吉林市数学九年级上册期末试卷(带解析)

吉林市数学九年级上册期末试卷(带解析)
一、选择题
1．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（）
A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
2．在半径为3cm的⊙O中，若弦AB＝2，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A．30°B．45°C．30°或150°D．45°或135°3．下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( )
A．x2＋1＝0B．x2＋2x＋1＝0C．x2＋2x＋3＝0D．x2＋2x－3＝0 4．已知关于x的函数y＝x2＋2mx＋1，若x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）
A．m≥1B．m≤1C．m≥－1 D．m≤－1
5．下列是一元二次方程的是（）
A．2x+1＝0 B．x2+2x+3＝0 C．y2+x＝1 D．1
x
＝1
6．已知二次函数y=-x2+2mx+2,当x<-2时，y的值随x的增大而增大，则实数m（）A．m=-2 B．m>-2 C．m≥-2 D．m≤-2
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0 8．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（）
A．甲、乙两队身高一样整齐B．甲队身高更整齐
C．乙队身高更整齐D．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐9．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（）
A．−2B．2 C．−4D．4
10．一枚质地匀均的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是（）
A．1
2
B．
1
3
C．
2
3
D．
1
6
11．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（）
A．这组数据的平均数是6 B．这组数据的中位数是1
C．这组数据的众数是6 D．这组数据的方差是10.2
12．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（）
A ．P 在圆内
B ．P 在圆上
C ．P 在圆外
D ．无法确定 13．O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与O 的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．无法确定
14．2的相反数是（ ） A ．12
-
B ．
12
C ．2
D ．2-
15．将抛物线2
3y x =先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（ ）
A ．23(1)2y x =++
B ．23(1)2y x =+-
C ．23(1)2y x =-+
D ．23(1)2=--y x
二、填空题
16．正方形ABCD 的边长为4,圆C 半径为1，E 为圆C 上一点，连接DE ，将DE 绕D 顺时针旋转90°到DE’，F 在CD 上，且CF=3，连接FE’，当点E 在圆C 上运动，FE’长的最大值为____.
17．若
a b b -＝23，则a
b
的值为________． 18．在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．
19．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是____．
20．若线段AB=10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为_____cm.（结果保留根号）
21．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D 是以点A 为圆心2为半径的圆上一点，连接BD ，M 为BD 的中点，则线段CM 长度的最小值为__________．
22．长度等于62的弦所对的圆心角是90°，则该圆半径为_____．
23．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．
24．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：9，10，12，x ，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是_____．
25．如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 都在边长为1的正方形网格的格点上，则sinA 的值为________．
26．如图，
O 的直径AB 与弦CD 相交于点53E AB AC ==，，，则
tan ADC ∠=______．
27．二次函数2
y ax bx c =++的图像开口方向向上，则a ______0.(用“=、>、<”填空)
28．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径为__________cm ． 29．如图，将二次函数y ＝
1
2
(x －2)2＋1的图像沿y 轴向上平移得到一条新的二次函数图像，其中A (1，m )，B (4，n )平移后对应点分别是A′、B′，若曲线AB 所扫过的面积为12(图中阴影部分)，则新的二次函数对应的函数表达是__________________．
30．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 的中点，EF 与BD 相交于点M ，若△DEM 的面积为1，则□ABCD 的面积为________．
三、解答题
31．如图，AB BC =，以BC 为直径作O ，AC 交O 于点E ，过点E 作EG AB ⊥于
点F ，交CB 的延长线于点G .
（1）求证：EG 是O 的切线；
（2）若23GF =，4GB =，求
O 的半径.
32．京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A 、B 和点C 、D ，先用卷尺量得
AB=160m ，CD=40m ，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH 的长）．
33．解方程：（1）2620x x ++= （2）2(3)3(3)x x x -=-
34．如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，9012ACB AB ∠=︒=，，过点C 的切线与AB 的延长线交于点D ，OE 交AC 于点F ，CAB E ∠=∠.
（1）判断OE 与BC 的位置关系，并说明理由； （2）若3
tan 4
BCD ∠=
，求EF 的长. 35．若关于x 的方程()2
260x b x b +++-=有两个相等的实数根 （1）求b 的值；
（2）当b 取正数时，求此时方程的根，
四、压轴题
36．问题提出
（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．
问题探究
（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且
2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．
37．如图，抛物线2
()20y ax x c a =++＜与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点
B 在原点的右侧)，与y 轴交于点
C ，3OB OC ==．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当32COF
CDF
S
S
=：:时，求点D 的坐标．
(3)如图2，点E 的坐标为(03)2
-，
，点P 是抛物线上的点，连接EB PB PE ，，形成的PBE △中，是否存在点P ，使PBE ∠或PEB ∠等于2OBE ∠？若存在，请直接写出符合
条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于点A，B，∠BAO = 30°．抛物线y = ax2 + bx + 1（a < 0）经过点A，B，过抛物线上一点C（点C在直线l上方）作
CD∥BO交直线l于点D，四边形OBCD是菱形．动点M在x轴上从点E（ -3，0）向终点A匀速运动，同时，动点N在直线l上从某一点G向终点D匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点D的坐标和抛物线的函数表达式．
（2）当点M运动到点O时，点N恰好与点B重合．
①过点E作x轴的垂线交直线l于点F，当点N在线段FD上时，设EM = m，FN = n，求n 关于m的函数表达式．
②求△NEM面积S关于m的函数表达式以及S的最大值．
39．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，AC＝BD，点D在AB上，连接CO，并
延长CO交线段AB于点F，连接OA、OB，且OA＝5，tan∠OBA＝1
2
．
（1）求证：∠OBA＝∠OCD；
（2）当△AOF是直角三角形时，求EF的长；
（3）是否存在点F，使得S△CEF＝4S△BOF，若存在，请求EF的长，若不存在，请说明理由．
40．如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC＝4
5
，O为坐标原点，A点在x轴的正半
轴上，B，C两点都在第一象限．点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，
设运动时间为t（秒）．请解答下列问题：
（1）当CP⊥OA时，求t的值；
（2）当t＜10时，求点P的坐标（结果用含t的代数式表示）；
（3）以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时，请直接写出t的值．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
先过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD＝1
2
AB，设OA＝r，则OD＝r
﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出r的值．【详解】
解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵OD⊥AB，
∴AD＝1
2
AB＝4cm，
设OA＝r，则OD＝r﹣2，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5cm．
∴该输水管的半径为5cm；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理及勾股定理的运用.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，连接OA和OB，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．
【详解】
解：如图所示，
连接OA，OB，
则OA＝OB＝3，
∵AB＝2，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，
∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数. 3．D
解析：D
【解析】
【分析】
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．【详解】
A、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根；
B、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根；
C、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；
D、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根，
故选D．
【点睛】
本题考查了根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两
个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
【详解】
解：∵函数的对称轴为x=
2
22
b m
m
a
-=-=-，
又∵二次函数开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵x＞1时，y随x的增大而增大，
∴-m≤1，即m≥-1
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义，即只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、方程2x+1＝0中未知数的最高次数不是2，是一元一次方程，故不是一元二次方程；
B、方程x2+2x+3＝0只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，故是一元二次方程；
C、方程y2+x＝1含有两个未知数，是二元二次方程，故不是一元二次方程；
D、方程1
x
＝1不是整式方程，是分式方程，故不是一元二次方程.
故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．是否符合定义的条件是作出判断的关键.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m值的范围.
【详解】
解：抛物线的对称轴为直线
2
21
m
x m
∵10
a=-<,抛物线开口向下，
∴当x m
<时，y的值随x值的增大而增大，
∵当2
x<-时，y的值随x值的增大而增大，
∴2
m≥-，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.
7．D
解析：D
【解析】
∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4+4k＞0，且k≠0．
解得：k＞﹣1且k≠0．故选D．
考点：一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，分类思想的应用．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
∵S2甲=1.7，S2乙=2.4，
∴S2甲＜S2乙，
∴甲队成员身高更整齐；
故选B.
【点睛】
此题考查方差，掌握波动越小，数据越稳定是解题关键
9．B
解析：B
【解析】
分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后
解一次方程即可．
详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=2．
故选B ．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接得出朝上面的数字大于4的个数，再利用概率公式求出答案．
【详解】
∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次， ∴共有6种情况，其中朝上面的数字大于4的情况有2种，
∴朝上一面的数字是朝上面的数字大于4的概率为：
2163
=， 故选：B ．
【点睛】
本题考查简单的概率求法，概率=所求情况数与总情况数的比；熟练掌握概率公式是解题关键． 11．C
解析：C
【解析】
【分析】
先把数据从小到大排列，然后根据算术平均数，中位数，众数的定义得出这组数据的平均数、中位数、众数，再利用求方差的计算公式求出这组数据的方差，再逐项判定即可．
【详解】
解：数据从小到大排列为：1，2，6，6，10，
中位数为：6；
众数为：6； 平均数为：()1
12661055
⨯++++=； 方差为：()()()()()2222211525656510510.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦
． 故选：C ．
【点睛】
本题考查的知识点是平均数，中位数，众数，方差的概念定义，熟记定义以及方差公式是解此题的关键．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
点到圆心的距离大于半径，得到点在圆外.
【详解】
∵点P 到圆心O 的距离为4.5，⊙O 的半径为4，
∴点P 在圆外.
故选：C.
【点睛】
此题考查点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离d 的距离与半径r 的大小确定点与圆的位置关系.
13．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l 与O 的位置关系是相交．
【详解】
∵⊙O 的半径为5，圆心O 到直线的距离为3，∴直线l 与⊙O 的位置关系是相交． 故选A ．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．
14．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据相反数的概念解答即可．
【详解】
2的相反数是-2，
故选D ．
15．A
解析：A
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】
抛物线23y x =先向左平移1个单位得到解析式：()2
31y x =+，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：()2
312y x =++．
故选：A．
【点睛】
此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．二、填空题
16．【解析】
【分析】
先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,
由题可知,PF=4,DF=
解析：171
+
【解析】
【分析】
先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,
由题可知,PF=4,DF=1,
∴DP=22
41
+=17,
∴FE’=171+,
+
故答案是：171
【点睛】
本题考查了图形的旋转,圆的基本性质,勾股定理的应用,中等难度,准确找到点P的位置是解题关键.
17．【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．
【详解】
∵＝，
∴b=a,
∴=,
故答案为：.
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
解析：5 3
【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】
∵a b
b
-
＝
2
3
，
∴b=3
5 a,
∴a
b
=
5
33
5
a
a
=
,
故答案为：5 3 .
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
18．【解析】
【分析】
分别计算半径为10cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】
解：（1）∵半径为10cm的圆的面积=π•102=100
解析：
9
π
【解析】
【分析】
分别计算半径为10cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算
S
S
半圆正方形
即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】
解：（1）∵半径为10cm的圆的面积=π•102=100πcm2，
边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，
∴P（飞镖落在圆内）=
100
==
9009
S
S
ππ
半圆
正方形
，故答案为：
9
π
.
【点睛】
本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．
19．－1＜x＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛
解析：－1＜x＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
20．或
【解析】
【分析】
根据黄金分割比为计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可，AC可能为较长线段，也可能为较短线段.
【详解】
解：AB=10cm，C是黄金分割点，
当AC>BC时,
则有
解析：5或1555
【解析】
【分析】
根据黄金分割比为12
计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可，AC 可能为较长线段，也可能为较短线段.
【详解】
解：AB=10cm ，C 是黄金分割点，
当AC>BC 时,
则有AC=12AB=12
×10=5， 当AC<BC 时,
则有×10=5-，
∴AC=AB-BC=10-(5 ）=15-，
∴AC 长为5 cm 或1555 cm. 故答案为：55 或1555
【点睛】
本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC 可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键．
21．【解析】
【分析】
作AB 的中点E,连接EM,CE,AD 根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM 和CE 长，再根据三角形的三边关系确定CM 长度的范围，从而确定CM 的最小值.
【
解析：32
【解析】
【分析】
作AB 的中点E,连接EM,CE,AD 根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM 和CE 长，再根据三角形的三边关系确定CM 长度的范围，从而确定CM 的最小值.
【详解】
解：如图，取AB 的中点E ，连接CE,ME,AD,
∵E 是AB 的中点，M 是BD 的中点，AD=2，
∴EM 为△BAD 的中位线， ∴112122
EM AD ,
在Rt△ACB中，AC=4,BC=3，
由勾股定理得，AB=2222
435
AC BC
+=+=∵CE为Rt△ACB斜边的中线，
∴
115
5
222 CE AB,
在△CEM中，55
11
22
CM ,即
37
22
CM，
∴CM的最大值为3 2 .
故答案为：3 2 .
【点睛】
本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以CM为边，另两边为定值的的三角形是解答此题的关键和难点.
22．6
【解析】
【分析】
结合等腰三角形的性质，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图AB＝6，∠AOB＝90°，且OA＝OB，
在中，根据勾股定理得，即
∴，
故答案为：6．
【点睛】
解析：6
【解析】
【分析】
结合等腰三角形的性质，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图AB ＝62，∠AOB ＝90°，且OA ＝OB ，
在Rt OAB 中，根据勾股定理得222OA OB AB +=，即2222(62)72OA AB === ∴236OA =，
0OA >
6OA ∴=
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，在等腰直角三角形中灵活利用勾股定理求线段长度是解题的关键.
23．4
【解析】
【分析】
根据图形中的数字，可以写出前n 行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．
【详解】
解：由图可知，
第一行1个数，
第二行2个数，
第
解析：4
【解析】
【分析】
根据图形中的数字，可以写出前n 行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．
【详解】
解：由图可知，
第一行1个数，
第二行2个数，
第三行3个数，
…，
则第n行n个数，
故前n个数字的个数为：1+2+3+…+n＝
(1)
2
n n+
，
∵当n＝63时，前63行共有6364
2
⨯
＝2016个数字，2020﹣2016＝4，
∴2020在第64行左起第4个数，
故答案为：64，4．
【点睛】
本题考查了数字类规律探究，从已有数字确定其变化规律是解题的关键.
24．2
【解析】
【分析】
首先根据平均数确定x的值，再利用方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，计算方差即可．
【详解】
∵组数据的平均数是10，
∴(9+10+12+x+8
解析：2
【解析】
【分析】
首先根据平均数确定x的值，再利用方差公式S2＝1
n
[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣
x）2]，计算方差即可．【详解】
∵组数据的平均数是10，
∴1
5
(9+10+12+x+8)＝10，
解得：x＝11，
∴S2＝1
5
[[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2+（8﹣10）2]，
＝1
5
×（1+0+4+1+4），
＝2．
故答案为：2．【点睛】
本题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，则方差S2＝1
n
[（x1﹣
x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越
大，反之也成立． 25．【解析】 如图，由题意可知∠ADB=90°，BD=，AB=，
∴sinA=.
解析：5 【解析】
如图，由题意可知∠ADB=90°，BD=221+1=2，AB=223+1=10，
∴sinA=25510
BD AB ==.
26．【解析】 分析：
由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=求得所求的值了.
详解：
∵AB 是
解析：34
【解析】
分析：
由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=
AC BC 求得所求的值了. 详解：
∵AB 是O 的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AC=3，AB=5，
∴22534-=，
∴tan ∠ABC=
34
AC BC =， 又∵∠ADC=∠ABC ，
∴tan ∠ADC=
34. 故答案为：34
. 点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.
27．>
【解析】
【分析】
根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案．
【详解】
解：因为二次函数的图像开口方向向上，
所以有>0.
故填>.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次
解析：>
【解析】
【分析】
根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案．
【详解】
解：因为二次函数2
y ax bx c =++的图像开口方向向上，
所以有a >0.
故填>.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数a 与抛物线的关系是解题的关键，图像开口方向向上，a >0；图像开口方向向下，a <0． 28．1
【解析】
【分析】
（1）根据，求出扇形弧长，即圆锥底面周长；
（2）根据，即，求圆锥底面半径．
【详解】
该圆锥的底面半径=
故答案为：1．
【点睛】
圆锥的侧面展开图是扇形，解题关键是理解扇
解析：1 【解析】 【分析】 （1）根据180
n R l π=，求出扇形弧长，即圆锥底面周长； （2）根据2C r π=，即2C r π=
，求圆锥底面半径． 【详解】
该圆锥的底面半径=
()1203=11802cm ππ
⋅⋅ 故答案为：1．
【点睛】 圆锥的侧面展开图是扇形，解题关键是理解扇形弧长就是圆锥底面周长．
29．y=0.5(x-2)+5
【解析】
解：∵函数y=（x ﹣2）2+1的图象过点A （1，m ），B （4，n ），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B （4，3），过A 作AC
解析：y=0.5(x-2)2+5
【解析】
解：∵函数y =12
（x ﹣2）2+1的图象过点A （1，m ），B （4，n ），∴m =
12（1﹣2）2+1=112，n =12（4﹣2）2+1=3，∴A （1，112），B （4，3），过A 作AC ∥x 轴，交B ′B 的延长线于点C ，则
C （4，112
），∴AC =4﹣1=3．∵曲线段AB 扫过的面积为12（图中的阴影部分），∴AC •AA ′=3AA ′=12，∴AA ′=4，即将函数y =12
（x ﹣2）2+1的图象沿y 轴向上平移4个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y =
12（x ﹣2）2+5．故答案为y =0.5（x ﹣2）2+5．
点睛：本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已
知得出AA′是解题的关键．
30．16
【解析】
【分析】
【详解】
延长EF交BC的延长线与H,
在平行四边形ABCD中,
∵AD=BC,AD∥BC
∴△DEF∽△CHF, △DEM∽△BHM ∴ ,
∵F是CD的中点
∴DF
解析：16
【解析】
【分析】
【详解】
延长EF交BC的延长线与H,
在平行四边形ABCD中,
∵AD=BC,AD∥BC
∴△DEF∽△CHF, △DEM∽△BHM
∴
DE DF
CH CF
= ,2
()
DEM
BMH
S DE
S BH
∆
∆
=
∵F是CD的中点
∴DF=CF
∴DE=CH
∵E是AD中点
∴AD=2DE
∴BC=2DE
∴BC=2CH
∴BH=3CH
∵1
DEM
S
∆
=
∴21
1()3
BMH S ∆= ∴9BMH S ∆=
∴9CFH BCFM S S ∆+=四边形
∴9DEF BCFM S S ∆+=四边形
∴9DME DFM BCFM S S S ∆∆++=四边形
∴19BCD S ∆+=
∴8BCD S ∆=
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴2816ABCD S =⨯=四边形
故答案为:16.
三、解答题
31．（1）见解析；（2）
O 的半径为4. 【解析】
【分析】
(1) 连接OE ，利用AB=BC 得出A C ∠=∠，根据OE=OC 得出，OEC C ∠=∠，从而求出OE AB ，再结合EG AB ⊥即可证明结论；
(2)先利用勾股定理求出BF 的长，再利用相似三角形的性质对应线段比例相等求解即可.
【详解】
解：(1)证明：连接OE .
∵AB BC =∴A C ∠=∠
∵OE OC =∴OEC C ∠=∠
∴A OEC ∠=∠∴OE
AB ∵BA GE ⊥，∴OE EG ⊥，且OE 为半径 ∴EG 是O 的切线
(2)∵BF GE ⊥∴90BFG ∠=︒
∵23GF =4GB =∴222BF BG GF =
-=
∵BF OE ∥∴BGF OGE ∆∆∽
∴BF BG OE OG =∴244OE OE
=+ ∴4OE =即O 的半径为4. 【点睛】 本题考查的知识点是切线的判定与相似三角形的性质，根据题目作出辅助线，数形结合是解题的关键.
32．该段运河的河宽为303m ．
【解析】
【分析】
过D 作DE ⊥AB ，可得四边形CHED 为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH 与直角三角形BDE 中，设CH=DE=xm ，利用锐角三角函数定义表示出AH 与BE ，由AH+HE+EB=AB 列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】
解：过D 作DE AB ⊥，可得四边形CHED 为矩形，
40HE CD m ∴==，
设CH DE xm ==，
在Rt BDE ∆中，60DBA ∠=︒，
3BE xm ∴=， 在Rt ACH ∆中，30BAC ∠=︒，
3AH xm ∴=，
由160AH HE EB AB m ++==，得到3340160x x ++
=， 解得：303x =，即303CH m =，
则该段运河的河宽为303m ．
【点睛】
考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
33．（1）1237,37x x =-=-；（2）122,33
x x =
= 【解析】
【分析】
(1)根据配方法即可求解;
(2)根据因式分解法即可求解.
【详解】
（1）2620x x ++=
2697x x ++=
2(3)7x +=
3x +=
1233x x =-=-.
（2）2(3)3(3)x x x -=-
2(3)3(3)0x x x ---=
(23x)(x 3)0--=，
2-3x=0或x-3=0 ∴122,33
x x =
= 【点睛】 此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知方程的解法.
34．（1）OE ∥BC .理由见解析；（2）
125
【解析】
【分析】
（1）连接OC ，根据已知条件可推出E ACO ∠∠=，进一步得出AFO EFC 90ACB ∠∠∠==︒=结论得以证明；
（2）根据（1）的结论可得出∠E =∠BCD ，对应的正切值相等，可得出CE 的值，进一步计算出OE 的值，在Rt △AFO 中，设OF =3x ,则AF =4x ，解出x 的值，继而得出OF 的值，从而可得出答案．
【详解】
解：（1） OE ∥BC .理由如下：
连接OC ，
∵CD 是⊙O 的切线，
∴OC ⊥CD ，
∴∠OCE =90︒ ，
∴∠OCA +∠ECF =90︒，
∵OC =OA ，
∴∠OCA =∠CAB ．
又∵∠CAB =∠E ，
∴∠OCA =∠E ，
∴∠E +∠ECF =90︒，
∴∠EFC =180O -(∠E +∠ECF ) =90︒．
∴∠EFC =∠ACB=90︒ ，
∴OE ∥BC ．
(2)由(1)知，OE ∥BC ，
∴∠E =∠BCD ．
在Rt △OCE 中，∵AB =12，
∴OC =6，
∵tan E =tan ∠BCD =
OC CE ， ∴468tan 3
OC CE DCB ==⨯=∠． ∴OE 2=O C 2+CE 2=62+82，
∴OE =10
又由（1）知∠EFC =90︒，
∴∠AFO =90︒．
在Rt △AFO 中，∵tan A =tan E =
34， ∴设OF =3x ,则AF =4x ．
∵OA 2=OF 2+AF 2，即62=(3x )2+(4x )2，
解得：65x =
∴185
OF =， ∴18321055EF OE OF =-=-
=．
【点睛】
本题是一道关于圆的综合题目，涉及到的知识点有切线的性质，平行线的判定定理，三角形内角和定理，正切的定义，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
35．（1）b=2或b=10-；（2）x 1=x 2=2；
【解析】
【分析】
（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）由（1）可知b=2，根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】
解：（1）由题意可知：△=（b+2）2-4（6-b ）=0，
∴28200b b +-=
解得：b=2或b=10-．
（2）当b=2时，
此时x 2-4x+4=0，
∴2
(2)0x -=，
∴x 1=x 2=2；
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 四、压轴题
36．（1）12；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.
（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.
（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长.
【详解】
（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
135BAC ∠=，
180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，
BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，
BD AD ∴=，
在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，
222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，
4AB =
222232BD AB ∴===，解得：4BD =，
6AC =，
11641222
ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．
（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ， D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，
PD PQ ∴=，
PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，
点P 为AB 上的动点，
PC PD CQ ∴+≥，
∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度， 点C 为半圆AB 的中点，
90COB ∴∠=，
90BOD COD COB ∠+∠=∠=，
11903033
BOD COB ∴∠=∠=⨯=， 10AB =，
1110522
OD AB ∴==⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，
155,222
DH OD QH DH ∴==∴==， 2
222553522OH OD DH ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭， 由作图知，四边形OMQH 为矩形， 553,22
OM QH MQ OH ∴====， 515522
CM OM OC ∴=+=+=， 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
PC PD ∴+的最小值为53．
（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，
PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，
,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，
．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，
SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠，
E 为OA 上的点，
F 为OB 上的点
PE EF FP SN ∴++≥，
∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，
45POA POB AOB ∠+∠=∠=，
45SOA NOB ∴∠+∠=，
454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=． 扇形AOB 的半径为20，
20OS ON OP ∴===，
在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=
PE EF FP ∴++的长度的最小值为202。