【好题】高三数学上期中试卷带答案(3)

【好题】高三数学上期中试卷带答案(3)
一、选择题
1．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810
B ．840
C ．870
D ．900
2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1
22n n S λ+=+，则λ的值是( )
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4-
3．已知{}n a 为等差数列，若20
19
1<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1S
B ．19S
C ．20S
D ．37S
4．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式
2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）
A ．-3
B ．1
C ．-1
D ．3
5．等比数列{}n a 中，11
,28
a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4
B ．4
C ．1
4
± D ．14
6．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =
，c =，
30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )
A
B ．
3
4 C ．32
或
2
D ．
34
或2
7．,x y 满足约束条件36
2000
x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为
12，则23
a b
+的最小值为 ( ) A ．
256
B ．25
C ．
253
D ．5
8．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1
B ．6
C ．7
D ．6或7
9．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比
数列，则
1
a= ( )
A．8B．-8C．1D．-1
10．已知
421 333 2,3,
25
a b c
===，则
A．b a c
<<B．a b c
<<
C．b c a
<<D．c a b
<<
11．若01
a
<<，1
b c
>>，则()
A．()1
a
b
c
<B．
c a c
b a b
-
>
-
C．11
a a
c b
--
<D．log log
c b
a a
<
12．若0,0
x y
>>，且
21
1
x y
+=，2
27
x y m m
+>+恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．(8,1)
-B．(,8)(1,)
-∞-⋃+∞
C．(,1)(8,)
-∞-⋃+∞D．(1,8)
-
二、填空题
13．在ABC
∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2
a=，且
()()()
2sin sin sin
b A B
c b C
+-=-，则ABC
∆面积的最大值为______.
14．已知数列{}n a、{}n b均为等差数列，且前n项和分别为n S和n T，若
32
1
n
n
S n
T n
+
=
+，
则4
4
a
b
=_____．
15．已知实数,x y满足
10
20
10
x y
x y
x y
++≥
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪--≤
⎩
，则目标函数2
z x y
=+的最大值为____．
16．如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.
17．已知数列{}n a是递增的等比数列，1423
9,8
a a a a
+==，则数列{}n a的前n项和等于 .
18．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元．
19．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）.
20．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；
； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;11
2a b
+≥⑤
. 三、解答题
21．在ABC V 中，5cos 13A =-
，3cos 5
B =． (1)求sin
C 的值；
(2)设5BC =，求ABC V 的面积．
22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且2
2
2,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；
（2）若2
2
sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，
3
sin 5
B =.
（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求π
sin(2)4
A +
的值. 24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1
4cos a C a
+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积； （2）若ABC V
的面积为
2
，求a ，c . 25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围； （3）若1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知函数(
)cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若
78663f A f B ππ⎛
⎫⎛
⎫+
=+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，求a b 的取值范围．
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为
10(3165)
8402
+= ，选B. 2．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】
根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142
a λ
+∴=
, 故当2n ≥时，1
12n n n n a S S --=-=,
Q 数列{}n a 是等比数列,
则11a =，故412
λ
+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】
本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
由已知条件判断出公差0d <，对20
19
1<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】
已知{}n a 为等差数列，若
20
191<-a a ，则201919
0a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，
19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，
则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】
本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出
,a b ，可得答案.
【详解】
由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().
因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.
由韦达定理有：1212a b
-+=-⎧⎨
-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】
本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝ ，即可得出．
【详解】
设4a 与8a 的等比中项是x ．
由等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝，6x a ∴=± ．
∴4a 与8a 的等比中项5
61
248
x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】
本题考查了等比中项的求法，属于基础题．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线1
2
BD c =
，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】
解：3,33,30b c B ===o Q ，
∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得239272332
a a =+-⨯⨯⨯，
整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．
Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==，
∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：
222333336(
)26222CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23222
CD =+-⨯⨯⨯
， ∴解得AB 边上的中线32CD =
或37
． 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大
值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123
()(23)6a b a b a b
+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

【详解】
不等式组表示的平面区域如图，由360
20x y x y --=⎧⎨-+=⎩
得点B 坐标为
B （4,6）.由图可知当直线z ax by =+经过点B （4,6）时，Z 取最大值。

因为目标函数
(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，所以4612,a b +=即236,a b +=
所以
2312316616625
()(23)(13)(132)6666
a b a b a b a b a b b a b a +=++=++≥+⨯=。

当且仅当66236
a b
b a a b ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩即65a b ==时，上式取“=”号。

所以当65a b ==时，23a b +取最小值25
6。

故选A 。

【点睛】
利用基本不等式2a b ab +≥可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。

当
a b ，都取正值时，（1）若和+a b 取定值，则积ab 有最大值；（2）若积ab 取定值时，
则和 +a b 有最小值。

8．B
解析：B 【解析】
试题分析：由等差数列
的性质，可得
，又，所以
，所以数列
的通项公式为
，令
，解得
，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得
取最小值时的为
，故选B ．
考点：等差数列的性质.
9．D
【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】
由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，
因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2
111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.
故选：D . 【点睛】
本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
因为4
2
2
2
33332=4,3,5a b c ===，且幂函数2
3y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】
对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1a
b c ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故错误 对于B ，若c a c
b a b
->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误
对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确
【点睛】
本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
将代数式21
x y
+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转
化为解不等式()2
min 72m m x y +<+，解出即可.
【详解】
由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥=
⎪⎝⎭
， 当且仅当()4,0y x
x y x y
=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2
min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<.
因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．
二、填空题
13．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要
【解析】 【分析】 根据正弦定理将
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为
()()()a b a b c b c +-=-，即2
2
2
b c a bc +-=，由余弦定理得2221
cos 22b c a A bc +-==，
再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1
sin 2
ABC S bc A ∆=求解. 【详解】 根据正弦定理
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为
()()()a b a b c b c +-=-，化简得2
22b
c a bc +-=
由余弦定理得
2221 cos
22
b c a
A
bc
+-
==
sin
2
==
A
因为2222
+=+≥
b c a bc bc
所以4
bc≤，当且仅当b c
=时取""
=
所以
1
sin4
244
∆
==≤=
ABC
S bc A
则ABC
∆
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题
解析：
23
8
【解析】
【分析】
根据等差数列中等差中项的性质，将所求的17
4
417
a a
a
b b b
+
=
+，再由等差数列的求和公式，转
化为7
7
S
T，从而得到答案
.
【详解】
因为数列{}n a、{}n b均为等差数列
所以7
4
7
41
4
1
4
2
2
a a
b b
a a
b b
==
+
+
()
()
17
7
177
7
2
7
2
a a
S
b b T
+
==
+
37223
718
⨯+
==
+
【点睛】
本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.
15．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z
的最大值【详解】作出实数xy 满足对应的平面区域如图：由z ＝2x+y 得y ＝﹣2x+z 平移直线y ＝﹣2x+z 由图象可知当直线y ＝﹣2x+
解析：5 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z 的最大值． 【详解】
作出实数x ，y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≤⎩
对应的平面区域，如图：
由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，
平移直线y ＝﹣2x +z 由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大．又x 10y --=与20x y -=联立得A （2，1） 此时z 最大，此时z 的最大值为z ＝2×2+1＝5， 故答案为5． 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，考查了z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
16．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的
解析：300 【解析】
试题分析：由条件，
,所以
,
,
,所以
,
,这样在
中，,在
中，
，解得
,
中，
，故填：300.
考点：解斜三角形
【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.
17．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式 解析：21n -
【解析】 【分析】 【详解】
由题意，1423
149
8a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，
而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，
即3
4
1
8a q a =
=，所以2q =， 因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112
n n
n n a q S q --=
==---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.
18．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB 两类产品的情况为下表所示:产品设备 A 类产品（件）（≥50） B 类产品（件）（≥140
解析：2300 【解析】 【分析】 【详解】
设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产
天, 该公司所需租赁费为元,则
200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备
A 类产品 （件）
（≥50）
B 类产品 （件）（≥140）
租赁费（元）
甲设备
5
10
200
乙设备
6
20 300
则满足的关系为5650
{10201400,0
x y x y x y +≥+≥≥≥即:105
{
214
0,0
x y x y x y +
≥+≥≥≥, 作出不等式表示的平面区域,
当200300z x y =+对应的直线过两直线6
10{5214
x y x y +
=+=的交点（4,5）时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元．
19．或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求解能力属基本题
解析：{|2020a a >或0}a < 【解析】 【分析】
根据同侧同号列不等式，解得结果. 【详解】
因为原点和点()1,2019-在直线0x y a -+=的同侧，所以
(00)(12019)02020a a a -+--+>∴>或0a <，即a 的取值范围是{2020a a 或0}.a <
【点睛】
本题考查二元一次不等式区域问题，考查基本应用求解能力.属基本题.
20．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也
可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误
解析：①③⑤ 【解析】 【分析】 【详解】 对于①：因为，，所以，所以，故①项正确； 对于②：左边平方可得：
，所以
，故②
项错误； 而利用特殊值，
代入②中式子，也可得出②错误的结论；
对于③：因为，由①知
，所以
，
故③项正确；
对于④：(
)3
3
22
()a b a b a ab b +=+-+2
2()
3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故
④项错误； 对于⑤
1a +1a =a b ab +=2ab
≥2，故⑤项正确； 故本题正确答案为：①③⑤.
三、解答题
21．（1）1665；（2）8
3
. 【解析】 【分析】
(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换求得结果;(2)利用正弦定理和三角形的面积公式
求出结果． 【详解】
(1)在ABC V 中，A B C π++=，
由5cos 13A =-，2A ππ<<，得12
sin 13
A =， 由3cos 5
B =
，02B π<<，得4sin 5
B =． 所以()16
sin sin sin cos cos sin 65
C A B A B A B =+=+=
； (2)由正弦定理
sin sin AC BC
B A
=， 解得：sin 13
sin 3
BC B AC A ⋅=
=，
所以ABC V 的面积：1113168sin 5223653
S BC AC C =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=． 【点睛】
本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，三角形内角和定理，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。

22．（1）3
C π
=（2）
3
【解析】
试题分析：（1）由余弦定理得cos C 值，再根据三角形内角范围求角C ；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：2224cos b c a ac A +-=，再根据余弦定理得2a b =，代人解得
a =
，b =2c =，由勾股定理得2B π=，最后根据直角三角形面积公式得
ABC V 的面积．
试题解析：解：（1）由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-== 22221
222
a b ab ab ab +-==，
又()0,C π∈，所以3
C π
=
．
（2）由()2
2
sin sin sin 2sin2sin B A C A C -=-， 得222sin sin sin 2sin2sin B C A A C +-=， 得222sin sin sin 4sin cos sin B C A A A C +-=，
再由正弦定理得2
2
2
4cos b c a ac A +-=，所以222
cos 4b c a A ac
+-=．①
又由余弦定理，得222
cos 2b c a A bc
+-=，②
由①②，得222222
42b c a b c a bc bc
+-+-=
，得42ac bc =，得2a b =，
联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩
，得3a =，3b =．
所以222b a c =+．所以2
B π
=．
所以ABC V 的面积11222S ac =
==
23．（Ⅰ）b =sin A =13.（Ⅱ）26
. 【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ） 解：在ABC V 中，因为a b >，故由3sin 5B =
，可得4
cos 5
B =.由已
知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.
由正弦定理
sin sin a b A B =,得sin sin a B A b ==
所以，b sin A .
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及a c <，得cos 13
A =
，所以12sin22sin cos 13A A A ==，
25cos212sin 13A A =-=-
.故πππsin 2sin2cos cos2sin 44426A A A ⎛
⎫+=+= ⎪⎝
⎭. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
24．（1）2
；（2）a =2c =. 【解析】 【分析】
（1）已知1
4cos a C a
+
= ,根据余弦定理和勾股定理等已知条件，可求得a 与c 的值，应用三角形面积公式，可求得三角形面积；
（2）根据三角形面积公式，得sinC,根据1
4cos a C a
+=，得cosC ，代入
sin 2C+cos 2C=1，得关于a 的方程，解方程即可. 【详解】
（1）∵14cos a C a += ()
222222142a c a b c ab a
+-+-=⨯=
，∴2221c a =+. 又∵90A ∠=︒，∴22221a b c c =+=+.
∴222212c a c =+=+，∴c =
a =
∴
111
sin1
2222
ABC
S bc A bc
===⨯=
V
.
（2
）∵
11
sin sin
22
ABC
S ab C a C
===
V
，∴sin C=.
∵
1
4cos
a C
a
+=
，sin C=，
∴
2
2
11
1
4
a
a a
⎛
⎡⎤
⎛⎫
++=
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦⎝⎭
，化简得()2
270
a-=，
∴a=2
c=.
【点睛】
正弦定理和余弦定理可将已知条件中的边、角关系转化为角或边的关系；三角形面积公式S=
111
absin bcsin acsin
222
C A B
==中既含有角，又含有边，可与正弦定理和余弦定理联系起来，为解三角形提供条件.
25．（1）61
n
a n
=-；（2）9
n≥且*
n N
∈；（3）
5(65)
n
n
T
n
=
+
．
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意列出方程21
71
11
721161
a a d
S a d
=+=
⎧
⎨
=+=
⎩
，解方程组再求n a即可.
（2）首先计算n S，再解不等式6512
n n
S a n
>--即可.
（3）首先得到
111
66
(
1
)
65
n
b
n n
=-
-+
，再利用裂项法即可得到前n项和n T的值.
【详解】
（1）由题意得21
71
11
721161
a a d
S a d
=+=
⎧
⎨
=+=
⎩
，解得1
5
6
a
d
=
⎧
⎨
=
⎩
所以61
n
a n
=-．
（2）由（1）得2
(1)
5632
2
n
n n
S n n n
-
=+⨯=+，
因为6512
n n
S a n
>--，即2
329180
n n
-+≥.
解得
2
3
n≤或9
n≥，
因为1
n≥且*
n∈N，所以n的取值范围为9
n≥且*
n∈N.
（3）因为
1
1111
61
1
()
()6(615
)566
n
n n
b
a a n n n n
+
===-
-+-+，
所以1111111[()()()]651111176165n T n n =
-+-+⋯+--+ 1116565(5)
65)(n n n -==++ 【点睛】
本题第一问考查等差数列通项公式的求法，第二问考查等差数列前n 项和n S 的求法，第三问考查裂项法求和，属于中档题. 26．（1）[]1,2；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
【解析】 【分析】
（1）利用两角差的正弦公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，由,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
计算出6x π-的取
值范围，再由正弦函数的基本性质可求出函数()y f x =在区间,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域； （2）根据题中条件得出4sin sin 3A B +=
，可得出4
sin sin 3
A B =-，由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，可求出1
sin 13
B ≤≤，利用正弦定理以及不等式的性质可得出
sin 41sin 3sin a A b B B ==-的取值范围. 【详解】
（1）
(
)1cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛
⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
Q 2sin 6x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，
,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
Q ，5366x πππ∴≤-≤，则1sin 123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()12f x ∴≤≤，
因此，函数()y f x =在,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的值域为[]1,2； （2）786
63f A f B ππ⎛
⎫⎛
⎫+
=+- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭
Q ，即()82sin 2sin 3A B π+=-，化简得4sin sin 3A B +=
，4
sin sin 3
A B ∴=-， 由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，即40sin 1
30sin 1B B ⎧
<-≤⎪⎨
⎪<≤⎩
，得1sin 13B ≤≤.
由正弦定理得
4
sin
sin41
31,3 sin sin3sin3
B
a A
b B B B
-
⎡⎤===-∈⎢⎥
⎣⎦
.
因此，a
b
的取值范围是
1
,3
3
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
.
【点睛】
本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形中边长比值取值范围的计算，考查运算求解能力，属于中等题.。