215分段函数专题讲义解读

高三总复习——分段函数专题分段函数的定义：分段函数;对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

它是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

知识点梳理一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。

二、注意：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；3、分段函数的值域是各段函数值的并集。

4、解决分段函数的方法：先分后合 三、涉及的内容及相应的常用方法：1、求解析式： 利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系，已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；2、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。

不能确定时常需要分情况讨论；3、单调性： 各段单调（如递增）+连接处不等关系。

（如()()()12,(,],[,)f x x a f x f x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩在R 上是增函数，则()()()()1212(,)[,)f x a f x a f a f a ⎧-∞↑⎪⎪+∞↑⎨⎪≤⎪⎩①在上②在上③）；4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式，才有奇偶性，否则为非奇非偶函数；5、图像性质或变换等： 作图、赋值等，注意变量的范围限制；6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较；7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图； 例题讲解：题型一、分段函数的图像。

1.作出函数()1y x x =+的图象 2.函数ln |1|xy ex =--的图象大致是（ ）题型二、分段函数的奇偶性1、判断函数(1)(0),()(1)(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当20,()2 3.x f x x x >=-+时求f(x)的解析式。

题型三、分段函数的最值1、对定义域分别是,f g D D 的函数(),()y f x y g x ==.规定：函数()(),,()(),(),f gf g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ⎧∈∈⎪⎪=∈∉⎨⎪∈∉⎪⎩当且当且当且（I ）若函数21(),()1f xg x x x ==-，写出函数()h x 的解析式； （II ）求问题（I ）中函数()h x 的值域；题型四、与分段函数有关的不等式与方程1、已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________2、已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______3、设20lg ,0()3,0a x x f x x t dt x >⎧=⎨+⎰≤⎩，若((1))1f f =，则a =题型五、分段函数创新题1、定义运算⎩⎨⎧>≤=*)()(y x yy x xy x ，若,11-=*-m m m 则m 的取值范围是（ ）A.21≥m B. 1≥m C. 21<m D. 0>m 2、对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 3.定义符号函数,0,10,00,1sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=x x x 设[],1,0),(21)21sgn()(2)21sgn()(21∈⋅+-+⋅-=x x f x x f x x f 其中),1(2)(,21)(21x x f x x f -=+=若,21,0))((⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈a f f 则实数a 的取值范围是 。

总结：1、分段函数是高考的一个热点，它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、求解析式、求周期和最值、函数的定义域、单调性、奇偶性等。

2、解分段函数的问题时，关键的是根据自变量的分段情况选择相应解析式。

3、解不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（组）求解，然后取这些不等式（组）解集的并集。

311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭4、研究分段函数的最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。

课后作业：1、设f(x)= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f(x)>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）⋃ （10 ，+∞）(D)（1，2）2、已知(3)4,1()log ,1a a x a x f x x x --⎧=⎨≥⎩＜，是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）（A ）(1，+∞) （B ）(-∞,3) (C)[53，3)(D)(1,3)3、设定义为R 的函数lg 1,1,()0,1.x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同的实数解的充要条件是（ ）A. 0b <且0c >B. 0b >且0c <C. 0b <且0c =D. 0b ≥且0c =4、定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=,0),2()1(,0),1(log )(2x x f x f x x x f 则)2013(f 的值为（ ）A.-1B.0C.1D.25、求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值6、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(Ⅰ)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(Ⅱ)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）第10周作业：函数专题1—分段函数参考答案： 题型一、分段函数的图像。

1.作出函数()1y x x =+的图象（略）2. 答案 D题型二、分段函数的奇偶性1、 解。

设,0<x 则,0>-x 所以，).()]1([))(1()(),1()(x f x x x x x f x x x f -=--=-+-=--= 所以，函数为奇函数。

2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当20,()2 3.x f x x x >=-+时求f(x)的解析式.解.设,0,0>-∴<x x 所以323)(2)()(22++=+---=-x x x x x f 又因为)(x f 是奇函数，所以)()(x f x f -=-所以.0<x 时，有32)(2---=x x x f ，又因为0)0(=f ，所以.)0(32)0(0)0(,32)(22⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-=x x x x x x x x f 题型三、分段函数的最值1、解（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃-∞∈-=11),1()1,(1)(2x x x x x h（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠x x x x x h x 时 若,4)(,1≥>x h x 则其中等号当x =2时成立， 若,4)(,1≤<x h x 则其中等号当x =0时成立， ∴函数),4[}1{]0,()(+∞⋃⋃-∞的值域x h题型四、与分段函数有关的不等式与方程1、【答案】()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,232,2、【答案】（0，1）【解析】画出函数图象与直线y=k,观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想.3、【答案】1【解析】((1))(lg1)(0)f f f f ==2330003|a at dt t a =+⎰==11a =⇒=题型五、分段函数创新题 1、答案A2、【答案】B 【解析】由题意知,若222()1x x x ---≤,即312x -≤≤时, 2()2f x x =-;当222()1x x x --->,即1x <-或32x >时, 2()f x x x =-,要使函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，只须方程()0f x c -=有两个不相等的实数根即可,即函数()y f x =的图像与直线y c =有两个不同的交点即可,画出函数()y f x =的图像与直线y c =,不难得出答案B. 3. )21,41(作业：1、答案：C2、答案：D 。

()30113314log 1a a a a a a ->⎧⎪>⇒<<⎨⎪-⨯-≤⎩3、答案：C 。

设()t f x =由函数()y f x =的图中得，方程20t bt c ++=有两根，其中一根0t =，另一根0t >。

4、答案：D 。

法一、分别求出()()()126f f f 、、、，观察可得周期为6 法二、由()(1)(2)f x f x f x =---，迭代得(1)()(1)f x f x f x +=--，(1)(2)f x f x +=--5、max ()4f x =.6、本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（Ⅰ）由题意：当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+再由已知得{2000,2060.a b a b +=+=，解得1,3200.3a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故函数()v x 的表达式为60,020,()1(200),20200.3x v x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),20200.3x f x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩ 当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200； 当20200x ≤≤时，211(200)10000()(200)[],3323x x f x x x +-=-≤=当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立. 所以，当100x =时，()f x 在区间[20,200]上取得最大值100003.综上，当100x =时，()f x 在区间[0,200]上取得最大值1000033333=. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解的方法．一、求分段函数的函数值例1 已知函数求f{f[f(a)]} (a<0)的值。