甘肃省河西五市部分普通高中高三数学第一次联考试题

2013年1月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试
数学试题（文科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：
锥体体积公式 1
3
V Sh =
，其中S 为底面面积，h 为高； 柱体体积公式 V Sh =其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积，体积公式 2
4S R π=，34
3
V R π=，其中R 为球的半径。

第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每题5分，总分60分） 1．已知复数11
,则(
)z z z i z ⋅=-=-
A. 2
B. －2
C. i 2
D. i 2-
2．设集合M={x ∣x<2},集合N={x ∣0<x<1},则下列关系中正确的是（ ） A. M ∪N=R B. M ∪СR N=R C. N ∪СR M=R D. M ∩N=M 3．下列命题中，是真命题的是（ ） A. 2
1
2cos 2sin
,x 22
=+∈∃x x R B.x x x cos sin ),,0(>∈∀π C. x e x x
+>+∞∈∀1),,0( D.1,2
-=+∈∃x x R x 4．函数221()log 的零点必落在区间f x x x =+-（ ）
A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛4181，
B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛2141，
C. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛121，
D. ()21， 5. 已知两点(2,0),(0,2)A B -，点C 是圆2220x y x +-=上任意一点，则ABC ∆面积的最
小值是（ ）.
A. 3
B. 3
C. 32
-
D.
32
6.已知060,3,2===
∆B b a ABC 中，，则A= （ ）
A.0
45135或 B.0
30150或 C.030 D.0
45
7．已知双曲线2222100(,)y x a b a b
-=>>的右焦点是F, 过点F 且倾角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的范围是（ ）
A. (]21，
B. (1,2)
C. [)∞+，2
D. ()∞+，2 8．若函数8
2cos 2sin )(π
-=+=x x a x x f 的图像关于直线对称，那么a =( )
A. 2
B.－2
C. 1
D. －1
9．一空间几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为（ ）
A. 322+π
B. 324+π
C. 3322+π
D. 3
3
24+π
10．已知O 是坐标原点，()
11,A -,若点()
,B x y 为平面区
域2
12x y x y ⎧+≥⎪
≤⎨⎪≤⎩
上一动点，则OA OB ⋅u u u r u u u r 的取值范围是（ ） A. 10,⎡⎤-⎣⎦ B. 01,⎡⎤⎣⎦ C. 02,⎡⎤⎣⎦ D. 12,⎡⎤-⎣⎦
11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为
∆ABC 的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）
A.
31 B. 32 C. 33 D.3
2
12.在函数是等差数列，若数列的图象上有点列}{),,()(n n n x y x x f y =数列{n y }是等比数列，则函数)(x f y =的解析式可能为（ ）
A.12)(+=x x f
B.2
4)(x x f =
C.x x f 3log )(=
D.x
x f )4
3()(=
第Ⅱ卷
二、填空题（共4小题，每题5分，总分20分）
13．已知b a ρρ,均为单位向量，且3=+b a ρ
ρ，则的夹角大小为与b a ρρ_________.
14．函数⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈+-=43,8,1)cos (sin cos 2)(ππx x x x x f 的值域是_________ 15．已知某程序框图如图2，运行此程序结束后， 输出n 的值是________
16. 若函数21()x
f x =-的值域和定义域均为,a b ⎡⎤⎣⎦，则
a b +=_______。

三、解答题（共6小题，总分70分。

）
17.（本小题满分12分）在数列}{n a 中，11=a ，并且对于任意n ∈N *
，都有1
21+=+n n
n a a a ．
（1）证明数列}1
{
n
a 为等差数列，并求}{n a 的通项公式； （2）设数列}{1+n n a a 的前n 项和为n T ，求使得2011
1000
>n T 的最小正整数n . 18.（本小题满分12分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图3所示，其中成绩分组区间是：
))))))4050506060707080809090100
，，，，，，，，，，，⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎣⎣⎣⎣⎣⎣.（1）求图中x 的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中按分层抽样抽取4人，选其中2人为数学课代表，求这两个人的数学成绩不在同一分数段的概率。

19．（本小题满分12分）
如图4所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，
∠BCD=60︒，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA=2.
（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ；
（2）求PC 与平面PAB 所成角的余弦值。

20．（本小题满分12分）
抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A 、B 两点， 且11
6
8AB =。

(1) 求抛物线方程；
(2) 在x 轴上是否存在一点C,使得三角形ABC 是正三角形? 若存在，求出点C 的坐标，若不存在，说明理由.
21. （本小题满分12分） 已知函数x x
b
ax x f ln 2)(++
=． （Ⅰ）若函数)(x f 在1=x ，2
1
=
x 处取得极值，求a ，b 的值； （Ⅱ）若(1)2f '=，函数)(x f 在),0(+∞上是单调函数，求a 的取值范围．
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

做答时标出所选题目的题号。

22.（本小题满分10分）选修4-1；几何证明选讲
如图，四边形ACBD 内接于圆Ｏ，对角线AC 与BD 相交于M ，AC ⊥BD ，E 是DC 中点
连结ＥＭ交ＡＢ于Ｆ，作ＯＨ⊥ＡＢ于Ｈ， 求证：（１）ＥＦ⊥ＡＢ （２）ＯＨ＝ＭＥ
23. 本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程 已知直线l 经过点P （
21，1），倾斜角6
πα=，在极坐标系下，圆C 的极坐标方程为⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=4cos 2πθρ。

（1）写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积。

24．（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 （1）解不等式3x 9x 2
+≤-
（2）设x ，y ，z +
∈R 且231x y z ++=，求222x y z ++的最小值.
2013年1月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试 数学（文科） 参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题
ABCCA DCDCC BD 第Ⅱ卷 二、填空题
13 . 0
60 14. ⎡-⎣ 15. 63 16 . 1
17. 解：(1)
111=a ，因为121+=+n n n a a a ，所以2111=-+n n a a ， ∴ 数列}1
{
n
a 是首项为1，公差为2的等差数列， ∴
121
-=n a n ，从而1
21-=n a n ………… ……………………………6分 (2) 因为⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+-=
+12112121)12)(12(11n n n n a a n n
所以13221++++=n n n a a a a a a T Λ
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121121513131121n n Λ 1
2+=
n n
， 由20111000
12>
+=n n T n ， 得11
1000>n ，
最小正整数n 为91.………………………………………………12分
18．（1）110054.01001.010006.030=+⨯+⨯+⨯x
得x=0.018 ………………………………………………………4分
（2）由已知得，在[80,90)有9人，[90,100)有3人，按照分层抽样抽取4人 依3：1的比例可得，在[80,90)有3人，[90,100)有1人………………………8分
这4人分别记为1a ，2a ，3a ，b 。

这4人中任取2人的取法有（1a ，2a ）（1a ，3a ），（1a ，b ）（2a ，3a ）（2a ，b ）（3a ，b ）…………………10分
这两个人的数学成绩不在同一分数段的概率P=
2
1 19（１）略……………………………………………………………………6分 （２）过点C 作CF ⊥AB 于F ，连接PF 。

则AF=32
由（1）知面，则面,EB PAB CF PAB ⊥⊥
则即为与平面所成的角DPF PD PAB ∠………………8分
35
222
因为,，又C ,可得,PA AF F BE PF PC ======
……10分
cos CPF ∠=……12分
20．（1）设抛物线方程为)0(22
>=p px y
⎩⎨⎧=-+=0
122y x px y 得：01)1(22
=++-x p x
设),(),,(2221y x B y x A 则1),1(22121=+=+x x p x x 11
6
8=
AB 11
6
84)(1212212
=
-++x x x x k
0482421212
=-+p p
)(11
24
112舍去或-==
p p 抛物线方程是x y 11
42
=……………………………………………6分 （2）设AB 的中点是D ，则)11
2
,1113(D -
假设x 轴上存在一点C(x 0, 0) 因为三角形是正三角形， 所以CD ⊥AB 得：11
150=
x
11
22CD ),0,1115(
C =得 又11
2
1223==
AB CD 矛盾，故在x 轴上不存在一点C, 使三角形ABC 是正三角形…………12分
22 （1）DE CE BD,AC =⊥Θ CE ME =∴
MCE CME ∠=∠∴
EMC AMF MCE ABM ∠=∠∠=∠,Θ ABM AMF ∠=∠∴
90ABM =∠+∠=+∠∴MAB AMF FAM
AB EF ⊥∴……………………………………………………………………5分 （2）的中点是CD E Θ
B
C
D O
A
M
E
F H
图5
Ｇ
CD ⊥∴OE AB ⊥OH Θ 的中点是B A H Θ
连结HM ，并延长交CD 于G ，又（1）的证法，可证CD ⊥HM ∴OE ∥HG ，ＯＨ∥ＥＦ ∴ＯＥＭＨ是平行四边形
∴ＯＨ＝ＭＥ…………………………………………………………………10分
23.（1）直线L 参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t
y t x 2112321
圆的普通方程是2
1
)2
1()2
1(2
2
=
-+-y x ………………………5分 （2）又⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t
y t x 2112321代入21)21()21(22=-+-y x 得：
04
1
212
=-+
t t 4
1
21==∴t t PB PA …………………………………………10分
24.（1）{}
342-=≤≤x x x 或……………………………………………5分 （2）14
3
,71,141141===z y x ，此时最小值是
…………………10分 注：考生未指出等号成立的条件，应扣2分。