2025版高考数学一轮总复习第七章立体几何单元检测课件

第七章 立体几何
单元检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列命题中正确的腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
√
D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线
A.2
B.2
√
2
C.4
D.4 2
解：设圆锥的母线长为.
由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则π = 2π × 2，解得 = 2 2.
故选B.
)
4.如图， ∩ = ，, ∈ ， ∈ ，且 ∉ ，直线 ∩ = ，
过,,三点的平面记作 ，则 与 的交线必过(
3
2
= 2 3.
故 = 36 − 12 = 2 6.
因为 ≤ 5，所以0 ≤ ≤ 1.
故点的运行区域为以点为圆心，1为半径的圆.
2×
而△ 内切圆的圆心为，半径为
区域在△ 内部，其面积为π .
故选B.
3
×36
4
3×6
= 3 > 1，故的运行
8.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的
1 1 .
因为1 ⊂ 平面1 1 ，所以 ⊥ 1 .
17.（15分）如图，在四棱锥 − 中， ⊥ ，平面 ⊥ 平
1
2
面，∠ = ∠ = 90∘ ， = = = = 2，，
分别为线段，的中点，为棱上一点，且 = 1.
天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆
中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体
积除以盆口面积）(
5
3
A. 寸
)
B.2寸
C. 寸
√
7
3
D.3寸
解：如图，由题意，可知天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6寸，高为18寸．
因为积水深9寸，所以水面半径为
A.平面
√
内存在直线与异面
C.平面 内存在唯一直线与垂直
)
B.平面 内存在唯一直线与平行
D.平面 内的直线与都相交
解：当直线与平面 相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异
面直线，故A正确.故选A.
3.已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(
确.
故选AD.
10.如图，四棱锥 − 中，△ 与△ 是正三角形，平面 ⊥ 平面，
⊥ ，则下列结论一定成立的是(
A. ⊥
√
C. ⊥
√
)
B. ⊥ 平面
D.平面 ⊥
√
平面
解：如图，取的中点，连接，，易得 ⊥ ，
⊥ ⇒ ⊥ 平面 ⇒ ⊥ ，选项A正确.
又 ⊥ ⇒ ⊥ 平面 ⇒ ⊥ ，平面 ⊥ 平面，
所以选项C，D也正确.
故选ACD.
11.如图，已知四棱台 − 1 1 1 1 的上下底面均为正方形，其中 = 2 2，
= 2 2，1 1 = 2，可知△ 1 1 与△ 相似比为1: 2，则
= 21 = 4， = 2，则 = 2 3.则1 = 3，该四棱台的高
为 3，A对.
因为 = = = 4，所以1 与1 的夹角为60∘ ，不垂直，B错.
该四棱台的表面积为 = 上底 + 下底 + 侧 = 2 + 8 + 4 ×
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的△ 的直观图，
已知′′//′轴，′′//′轴且2′′ = ′′ = 2，则△ 的周长为
4+2 2
_________.
解：画出原图如图.
由题意，得 ⊥ ，且 = = 2，则 = 4 + 4 = 2 2，则
△ 的周长为2 + 2 + 2 2 = 4 + 2 2.故填4 + 2 2.
13.如图，在正四面体 − 中，，分别为，的中点，则异面直线与
π
所成角的大小为__.
4
解:如图，取的中点，连接,,则//,//.所以
∠是异面直线与所成的角（或其补角）.
由题意，可知为球心，在正方体中，
= 2 + 2 = 22 + 22 = 2 2，即 = 2.
则球心到1 的距离为 = 2 + 2 = 12 + 12 = 2.
所以球与棱1 相切，球面与棱1 有1个交点.
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点.
1
4
2
∘
2
∘
cos 60 + cos 60
=
1 2
.
4
6.如图，在正方体 − 1 1 1 1 中，,分别是棱,1 1 的中点，
则与平面1 1 的位置关系是 (
A.//平面1 1
√
B.与平面1 1 相交
C.在平面1 1 内
= .求证：
（1）1 1 //平面1 ；
（2） ⊥ 1 .
证明：（1）因为，分别为，的中点，所以//.
又在直三棱柱 − 1 1 1 中，//1 1 ，
所以1 1 //.
又 ⊂ 平面1 ，1 1 ⊄ 平面1 ，
所以以为直径的球面与该正方体棱的交点总数为12.故填12.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15.（13分）如图，在平行六面体 − 1 1 1 1 中，底面是边长为2的正方
形，1 = 3,∠1 = ∠1 = 60∘ ，设 = ， = ，1 = .
设正四面体的棱长为,则 = =

.
2
取的中点，连接,,则 ⊥ , ⊥ .
因为 ∩ = ,所以 ⊥ 平面.
因为 ⊂ 平面,所以 ⊥ .所以 ⊥ ，所以∠ =
π
4
π
4
所以异面直线与所成的角为 .故填 .
1 1 = 2，1 = 1 = 1 = 2，则下述结论正确的是(
A.该四棱台的高为
√
3
C.该四棱台的表面积为26
B.1 ⊥ 1
)
D.该四棱台外接球的表面积为16π
√
解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥 − ，如图.
作 ⊥ 平面交平面于点，交平面1 1 1 1 于点1 .由于
（1）证明：平面//平面.
（2）求三棱锥 − 的体积．
解：（1）证明：因为，分别为线段，的中点，所以//.又 ⊄ 平面
（2）因为
1 ⋅ = + + ⋅ − = ⋅ − 2 + 2 − ⋅ + ⋅ − ⋅ = 0,所以
1 ⊥ .因此1 与所成角的大小为90∘ .
16.（15分）如图，在直三棱柱 − 1 1 1 中，，分别为，的中点，
故选A.
7.（2022年北京卷）已知正三棱锥 − 的六条棱长均为6，是△ 及其内部的
点构成的集合．设集合 = { ∈ | ≤ 5}，则表示的区域的面积为(
3π
A.
4
B.π
√
C.2π
D.3π
)
解：如图，设顶点在底面上的投影为，连接.
2
3
由题意,知为△ 的中心，且 = × 6 ×
得0分.
9.设，是空间中不同的直线， , , 是不同的平面，则下列说法正确的是
(
)
A.若//, ⊂ , ⊄ ，则//
B.若 ⊂ , ⊂ ,// ，则//
C.若 ⊂ , ⊂ ,// ,// ，则//
D.若// , ∩ = , ∩ = ，则//
1
所以盆中水的体积为 π
3
756π
所以平均降雨量为
π×182
1
2
18 + 6 = 12（寸）.
× 9 × 62 + 122 + 6 × 12 = 756π （立方寸）．
=
7
（寸）．故选C．
3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的
(
)
√
1 2
B.
2
A.2
1 2
C.
4
D.
3 2

2
解：如图，设 = ， = ， = ，
则 = = = ，
且，，三向量两两夹角为60∘ .
=
1
2
+ ， =
所以 ⋅ =
故选C.
1
2
1
，
2
+ ⋅
1

2
=
1
(
4
⋅ + ⋅ ) =
A.点
B.点
C.点但不过点
解：因为 ∩ = ,所以 ⊂ .
又直线 ∩ = ， ⊂ ,所以 ∈ , ∈ .
又 ∈ , ∈ ,所以 ∩ = .
所以 与 的交线必过点C和点.
故选D．
)
D.点和点
√
5.已知正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则 ⋅ 的值为
2+2 2
2
×
14
2
= 10 + 6 7，
C错.
由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在1 上.在平面1 1 中，由于
1 = 3，1 1 = 1，则1 = 2 = ，即点到点B与点1 的距离相等.则
= = 2，该四棱台外接球的表面积为16π ，D对.
故选AD.
D.与平面1 1 的位置关系无法判断
)
解：如图，取1 1 的中点，连接，.
则//1 ，//1 1 .
所以1 //平面，1 1 //平面.
又因为1 ∩ 1 1 = 1 ，所以平面//平面1 1 .
从而可得//平面1 1 .
所以1 1 //平面1 .
（2）因为 = ，为的中点，所以 ⊥ .
因为三棱柱 − 1 1 1 是直棱柱，所以1 ⊥ 平面.又 ⊂ 平面，所以
1 ⊥ .
因为1 ⊂ 平面1 1 ， ⊂ 平面1 1 ，1 ∩ = ，所以 ⊥ 平面
解：对于A，若//, ⊂ , ⊄ ，则由线面平行的判定定理，知// ,故A正确.
对于B，若 ⊂ , ⊂ ,// ，则,可能异面，故B错误.
对于C，若 ⊂ , ⊂ ,// ,// ，则 , 可能相交，故C错误.
对于D，若// , ∩ = , ∩ = ，则由面面平行的性质定理，知//，故D正
（1）用,,表示1 ，并求 1 ；
（2）求1 与所成角的大小.
解：（1）1 = + + 1 = + + ，
1 =
=
++
2
= 2 + 2 + 2 + 2 ⋅ + 2 ⋅ + 2 ⋅
1
2
4 + 4 + 9 + 0 + 2 × 2 × 3 × × 2 = 29．
解：将正方形绕着其任意一边旋转一周可得圆柱，故A错误.
B中以直角梯形的垂直于底边的腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，以另一腰为轴所
得旋转体不是圆台，故B错误.
C中圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，显然正确.
D中圆台的母线延长后与轴交于同一点，通过圆台侧面上一点，只有1条母线，故D错误.
故选C.
2.若直线与平面 相交，则(
π
，
4
14.（2023年全国甲卷）在正方体 − 1 1 1 1 中，，分别为，1 1 的中点，
12
以为直径的球的球面与该正方体的棱共有____个公共点．
解：不妨设正方体棱长为2，的中点为，取，1 的中点,，
侧面1 1 的中心为，连接,,,,，如图.