上海市交大附中高二数学下学期摸底考试试题

上海市交大附中08-09学年高二下学期摸底考试（数学）
（满分100分，90分钟完成，答案请写在答题纸上）
命题：倪桓华 审核：杨逸峰
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有11题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接
填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。

1．计算：4 2
3 5-= ；
2
．计算n = ； 3．如果 1 213 43A ⎛⎫
⎛⎫
= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，则矩阵A = ；
4．已知a ⊥b ，并且a ),3(x = ，b =（5，10）， 则 x = ；
5．已知等差数列0，132-，-7，… 则1
3(2)2
n -+是这个数列的第 项；
6．已知数列{a n }满足a 1=0
，1n a +（n ∈Z +），则a 2009+a 2010= ；
7．过点（1，1）的直线的一个方向向量为（-1，2），则该直线方程是 ； 8．若点(1，1)在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是 ；
9．按如图所示的程序框图运算．若输入8x =，则输出k = ；
10．已知平面上直线l 的方向向量e =(45-，3
5
)，点O (0，0)和A (1，-2)
在l 上的射影分别是O ' 和A '，则''O A =λe ，其中λ= ；
11．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0，1]对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉
成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完
成后，原来的坐标14，34变成12，原来的坐标12
变成1，等等）。

那么原闭区间[0，1]上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好
被拉到与1重合的点所对应的坐标为 ；原闭区间[0，1]上（除
两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（n ≥1），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为 。

∙∙ ∙ 121 0
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出4个结论，其中有且只有一个结论是正确的，把正确结论的代号填在答题纸相应题序的空格内，选对得3分，否则一律得零分。

12．某人在超市一次性购买了20斤大米和10斤食用油，大米的价格是1.9元／斤，食用油的价格是15元／斤，则购买这两种商品的总花费可以用下列各式计算得到的是（ ）
(A)
201510 1.9； (B) 20 1.9
1015
； (C)
()1.9201015⎛⎫ ⎪⎝⎭； (D) ()1.9201015⎛⎫
⎪⎝⎭
.
13．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是 （ ） (A) 相交； (B) 相离； (C) 外切；
(D) 内切
14．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = （ ）
(A) 2 ； (B) 4 ； (C) 6 ； (D) 8
15．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足
=31 (21+2
1
+2)，则点P 一定为三角形ABC 的 （ ）
(A) AB 边中线的中点； (B) 重心； (C) AB 边中线的三等分点（非重心）； (D) AB 边的中点
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。

16．（本题满分8分）
已知向量2(1,2)a x p =++，(3,)b x =，p 是实数．若存在唯一实数x ，使a b +与
(1,2)c =平行，试求p 的值。

17．（本题满分8分）
已知点F (2 ,0) ，点P 在y 轴上运动，过P 作PM ⊥PF 交x 轴于点M ，在线段MP 的延长线上取 点N ，使PN PM =。

（1）求动点N 的轨迹C 的方程；
（2）直线2y x =-与轨迹C 交于点A ，B ，求ABO ∆的面积（O 为坐标原点）。

18．（本题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知a a =1 (3≠a )，n n n S S 321+=+，*∈N n . （1）设n n n S b 3-=，*∈N n ，证明数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）若数列{}n a 为单调递增数列，求a 的取值范围。

19．（本题满分12分）
在中学阶段，对许多特定集合（如实数集、平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．
现设集合A 由全体二元有序实数对组成，在A 上定义一个运算，记为⊙， 对于A 中的任意两个元素),,(b a =α),(d c =β，规定：α⊙β)(　， b
c a
d d b c a -=．
（1）计算：)3,2(⊙)4,1(-；
（2）请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律，并任选其一证明；
（3）A 中是否存在唯一确定的元素I 满足：对于任意A ∈α，都有α⊙=I I ⊙αα=成立，若存在，请求出元素I ；若不存在，请说明理由；
20．（本题满分12分）
函数()f x 是这样定义的：对于任意整数m ，当实数x 满足不等式1
2
x m -<时，有()f x m =． （1）求函数()f x 的定义域D ，并画出它在[]0,4x D
∈上的图像；
（2）若数列22105n
n a ⎛⎫
=+⋅ ⎪⎝⎭
，记()()()()123n n S f a f a f a f a =+++
+，求n S ；
（3）若等比数列{}n b 的首项是11b =，公比为q (q >0)，又()()()1234f b f b f b ++=，求公比q 的取值范围．
2
高二摸底试卷
一、1． 26 2．2 3．10⎛⎫ ⎪⎝⎭
4． -1.5 5． n +3 6． 0 7． 2x +y -3=0 8．（-1，1） 9． 4
10．；-2
11．14，34；2n i
，i 为[1,2n ]中的所有奇数
二、12．（ D ） 13．（ A ） 14．（B ） 15．（ C ）
三、16．（本题满分8分） 解：
2(1,2)a x p =++，(3,)b x =，∴2(4,2)a b x x p +=+++,
又
a b +与(1,2)c =平行，∴22(4)2x x p +=++，即2260x x p --+=，
由题意知方程2260x x p --+=有两个相等的实根，
∴18(6)0p ∆=--=，∴47
8
p =．
17．（本题满分8分）
解：（1）设N 点坐标为),(y x ，则M 、P 两点的坐标为(,0),(0,)2
y x -
因为PM ⊥PF ，所以0=⋅PF PM ，所以28y x =(x >0) （2）2
2
8y x y x
=-⎧⎨=⎩28160y y ⇒--=
，16AB ∴， 而点O 到直线2y x =-
的距离d
ABO S ∆=
18．（本题满分12分）
解：（1）1113n n n S b +++=+，依题意，1132(3)3n n n n n b b +++=++12n n b b +⇒=
且11330b S a =-=-≠，所以，数列{}n b 为公比为2的等比数列。

（2）()132,*n n b a n N -=-∈⇒()1332,*n n n S a n N -=+-∈ 于是，当2n ≥时，()1212332n n n n n a S S a ---=-=⨯+-
12
(1)
23(3)2 (2,)
n n n a n a a n n N --=⎧∴=⎨⨯+-≥∈⎩ （3）{}n a 单调递增1n n a a +⇒>对所有正整数n 均成立。

首先，213a a a =+> 当2n ≥时，2
133122n n n a a a -+⎛⎫
>⇔>-⋅ ⎪
⎝⎭
2
3()3122n f n -⎛⎫=-⋅ ⎪
⎝⎭
在2n ≥且n ∈N 上递减，∴max ()(2)9f n f ==- 综上，所求的a 的取值范围是(9,3)(3,)-+∞
19．（本题满分12分）
解：（1）)3,2(⊙)14,5()4,1(=-
（2）设A 中的任意三个元素),,(b a =α),(d c =β，),(f e =γ 交换律：α⊙=-+=),(ac bd bc ad ββ⊙α
结合律：（α⊙β）⊙=----++=),(bce ade acf bdf ace bde bcf adf γα⊙（β⊙γ） （3）假设存在),(y x I =，),,(b a =α则I ⊙αα=，即
),(y x ⊙=),(b a ),(b a )(　， y
a x
b b y a x -⇔),,(b a =
则bx ay a
ax by b
+=⎧⎨-+=⎩对任意实数a 、b 恒成立22[(1)]0ab x y ⇒+-=⇒1,0==y x 所以，存在)1,0(=I
满足：对于任意A ∈α，都有α⊙=I I ⊙αα=成立
20．（本题满分12分）
解：(1）函数()f x 的定义域是1,,2D x x m m Z x R ⎧⎫
=≠+∈∈⎨⎬⎩⎭，图像如图所示；
（2）由于22105n n a ⎛⎫
=+⋅ ⎪⎝⎭，所以()6
1
4
23
32
4
n n n f a n n =⎧⎪=⎪=⎨
=⎪⎪≥⎩，因此6
110
2273
n n S n n n =⎧⎪
==⎨⎪+≥⎩； （3）由()()()1234f b f b f b ++=得()()23f q f q +=，
当01q <≤时，则21q q ≤≤，所以()()()21f q f q f ≤≤，因为()11f =，所以不合题意；
当1q >时，则2
1q q >>，即()
()2
1f q
f q ≥≥，所以只可能是()()
2
1
2f q f q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
即2
0.5 1.51.5 2.5q q <<⎧⎨<<⎩3
2q <.。