不定积分之第一换元法

第二类换元积分法 分部积分法
◆第一换元法
f x dx g x x dx
令u x
◆第二换元法
凑微分
g u du
u ( x )
d ( x )
f x dx
注：x
令x u
f u u du
1 2x 4x 3 ln C 2 3 3
2
4 x2 3
辅助三角形
1 2 ln 2 x 4 x 3 C1 2
1 C1 C ln 3 2
例4 解 原式
dx 求不定积分 2 2 ( x 1) 2 则 dx sec udu 令 x tan u,
u 1 ( x )
u 单调、可导，且 u 0
一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式
sin x cos x 1, 1 tan x sec x
2 2 2 2
化根式
再积分。 对于
a x ,
2 2
x a ,
2 2
x a
2
2
为三角函数的有理式，
a x ,
求不定积分
x
2
ln xdx
udv uv vdu
原式
1 3 ln xdx 3
1 3 3 ( x ln x x dx) 3 x 1 3 2 ( x ln x x dx) 3 1 3 1 3 ( x ln x x ) C 3 3
幂函数 对数函数dx v u 1
例9
求不定积分
sin ln x dx
udv uv vdu
解
原式
1 x sin ln x x cos ln x dx x
x sin ln x cos ln x dx
x sin ln x x cos ln x sin ln x dx
Байду номын сангаас
u x, dv cos xdx
x cos xdx
u 与 dv 的选择原则
1、
2、
du dx, v sin x
x sin x sin xdx
x sin x cos x C
v 可求；
vdu 可求，
或较易求
若令 则 原式
u cos x, dv xdx 1 2 du sin xdx, v x 1 2 1 2 2
x
e x sin x e x cos x e x sin xdx
所以
e x sin x cos xde x
x
e e sin xdx 2 sin x cos x C
x
◆一般规律
幂函数 三角函数dx, 幂函数 指数函数dx
令幂函数为
u
幂函数 对数函数dx, 幂函数 反三角函数dx 令幂函数为 v 指数函数 三角函数dx
2
sec xd tan x
sec x tan x sec x 1 sec xdx
2


sec x tan x sec3 xdx ln sec x tan x
所以
sec x tan x sec3 xdx sec xdx
3
1 sec xdx 2 sec x tan x ln sec x tan x C
所以
1 x sin ln x x cos ln x C sin ln x dx 2
x
1 x (arctan x 2 ) C 2 x 1
◆基本积分公式P106-P107
tan xdx
sec xdx
ln | cos x | C
cot xdx
ln | sin x | C
ln | sec x tan x | C csc xdx ln | csc x cot x | C
偶次方化倍角
sec2 u 1 4 du 2 du cos 2 udu sec u sec u 2 1 x 1 1 cos 2u du 2
1 1 u (u sin 2u ) C 2 2 1 1 x 1 (arctan x ) C 辅助三角形 2 2 2 x 1 x 1
例1 解 原式
求不定积分 令

4 x dx
2
x 2sin u,
则 dx 2 cos udu
2 cos u 2 cos udu
2
4 cos 2 udu
2 1 cos 2u du
u
x
4 x
2
2u sin 2u C
辅助三角形
2
x x 4 x 2arcsin C 2 2
ln 1 ex 1 1 ex 1
P107公式（20）
C ln
1 ex 1 1 ex 1
C
例4 求不定积分
dx 1 3 x 4
则
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 原式
令
u 3 x4 ,
例5 求不定积分
dx (1 3 x ) x
则
解 原式
1
2 x
u 2
2
ln sec u tan u C
ln
x
辅助三角形
ln 2 x2 x C1
公式
C C ln 2

dx a2 x2
ln x a 2 x 2 C
例3 求不定积分

dx 4x 3
2
3 3 解 令x sec u, 则 dx sec u tan udu 2 2 1 2x 原式 sec udu 2 u 1 ln sec u tan u C 3 2
令
u6 x ,
◆ 分部积分法
由 得
uv

u v uv
uv uv dx uvdx uvdx
u v dx uv u vdx

即 或
udv uv vdu
分部积分公式
udv uv vdu
例1 求不定积分 解 令 则 原式
2 x cos x x 2
比
失败！
sin xdx
x cos xdx
更难求
例2 解 则
求不定积分 令
xa dx
x
udv uv vdu
u x,
du dx,
x
dv a x dx ax v ln a
x
幂函数 指数函数dx u v
x x
原式
xa a a a x dx 2 C ln a ln a ln a ln a
求不定积分
2 x x e dx
2 x 2 x x x de x e 2 xe dx
解答 原式
两次使用 分部积分公式
x x x 2e x 2 xde x x 2e x 2 xe e dx
e ( x 2x 2) C
x 2
例3 解
1 1 d ( x 1) arctan x ln x 2 x 2 1 x 1 1 2 arctan x ln x ln(1 x ) C x 2
2
例5 求不定积分
2 ln xdx
udv uv vdu
解
1 原式 x ln x x 2 ln x dx x x ln 2 x 2 ln xdx
dx 1 ax a 2 x 2 2a ln | a x | C
dx 1 x a 2 x 2 a arctan a C



dx 1 xa ln | | C 2 2 x a 2a xa
dx a2 x2
dx x2 a2
x arcsin C ( a 0) a

dx x2 a2
ln | x x a | C
2 2
ln | x x2 a 2 | C
◆公式的直接应用
例1

dx 5 3x 2
1 d ( 3 x) 1 3x arcsin C 2 2 3 3 5 ( 5) ( 3 x)
例2

dx x 2x 3
公式

a x x 2 a x dx arcsin a x2 C 2 a 2
2 2
2
例2 解 原式
求不定积分

dx x 2
2
2 则 x 2 tan u , dx 2 sec udu 令

2 sec2 u du sec udu 2 sec u
2 x2 x C 2 2
2( x 1 arctan x 1) C
例2 求不定积分

3
dx x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解
令
u 3 x,
2
则
x u3 , dx 3u 2du
原式
3u 1 du 3 u 1 du u 1 u 1
3 2 3 ( u u ln u 1) C 2 33 2 3 ( x ln 2
2

dx ( x 1) 2
2

d ( x 1) ( x 1)2 2
ln x 1 ( x 1)2 2 C
dx dx d ( x 1) 例3 2 2 2 x 2x 4 ( x 1) 3 ( x 1) 3
1 x 1 arctan C 3 3
2 2
令
x a sin t ,
则
a2 x2 a cos t
对于 对于
a x ,
2 2
令
x a tan t , 则 a2 x2 a sec t
则
x a ,
2 2
令
x a sec t ,
x a a tan t
2 2
上式中，均假设
a 0,
t 为各对应反三角函数的主值区间。
2
x ln x 2[ x ln x dx]
2
x ln x 2 x ln x 2 x C
2
例6
求不定积分
arcsin xdx
x 1 x
udv uv vdu
解 原式
x arcsin x xd arcsin x
x arcsin x
3
x 1) C
例3 求不定积分
x

dx 1 e
x
2
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 原式
2u du 令 1 e u, 则 x ln u 1 , dx 2 u 1
1 1 2du ( ) du 2 u 1 u 1 u 1
u 1 ln C u 1
2
dx
2
1 d (1 x ) x arcsin x dx 2 2 1 x
x arcsin x 1 x C
2
例7
求不定积分
e
x
sin xdx
x
udv uv vdu
解 原式
e sin x e d sin x
x x
sin xde
x
e sin x e cos xdx
例4 解
1 幂函数 反三角函数dx 原式 arctan xd ( ) x v u 1 dx arctan x x x(1 x 2 )
1 求不定积分 2 arctan xdx x
udv uv vdu
1 1 x arctan x ( )dx 2 x x 1 x
两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解 注意：第一次使用分部积分公式时，u与dv可任选，但
第二次使用分部积分公式时，u与dv的选择，必须与第一次
的选择同类。
例8 解
求不定积分 原式
3 sec xdx
udv uv vdu
sec x tan x tan x sec xdx
例1 解 原式
求不定积分 令 u

x 1 dx x
dx 2udu
直接令根式为u， 化根式为有理式
2 则 x u 1, x 1,
u 2 2udu u 1
2
u 11 2 2 du u 1 1 2 (1 2 )du 2 u arctan u C u 1