2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x x －2－x x ＋2·x 2－4x . 解：(1)原式＝a 2－b 2ab －a 2＋b 2ab ＝－2b 2ab ＝－2b a ；
(2)原式＝3x （x ＋2）－x （x －2）（x －2）（x ＋2）·x 2－4x ＝2x 2＋8x x 2－4
·x 2－4x ＝2x ＋8. 【思想方法】 (1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程；
(2)注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；
(3)分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母而约分化简；
(4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别．
【中考变形】
1．[2017·重庆A 卷]计算：⎝ ⎛⎭
⎪⎫3a ＋2＋a －2÷a 2－2a ＋1a ＋2. 解：原式＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3a ＋2＋a 2－4a ＋2÷（a －1）2a ＋2 ＝（a ＋1）（a －1）a ＋2·a ＋2（a －1）2＝a ＋1a －1
2．[2017·攀枝花]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1÷x 2－1x 2＋x
，其中x ＝2. 解：原式＝x ＋1－2x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）
＝x －1x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x x ＋1
. 当x ＝2时，原式＝
22＋1
＝23. 【中考预测】
先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3
－13－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋1x 2－3x ＋2－2x －2，其中x ＝4. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3
＋1x －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －1）2（x －1）（x －2）－2x －2 ＝（x －2）2x －3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x －2－2x －2＝（x －2）2x －3·x －3x －2 ＝x －2.当x ＝4时，原式＝x －2＝2.
类型之三 二次根式的化简与求值
【经典母题】
已知a ＝3＋2，b ＝3－2，求a 2－ab ＋b 2的值．
解：∵a ＝3＋2，b ＝3－2，∴a ＋b ＝23，ab ＝1，
∴a 2－ab ＋b 2＝(a ＋b )2－3ab ＝(23)2－3＝9.
【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把a ＋b ，a －b ，ab 当作整体进行代入．整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单．整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点考查的数学思想方法之一．
【中考变形】
1．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为
( C )
A ．9
B ．±3
C ．3
D ．5 2．[2016·仁寿二模]先化简，再求值：a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2
÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b ，其中a ＝2＋1，b ＝2－1.
解：原式＝（a －b ）2（a ＋b ）（a －b ）÷b －a ab ＝a －b a ＋b ·ab b －a ＝－ab a ＋b
， 当a ＝2＋1，b ＝2－1时，原式＝－1
22＝－24.
3．[2017·绵阳]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y x 2－2xy ＋y 2－x x 2－2xy ÷y x －2y
，其中x ＝22，y ＝ 2. 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y （x －y ）2－x x （x －2y ）÷y x －2y
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y －1x －2y ÷y x －2y
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2y ）－（x －y ）（x －y ）（x －2y ）÷y x －2y
＝－y （x －y ）（x －2y ）·x －2y y ＝－1x －y
. 当x ＝22，y ＝2时，原式＝－1x －y ＝－12＝－22. 【中考预测】 先化简，再求值：1a ＋b ＋1b ＋b a （a ＋b ）
，其中a ＝5＋12，b ＝5－12. 解：原式＝ab ＋a （a ＋b ）＋b 2ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）2ab （a ＋b ）＝a ＋b ab ， ∵a ＋b ＝5＋12＋5－12＝5，ab ＝5－12×5＋12＝1，
∴原式＝ 5.
专题提升(三)数式规律型问题
【经典母题】
观察下列各式：
52＝25；
152＝225；
252＝625；
352＝1 225；
…
你能口算末位数是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由．
解：把末位数是5的自然数表示成10a＋5的一般形式，其中a为自然数，
则(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25＝100a(a＋1)＋25，
因此在计算末位数是5的自然数的平方时，只要把100a与a＋1相乘，并在积的后面加上25即可得到结果．
【思想方法】模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之一．
【中考变形】
1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：
3－2＝1；
8＋7－6－5＝4；
15＋14＋13－12－11－10＝9；
24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16；
…
根据以上规律可知第10行左起第1个数是(C)
A．100 B．121 C．120 D．82
【解析】根据规律可知第10行等式的右边是102＝100，等式左边有20个数加减．∵这20个数是120＋119＋118＋…＋111－110－109－108－…－102－101，∴左起第1个数是120.
2．[2016·邵阳]如图Z3－1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是(B)
图Z3－1
A．y＝2n＋1 B．y＝2n＋n
C．y＝2n＋1＋n D．y＝2n＋n＋1
【解析】∵观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，…，n，右边三角形的数
字规律为21，22…，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n＋2n，∴最
后一个三角形中y与n之间的关系为y＝2n＋n.
3．[2018·中考预测]根据图Z3－2中箭头的指向规律，从2 017到2 018再到2 019，
箭头的方向是下列选项中的(D)
图Z3－2
【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，
2 017÷4＝504……1，
∴2 017是第505个循环组的第2个数，
∴从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是.
故选D.
4．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条
没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图
Z3－3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2
次应拿走⑤号棒，…则第6次应拿走
(D)
图Z3－3 A．②号棒B．⑦号棒
C．⑧号棒D．⑩号棒
【解析】仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应
拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒．
5．[2017·烟台]用棋子摆出下列一组图形(如图Z3－4)：
图Z3－4
按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为(D)
A．3n B．6n
C．3n＋6 D.3n＋3
【解析】 ∵第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子3×2＋3＝9；第3个图需棋子3×3＋3＝12；…∴第n 个图需棋子(3n ＋3)个．
6．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…以此类推，那么第9个三角形数是__45__，2 016是第__63__个三角形数．
【解析】 根据所给的数据发现：第n 个三角形数是1＋2＋3＋…＋n ，则第9个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；由1＋2＋3＋4＋…＋n ＝
2 016，得n （n ＋1）2
＝2 016，解得n ＝63(负数舍去)． 7．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序
数的倒数加1.如：第1位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋1，第2位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1，第3位同学报⎝ ⎛⎭
⎪⎫13＋1，…这样得到的100个数的积为__101__.
【解析】 ∵第1位同学报的数为11＋1＝21，第2位同学报的数为12＋1＝32，第3位
同学报的数为13＋1＝43，…
∴第100位同学报的数为1100＋1＝101100，
∴这样得到的100个数的积＝21×32×43×…×101100＝101.
8．[2017·潍坊]如图Z3－5，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为__9n ＋3__．
图Z3－5
【解析】 ∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝6＋6＝12＝9＋3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝11＋10＝21＝9×2＋3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝16＋14＝30＝9×3＋3，…∴第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和＝9n ＋3.
9．观察下列等式：
第一个等式：a 1＝11＋2
＝2－1；
第二个等式：a 2＝12＋3
＝3－2； 第三个等式：a 3＝13＋2
＝2－3； 第四个等式：a 4＝12＋5
＝5－2； …
按上述规律，回答以下问题：
(1)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝ 1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；
(2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝【解析】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋(2－3)＋(5－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.
10．[2016·山西]如图Z3－6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有__4n ＋1__个涂有阴影的小正方形(用含有n 的代数式表示)．
图Z3－6
【解析】 由图可知，涂有阴影的小正方形有5＋4(n －1)＝4n ＋1(个)．
11．如图Z3－7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n 个图案中有__5n ＋1__根小棒．
图Z3－7
【解析】 ∵第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有6＋5×1＝11根小棒，第3个图案中有6＋5×2＝16根小棒，…∴第n 个图案中有6＋5(n －1)＝5n ＋1根小棒．
12．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Z3－8所示．
由图易得12＋122＋123＋…＋12n ＝__1－12n __.
图Z3－8
13．[2016·安徽](1)观察图Z3－9中的图形与等式的关系，并填空：
图Z3－9
【解析】1＋3＋5＋7＝16＝42，观察，发现规律：1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…∴1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
(2)观察图Z3－10，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：
图Z3－10
1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋__2n＋1__＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝__2n2＋2n＋1__．【解析】观察图形发现：图中黑球可分为三部分，1到n行，第n＋1行，n＋2行到2n＋1行，即1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋[2(n＋1)－1]＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝n2＋2n＋1＋n2＝2n2＋2n＋1.
【中考预测】
一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图Z3－11方式进行拼接．
(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？
(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？
图Z3－11
解：(1)把4张餐桌拼起来能坐4×4＋2＝18(人)；
把8张餐桌拼起来能坐4×8＋2＝34(人)；
(2)设这样的餐桌需要x张，由题意，得4x＋2＝90，
解得x＝22.
答：这样的餐桌需要22张．
专题提升(四) 整式方程(组)的应用
类型之一 一元一次方程的应用
【经典母题】
汽车队运送一批货物．若每辆车装4 t ，还剩下8 t 未装；若每辆车装4.5 t ，恰好装完．这个车队有多少辆车？
解：设这个车队有x 辆车，依题意，得
4x ＋8＝4.5x ，解得x ＝16.
答：这个车队有16辆车．
【思想方法】 利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式(组)等的基础，是课标要求，也是热门考点．
【中考变形】
1．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是
( C )
A ．25台
B ．50台
C ．75台
D ．100台 【解析】 设今年购置计算机的数量是x 台，去年购置计算机的数量是(100－x )台，根据题意可得x ＝3(100－x )，解得x ＝75.
2．[2016·盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”．爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”．小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？
请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．
解：设上月萝卜的单价是x 元/斤，则排骨的单价36－3x 2元/斤，根据题意，得3(1
＋50%)x ＋2(1＋20%)⎝ ⎛⎭
⎪⎫36－3x 2＝45， 解得x ＝2，则36－3x 2＝36－3×22
＝15. ∴这天萝卜的单价是(1＋50%)×2＝3(元/斤)，
这天排骨的单价是(1＋20%)×15＝18(元/斤)．
答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．
【中考预测】
[2016·株洲模拟]根据如图Z4－1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．
图Z4－1
解：设笔的价格为x 元/支，则笔记本的价格为3x 元/本，
由题意，得10x ＋5×3x ＝30，
解得x ＝1.2，∴3x ＝3.6.
答：笔的价格为1.2元/支，笔记本的价格为3.6元/本．
类型之二 二元一次方程组的应用
【经典母题】
用如图Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？
图Z4－2
解：设做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，可恰好将库存的纸板用完．
根据题意，得⎩⎨⎧4x ＋3y ＝2 000，x ＋2y ＝1 000，解得⎩
⎨⎧x ＝200，y ＝400. 答：竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完．
【思想方法】 利用方程(组)解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想．
【中考变形】
1．小华写信给老家的爷爷，问候“八·一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4－3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰3.8 cm ；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽．
①
②
图Z4－3
解：设信纸的纸长为x cm ，信封口的宽为y cm.
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 4＋3.8，y ＝x 3
＋1.4，解得⎩⎨⎧x ＝28.8，y ＝11. 答：信纸的纸长为28.8 cm ，信封的口宽为11 cm.
2．某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2 min 内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min 内可以通过800名学生．
(1)求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？
(2)检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在5 min 内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．
解：(1)设一个正门平均每分钟通过x 名学生，一个侧门平均每分钟通过y 名学生，由题意，得
⎩⎨⎧2x ＋4y ＝560，4x ＋4y ＝800，解得⎩
⎨⎧x ＝120，y ＝80. 答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生；
(2)由题意得共有学生45×10×4＝1 800(人)，
学生通过的时间为1 800÷[(120＋80)×0.8×2]＝458(min)．
∵5＜458，∴该教学楼建造的这4个门不符合安全规定．
【中考预测】
随着“互联网＋”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p 元/km 计算，耗时费按q 元/min 计算(总费用不足9元按9元计价)．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：
(1)求p ，q 的值；
(2)如果小华也用该打车方式，车速55 km/h ，行驶了11 km ，那么小华的打车总费用为多少？
解：(1)小明的里程数是8 km ，时间为8 min ；小刚的里程数为10 km ，时间为12 min.
由题意得⎩⎨⎧8p ＋8q ＝12，10p ＋12q ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝12
； (2)小华的里程数是11 km ，时间为12 min.
则总费用是11p ＋12q ＝17(元)．
类型之三 一元二次方程的应用
【经典母题】
某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到306 600元？
解：(1)100－3 600－3 00050
＝88(辆)． 答：当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆．
(2)设每辆车的月租金定为(3 000＋x )元，则
⎝ ⎛⎭
⎪⎫100－x 50[(3 000＋x )－150]－x 50×50＝306 600， 解得x 1＝900，x 2＝1 200，
∴3 000＋900＝3 900(元)，3 000＋1 200＝4 200(元)．
答：当每辆车的月租金为3 900元或4 200元时，月收益可达到306 600元．
【思想方法】利润＝收入－支出，即利润＝租出去车辆的租金－租出去车辆的维护费－未租出去车辆的维护费．
【中考变形】
1．[2017·眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为6个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 解：(1)设此批次蛋糕属第a 档次产品，则10＋2(a －1)＝14，解得a ＝3.
答：此批次蛋糕属第3档次产品．
(2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，
根据题意，得[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝1 080，
解得x 1＝5，x 2＝11(舍去)．
答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．
2．[2017·重庆B卷]某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量
的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年
樱桃的市场销售量为100 kg，销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg，销售均价为20元/kg，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
【解析】(1)根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量；
(2)抓住关键语句，仔细梳理，根据去年、今年樱桃销售量、销售均价，求出各自
的销售额，可以用一张表格概括其中数量关系：
然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解．
解：(1)设该果农今年收获樱桃至少x kg，今年收获枇杷(400－x)kg，依题意，得400－x≤7x，解得x≥50.
答：该果农今年收获樱桃至少50 kg.
(2)由题意，得3 000×(1－m%)＋4 000×(1 ＋2m%)×(1－m%)＝7 000，解得m1
＝0(不合题意，舍去)，m2＝12.5.
答：m的值为12.5.
【中考预测】
某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400 kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg.
(1)当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？
(2)若商场只要求保证每天的盈利为4 420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应
涨价多少元？
解：(1)设每千克涨价x元，总利润为y元．
则y＝(10＋x)(400－20x)
＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.
当x＝5时，y取得最大值，最大值为4 500元．
答：当每千克涨价5元时，每天的盈利最多，最多为4 500元；
(2)设每千克应涨价a元，则(10＋a)(400－20a)＝4 420.
解得a＝3或a＝7，
为了使顾客得到实惠，∴a＝3.
答：每千克应涨价3元．
专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用
类型之一 一次函数的图象的应用
【经典母题】
如图Z5－1，由图象得⎩⎨⎧5x －2y ＋4＝0，3x ＋2y ＋12＝0的解是 ⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－3
． 图Z5－1
【思想方法】 (1)每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，于是也对应着两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标；
(2)一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着独立的概念，但在本质上，后者是前者的特殊情况，从而可以利用函数图象解决方程或方程组问题，体现出数形结合的思想．
【中考变形】
1．高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便．五一期间，乐乐和颖颖相约到杭州市某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1 h 后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车东站，然后转乘出租车去游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y (km)与乘车时间t (h)的关系如图Z5－2所示．请结合图象解决下列问题：
图Z5－2
(1)高铁的平均速度是每小时多少千米？
(2)当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？
(3)若乐乐要提前18 min 到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少？ 解：(1)v ＝2402－1
＝240(km/h)， 答：高铁的平均速度为240 km/h ；
(2)设乐乐离开衢州的距离y 与时间t 的函数关系为y ＝kt ，则1.5k ＝120，k ＝80，∴函数表达式为y ＝80t ，
当t ＝2时，y ＝160，216－160＝56(km)．
答：乐乐距离游乐园还有56 km ；
(3)把y＝216代入y＝80t，得t＝2.7，
2．7－18
60＝2.4(h)，
216
2.4＝90(km/h)．
答：乐乐要提前18 min到达游乐园，私家车的速度必须达到90 km/h. 2．[2017·宿迁]小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留2 min，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚7：39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1 min到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数图象如图Z5－3所示．
图Z5－3
(1)求点A的纵坐标m的值；
(2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距
学校站点的路程．
解：(1)校车的速度为3÷4＝0.75(km/min)，
点A的纵坐标m的值为3＋0.75×(8－6)＝4.5.
答：点A的纵坐标m的值为4.5；
(2)校车到达学校站点所需时间为9÷0.75＋4＝16(min)，
出租车到达学校站点所需时间为16－9－1＝6(min)，
出租车的速度为9÷6＝1.5(km/min)，
两车相遇时出租车出发时间为0.75×(9－4)÷(1.5－0.75)＝5(min)，
相遇地点离学校站点的路程为9－1.5×5＝1.5(km)．
答：小刚乘坐出租车出发后经过5 min追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站点的路程为1.5 km.
3．方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图Z5－4①所示．方成思考后发现了图①的部分信息：乙先出发1 h；甲出发0.5 h 与乙相遇…
请你帮助方成同学解决以下问题：
(1)分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；
(2)当20＜y ＜30时，求t 的取值范围；
(3)分别求出甲，乙行驶的路程s 甲，s 乙与时间t 的函数表达式，并在图②所给的直
角坐标系中分别画出它们的图象；
(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从N 地沿同一公路匀速前往M 地，若丙经过43 h 与
乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？
图Z5－4
解：(1)设直线BC 的函数表达式为y ＝kt ＋b ，
把⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫73，1003分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝32k ＋b ，1003＝73k ＋b ，
解得⎩
⎨⎧k ＝40，b ＝－60， ∴直线BC 的表达式为y ＝40t －60.
设直线CD 的函数表达式为y 1＝k 1t ＋b 1，
把⎝ ⎛⎭⎪⎫73，1003，(4，0)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧1003＝73k 1＋b 1，0＝4k 1＋b 1，
解得⎩⎨⎧k 1＝－20，b 1＝80，
∴直线CD 的函数表达式为y 1＝－20t ＋80； (2)设甲的速度为a km/h ，乙的速度为b km/h ，根据题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧0.5a ＝1.5b ，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫73
－1＝73b ＋1003，解得⎩⎨⎧a ＝60，b ＝20， ∴甲的速度为60 km/h ，乙的速度为20 km/h ，
∴OA 的函数表达式为y ＝20t (0≤t ≤1)，
∴点A 的纵坐标为20，OA 段，AB 段没有符合条件的t 值；
当20＜y ＜30时，即20＜40t －60＜30或20＜－20t ＋80＜30，解得2＜t ＜94或52＜t
＜3；
(3)根据题意，得s 甲＝60t －60⎝ ⎛⎭
⎪⎫1≤t ≤73，
s 乙＝20t (0≤t ≤4)，所画图象如答图所示；
中考变形3答图
(4)当t ＝43时，s 乙＝803，此时丙距M 地的路程s 丙与时间t 的函数表达式为s 丙＝－
40t ＋80(0≤t ≤2)，
当－40t ＋80＝60t －60时，解得t ＝75，
答：丙出发75 h 与甲相遇．
【中考预测】
[2017·义乌模拟]甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y (件)与时间x (h)的函数图象如图Z5－5所示．
图Z5－5
(1)直接写出甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数关系式__y ＝60x (0＜x ≤6)__；
(2)求乙组加工零件总量a 的值；
(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？
解：(1)∵图象经过原点及(6，360)，
∴设表达式为y ＝kx ，∴6k ＝360，解得k ＝60，
∴y ＝60x (0＜x ≤6)；
(2)乙2 h 加工100件，
∴乙的加工速度是每小时50件，
∴更换设备后，乙组的工作速度是每小时加工100件，
a ＝100＋100×(4.8－2.8)＝300；
(3)乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y 与时间x 的函数关系式为y ＝100＋100(x －2.8)＝100x －180，
当0＜x ≤2时，60x ＋50x ＝300，
解得x ＝3011(不合题意，舍去)；
当2＜x ≤2.8时，100＋60x ＝300，
解得x＝10
3(不合题意，舍去)；
当2.8＜x≤4.8时，60x＋100x－180＝300，
解得x＝3，符合题意．
答：经过3 h恰好装满第1箱．
类型之二一次函数的性质的应用
【经典母题】
某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1 500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．
(1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式；
(2)在同一直角坐标系中画出它们的图象；
(3)根据图象回答下列问题：印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？
商场计划花费3 000元用于印刷上述宣传材料，找哪一家印刷厂印制宣传材料多一些？
解：(1)甲厂的收费函数表达式为y
甲
＝x＋1 500，
乙厂的收费函数表达式为y
乙
＝2.5x；
(2)图略；
(3)当x＝800时，
y甲＝x＋1 500＝800＋1 500＝2 300(元)，
y乙＝2.5x＝2.5×800＝2 000(元)；
当y＝3 000时，
y甲＝x＋1 500＝3 000，解得x＝1 500，
y乙＝2.5x＝3 000，解得x＝1 200，
答：印制800份材料时，选择乙厂合算；花费3 000元时，甲厂印制的宣传材料多一些．
【思想方法】解此类一次函数在实际生活中的应用的问题，需综合运用方程等知识，体现了数形结合思想．
【中考变形】
1．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：。